% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
%                                                                         %
% The Project Gutenberg EBook of Leçons sur l'intégration des Équations   %
% Différentielles aux Dérivées Partielles, by Vito Volterra               %
%                                                                         %
% This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with        %
% almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or    %
% re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included     %
% with this eBook or online at www.gutenberg.org                          %
%                                                                         %
%                                                                         %
% Title: Leçons sur l'intégration des Équations Différentielles aux Dérivées Partielles
%        Professées a Stockholm sur l'Invitation de S. M. le Roi de Suéde %
%                                                                         %
% Author: Vito Volterra                                                   %
%                                                                         %
% Release Date: August 24, 2009 [EBook #29783]                            %
%                                                                         %
% Language: French                                                        %
%                                                                         %
% Character set encoding: ISO-8859-1                                      %
%                                                                         %
% *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES *** %
%                                                                         %
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %

\def\ebook{29783}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%                                                                  %%
%% Packages and substitutions:                                      %%
%%                                                                  %%
%% book:     Required.                                              %%
%% geometry: Enhanced page layout package. Required.                %%
%%                                                                  %%
%% inputenc: Standard DP encoding. Required.                        %%
%% fontenc:  For accented characters in hyperrefs. Required.        %%
%% babel:    French hyphenation rules. Required.                    %%
%% textcomp: Larger textdegree symbol. Optional.                    %%
%% ifthen:   Logical conditionals. Required.                        %%
%%                                                                  %%
%% amsmath:  AMS mathematics enhancements. Required.                %%
%% amssymb:  Additional mathematical symbols. Required.             %%
%%                                                                  %%
%% alltt:    Fixed-width font environment. Required.                %%
%%                                                                  %%
%% fancyhdr: Enhanced running headers and footers. Required.        %%
%%                                                                  %%
%% graphicx: Standard interface for graphics inclusion. Required.   %%
%%                                                                  %%
%% hyperref: Hypertext embellishments for pdf output. Required.     %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% Compilation Flags:                                               %%
%%                                                                  %%
%%   The following behaviors may be controlled by boolean flags.    %%
%%                                                                  %%
%%   ForPrinting (true by default):                                 %%
%%   Compile a print-optimized PDF file. Set to false for screen-   %%
%%   optimized file (pages cropped, one-sided, blue hyperlinks).    %%
%%                                                                  %%
%%   KeepOps (false by default):                                    %%
%%   The original uses trailing operators to signify continuation   %%
%%   when a displayed equation is broken across lines. Trailing     %%
%%   operators are printed if KeepOps is true, omitted otherwise.   %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% Producer's Comments:                                             %%
%%                                                                  %%
%%   Several displays are wider than the text block, but should not %%
%%   be truncated even if the file is compiled for screen viewing.  %%
%%   The text contains fifty diagrams, many wrapped by text, and    %%
%%   will require visual checking to ensure no diagrams are badly-  %%
%%   placed.                                                        %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% Things to Check:                                                 %%
%%                                                                  %%
%%   No diagram should fall on a page break. Symptoms are: diagrams %%
%%   extending below the text block, ``cuts'' in the text on the    %%
%%   page following a diagram, or diagrams overlapping the text.    %%
%%                                                                  %%
%%   The three diagrams on 079.png (PDF p. 70) should be set on one %%
%%   page, as in the original.                                      %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% Diagram Notes:                                                   %%
%%                                                                  %%
%%   The diagrams have been re-created for uniformity and           %%
%%   mathematical accuracy. In particular, the diagrams on the      %%
%%   page scans listed below are at variance with the corresponding %%
%%   text for the indicated reasons. Copies of the originals may    %%
%%   be found in the directory ./images/sources distributed with    %%
%%   this LaTeX source file.                                        %%
%%                                                                  %%
%% 051: Normal vectors not orthogonal to the surface.               %%
%% 053: Cones not symmetric, normals not orthogonal to the surface. %%
%% 055, 057--061: Not 45° cones, and/or not axially symmetric.      %%
%% 087: Curve doesn't match equation.                               %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% Spellcheck: .................................. OK                %%
%% Smoothreading pool: ......................... Yes                %%
%%                                                                  %%
%% lacheck: ..................................... OK                %%
%%   False positives:                                               %%
%%   bad character in label                                         %%
%%   Unmatched <delimiter> (10 instances)                           %%
%%                                                                  %%
%% ToC page numbers: ............................ OK                %%
%%                                                                  %%
%% PDF pages: 97 (if ForPrinting set to true)                       %%
%% PDF page size: US Letter                                         %%
%% PDF bookmarks: created, point to ToC entries                     %%
%% PDF document info: filled in                                     %%
%% Images: 50 pdf diagrams, one pdf thoughtbreak                    %%
%%                                                                  %%
%% Summary of log file:                                             %%
%% * Twenty overfull hboxes (largest ~46.52pt too wide).            %%
%% * Five underfull vboxes, five underfull hboxes.                  %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% Compile History:                                                 %%
%%                                                                  %%
%% January, 2009: adhere (Andrew D. Hwang)                          %%
%%                texlive2005, GNU/Linux                            %%
%%                                                                  %%
%% Command block:                                                   %%
%%                                                                  %%
%%     pdflatex x2 (Run pdflatex twice)                             %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% August 2009: pglatex.                                            %%
%%   Compile this project with:                                     %%
%%   pdflatex 29783-t.tex ..... TWO times                           %%
%%                                                                  %%
%%   pdfTeXk, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6)                 %%
%%                                                                  %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listfiles
% N.B. global french option
\documentclass[leqno,12pt,french]{book}[2005/09/16]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% PACKAGES %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\usepackage[latin1]{inputenc}[2006/05/05] %% DP standard encoding
\usepackage[T1]{fontenc}[2005/09/27]
\usepackage[french]{babel}[2005/11/23]

\IfFileExists{textcomp.sty}{%    %% For larger textdegree symbol
\usepackage{textcomp}[2005/09/27]%
}{}

\usepackage{ifthen}[2001/05/26]  %% Logical conditionals

\usepackage{amsmath}[2000/07/18] %% Displayed equations
\usepackage{amssymb}[2002/01/22] %% and additional symbols

\usepackage{alltt}[1997/06/16]   %% boilerplate, credits, license

\usepackage{graphicx}[1999/02/16]%% For diagrams
\usepackage{wrapfig}[2003/01/31] %% and wrapping text around them


% for running heads
\usepackage{fancyhdr}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%% Interlude:  Set up PRINTING (default) or SCREEN VIEWING %%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% ForPrinting=true (default)           false
% Letterpaper                          Cropped pages
% Asymmetric margins                   Symmetric margins
% Black hyperlinks                     Blue hyperlinks
\newboolean{ForPrinting}

%% COMMENT the next line for a SCREEN-OPTIMIZED VERSION of the text %%
\setboolean{ForPrinting}{true}

%% Initialize values to ForPrinting=false
\newcommand{\Margins}{hmarginratio=1:1}     % Symmetric margins
\newcommand{\HLinkColor}{blue}              % Hyperlink color
\newcommand{\PDFPageLayout}{SinglePage}
\newcommand{\TransNote}{Notes sur la transcription}
\newcommand{\TransNoteCommon}{%
  Ce livre a été préparé à l'aide d'images fournies par la
  Département de Mathématiques, Université de Glasgow.
  \bigskip

  Des modifications mineures ont été apportées à la présentation,
  l'orthographe, la ponctuation et aux notations mathématiques. Les
  illustrations ont été recrées.
}

\newcommand{\TransNoteText}{%
  \TransNoteCommon
  \bigskip

  Ce fichier est optimisé pour être lu sur un écran, mais peut être
  aisément reformaté pour être imprimer. Veuillez consulter le
  préambule du fichier \LaTeX\ source pour les instructions.
}

%% Re-set if ForPrinting=true
\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{%
  \renewcommand{\Margins}{hmarginratio=2:3} % Asymmetric margins
  \renewcommand{\HLinkColor}{black}         % Hyperlink color
  \renewcommand{\PDFPageLayout}{TwoPageRight}
  \renewcommand{\TransNote}{Notes sur la transcription}
  \renewcommand{\TransNoteText}{%
    \TransNoteCommon
    \bigskip

    Ce fichier est optimisé pour imprimer, mais peut être aisément
    reformaté pour être lu sur un écran. Veuillez consulter le
    préambule du fichier \LaTeX\ source pour les instructions.
  }
}{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%  End of PRINTING/SCREEN VIEWING code; back to packages  %%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% The text block is painstakingly adjusted to ensure good page
% breaks while wrapping text around illustrations.
\usepackage[body={5.75in,8in},\Margins]{geometry}[2002/07/08]

\providecommand{\ebook}{00000}    % Overridden during white-washing
\usepackage[pdftex,
  hyperref,
  hyperfootnotes=false,
  pdftitle={The Project Gutenberg eBook \#\ebook: Leçons sur
    l'intégration des Équations Différentielles aux Dérivées
    Partielles},
  pdfauthor={Vito Volterra},
  pdfkeywords={Laura Wisewell, Andrew D. Hwang,
               Project Gutenberg Online Distributed Proofreading Team,
               University of Glasgow Department of Mathematics},
  pdfstartview=Fit,    % default value
  pdfstartpage=1,      % default value
  pdfpagemode=UseNone, % default value
  bookmarks=true,      % default value
  linktocpage=false,   % default value
  pdfpagelayout=\PDFPageLayout,
  pdfdisplaydoctitle,
  pdfpagelabels=true,
  bookmarksopen=true,
  bookmarksopenlevel=1,
  colorlinks=true,
  linkcolor=\HLinkColor]{hyperref}[2007/02/07]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%             Conditional compilation switches            %%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newboolean{KeepOps}
% The book uses trailing operators to signify continuation of a long
% expression. These are omitted by default, but can be incorporated
% by uncommenting the next line.
%\setboolean{KeepOps}{True}

% For trailing operators on broken long expressions
\newcommand{\Trail}[1]{%
\ifthenelse{\boolean{KeepOps}}
  {{}#1{}}% set operator
  {}% discard
}

%%%% Re-crop screen-formatted version, omit blank verso pages %%%%
\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}
  {}
  {\ifthenelse{\boolean{KeepOps}}
  {\hypersetup{pdfpagescrop = 60 90 552 752}}% Add a bit more margin
  {\hypersetup{pdfpagescrop = 65 90 547 752}}
  % If ForPrinting=false, don't skip to recto
  \renewcommand{\cleardoublepage}{\clearpage}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% COMMANDS %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%% Fixed-width environment to format PG boilerplate %%%%
% 9.2pt leaves no overfull hbox at 80 char line width
\newenvironment{PGtext}{%
\begin{alltt}
\fontsize{9.2}{10.5}\ttfamily\selectfont}%
{\end{alltt}}

% Cross-referencing: labels and refs
\newcommand{\Pagelabel}[1]{%
  \phantomsection
  \label{#1}
}

\newcommand{\Lmargintag}[1]{\makebox[0pt][r]{\normalsize\upshape(#1)\quad}}


%% Sectioning: Chapter, Paragraph divisions

% \Paragraph: numbered units
\newcounter{Parno}
\newcounter{Chapter}

\setlength{\parindent}{2em}

% \Chapter{Title}
\newcommand{\Chapter}[1]{%
  \refstepcounter{Chapter}

  \ifthenelse{\value{Chapter}=1 \or \value{Chapter}=2}{\thispagestyle{empty}}{}
  % page formatting
  \subsection*{\centering\normalfont\upshape\textbf{\Large #1}}

  % drop anchors
  \phantomsection
  \label{pgchapter:\theChapter}
  %  \Pagelabel{pgchapter:\theChapter}
  \ifthenelse{\value{Chapter}=12}%
  {\pdfbookmark[0]{Note.}{chapter:\theChapter}}%
  {\pdfbookmark[0]{Leçon \theChapter.}{chapter:\theChapter}}%
}

\newcommand{\Preface}[1]{%
  \refstepcounter{Chapter}

  \pagenumbering{Roman}
  \thispagestyle{empty}
  % page formatting
  \subsection*{\centering\normalfont\upshape\textbf{\Large #1}\\[2ex]%
    \textbf{\small Introduction.}}

  % drop anchors
  \phantomsection
  \label{pgchapter:\theChapter}
  %  \Pagelabel{pgchapter:\theChapter}
  \pdfbookmark[0]{Leçon \theChapter.}{chapter:\theChapter}
}

% Four section:n.k tags manually added for 2.2, 8.1, 8.3, and 8.5
\newcommand{\Paragraph}[1]{%
  \indent #1\ %
  \refstepcounter{Parno}%
  \phantomsection%
  \pdfbookmark[1]{Section \theChapter.#1}{section:\theChapter.\theParno}%
}


\newenvironment{Theorem}{\par\normalfont\itshape}{}
\newenvironment{Prop}{\normalfont\itshape}{}

\newenvironment{Bibliographie}%
{%
  \subsubsection*{\centering\normalfont\upshape\textbf{Bibliographie.}}%
  \refstepcounter{Parno}%
  \phantomsection%
  \pdfbookmark[1]{Bibliographie.}{biblio:\theChapter.\theParno}%
}{}

\newcommand{\Bibitem}[2]%
{%
  \par\hangindent 2em \hangafter 1 \noindent\textsc{#1}\quad#2%
}

% Set the table of contents manually
\newcommand{\ToCline}[2]{%
  \noindent\hyperref[#2]{#1}\dotfill%
  \makebox[1.5em][r]{\hyperref[#2]{\pageref{#2}}}\\%
}

% graphics inclusion that centralizes path and extensions
\newcommand{\Input}[2]{%
\ifthenelse{\equal{#2}{}}%
{\includegraphics[width=0.8\textwidth]{./images/#1.pdf}}%
{\includegraphics[width=#2]{./images/#1.pdf}}%
}


\newcommand{\Mme}{M\textsuperscript{me}}
\newcommand{\Ord}[2]{#1\textsuperscript{#2}}
\newcommand{\Tb}{\bigskip\begin{center}\rule{1in}{0.5pt}\end{center}}

\newcommand{\deriv}[2]{\dfrac{d #1}{d #2}}
\newcommand{\pderiv}[2]{\dfrac{\partial #1}{\partial #2}}

\newcommand{\smfrac}[2]{\mbox{\footnotesize$\dfrac{#1}{#2}$}}

\DeclareMathOperator{\arctg}{arc~tg}

% Recurring expression on 055.png and 056.png
\newcommand{\Lorentz}{(x-x_1)^2 + (y-y_1)^2 - (z-z_1)^2}

\DeclareInputMath{176}{\mbox{\textdegree}}
\DeclareInputMath{183}{\cdot}

\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}

% \theta changes to \vartheta starting on 046.png
\newboolean{UseVartheta}
\newcommand{\THETA}{%
  \ifthenelse{\boolean{UseVartheta}}{\vartheta}{\theta}%
}

\newcommand{\sameauthor}{\rule[2pt]{0.375in}{0.5pt}}% ---------}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% START OF DOCUMENT %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}

\pagestyle{empty}
\pagenumbering{Alph}

%%%% PG BOILERPLATE %%%%
\phantomsection
\label{PGBoilerplate}
%\Pagelabel{PGBoilerplate}
\pdfbookmark[0]{PG Boilerplate}{Project Gutenberg Boilerplate}

\begin{center}
\begin{minipage}{\textwidth}
\begin{PGtext}
The Project Gutenberg EBook of Leçons sur l'intégration des Équations
Différentielles aux Dérivées Partielles, by Vito Volterra

This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with
almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or
re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included
with this eBook or online at www.gutenberg.org


Title: Leçons sur l'intégration des Équations Différentielles aux Dérivées Partielles
       Professées a Stockholm sur l'Invitation de S. M. le Roi de Suéde

Author: Vito Volterra

Release Date: August 24, 2009 [EBook #29783]

Language: French

Character set encoding: ISO-8859-1

*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ***
\end{PGtext}
\end{minipage}
\end{center}
\vfill

\clearpage

%%%% CREDITS %%%%

\begin{PGtext}
Produced by Laura Wisewell, Andrew D. Hwang, and the Online
Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (The
original copy of this book was generously made available
for scanning by the Department of Mathematics at the
University of Glasgow.)
\end{PGtext}

\vfill

\begin{minipage}{0.8\textwidth}
\small
\subsection*{\centering \TransNote}

\raggedright
\TransNoteText

\end{minipage}
\vfil

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% FRONT MATTER %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\frontmatter

\allowhyphens
\pagenumbering{roman}
\pagestyle{empty}
\selectlanguage{french}

\normalsize

%% -----File: 001.png---Folio 1-------
% Title page
% [** PP: Omitting printer's mark Manuscrit]

\noindent\begin{minipage}{\textwidth}
\begin{center}
\textbf{\Huge LEÇONS} \\[18pt]
{\scriptsize SUR}\\[18pt]
\textbf{\large L'INTÉGRATION}\\[18pt]
{\scriptsize DES}\\[18pt]
\textbf{\Huge ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES}\\[18pt]
AUX\\[18pt]
\textbf{\huge DÉRIVÉES PARTIELLES}\\[24pt]
PROFESSÉES À STOCKHOLM\\ % [** PP: Typo A (assuming small caps)]
{\scriptsize (FÉVRIER, MARS 1906)}\\[24pt]
SUR L'INVITATION DE S. M. LE ROI DE SUÈDE\\[48pt]
{\scriptsize PAR}\\[12pt]
\textbf{\large M.~V.~VOLTERRA}\\
{\scriptsize SÉNATEUR DU ROYAUME D'ITALIE}\\
{\scriptsize PROFESSEUR DE PHYSIQUE MATHÉMATIQUE À L'UNIVERSITÉ DE ROME}\\[96pt]
{\small UPSAL \oldstylenums{1906}}\\
{\scriptsize IMPRIMERIE ALMQVIST \& WIKSELL}
\end{center}
\end{minipage}

\cleardoublepage

%% -----File: 002.png---Folio 2-------
%% [Blank Page]
%% -----File: 003.png---Folio 3-------

% global initialization
\pagestyle{fancy}
\fancyfoot{}
\fancyhead{}
\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}
  {\fancyhead[RO,LE]{\textsc{\MakeLowercase{\thepage}}}}
  {\fancyhead[R]{\textsc{\MakeLowercase{\thepage}}}}

\setlength{\headheight}{14.5pt}

\Preface{\Ord{1}{ière} leçon.}

\Paragraph{1.} Le cours que je ferai se rapportera à quelques points de la théorie des
équations différentielles de la physique mathématique. On sait que la physique
mathématique traverse une période de crise. On abandonne certaines idées pour
en suivre de nouvelles. Tous ceux, par exemple, qui ont lu les éloquentes
pages que M.~Poincaré a consacré à cette question et ceux, qui ont pris connaissance
de l'état actuel de la science dans le bel ouvrage de M.~Picard, sont renseignés
d'une manière fort claire là-dessus. Mais, même si certains concepts que
nous avons maintenant sur la nature des phénomènes naturels et quelques principes
fondamentaux devaient être ébranlés par de nouveaux faits et de nouvelles découvertes,
une partie de la physique mathématique a bien des chances de se sauver
du naufrage. Elle représente en effet, peut-être d'une manière grossière, mais
certainement d'une manière très-simple, une grande partie des faits naturels connus,
les relie ensemble et a une utilité pratique hors de toute discussion.

L'histoire des sciences nous offre l'exemple de théories analytiques de certains
phénomènes qui ont été créées sous l'influence de certains principes et
qui ont résisté à la chute de ces principes. Pour n'en citer qu'un seul, parmi
la foule de ceux qui se présentent, il suffit de rappeler la théorie des instruments
optiques qui se conserve dans ses lignes générales, tandis que les principes de
l'optique ont subi tant d'évolutions.

\Paragraph{2.} Les théories de la propagation de la chaleur, de l'hydrodynamique, de
l'élasticité, des forces newtoniennes et de l'électromagnétisme peuvent être aujourd'hui
traitées sous un point de vue commun, de sorte qu'elles peuvent constituer
un seul chapitre d'analyse. On peut systématiser les méthodes qu'on
emploie et classifier tous les faits qui s'y rapportent par la classification des équations
différentielles dont ils dépendent. Cela conduit à envisager trois \emph{types} d'équations
différentielles qu'on a l'habitude d'appeler \emph{elliptique}, \emph{hyperbolique} et \emph{parabolique}
et des \emph{types mixtes}.
%% -----File: 004.png---Folio 4-------

Lorsqu'on étudie les choses sous cet aspect une seule formule est capable de nous
révéler sous une forme unique des propriétés qui se rapportent à des phénomènes
en apparence divers entre eux. Quelquefois l'analogie est une simple analogie
analytique, quelquefois elle va bien au delà.

Supposons maintenant pour un instant que la base des faits physiques sur
laquelle pose l'édifice analytique vienne manquer, ou qu'on la néglige. Cet édifice
est tellement solide et utile par lui-même qu'il continuerait à subsister comme un
des plus beaux chapitres de l'analyse.

\Paragraph{3.} Le point de départ de toutes les considérations dont nous venons de parler
est d'envisager un ensemble continu ou un \emph{domaine} à une, deux ou trois
dimensions. A % [** PP: Typo À]
chaque point du domaine correspond une quantité scalaire ou un
vecteur ou plusieurs quantités scalaires et plusieurs vecteurs liés par les équations
différentielles. Ces quantités sont quelquefois constantes par rapport au temps
et quelquefois variables. Dans ce cas on a en général un grand avantage en
considérant le temps comme une nouvelle coordonnée.

Tout le monde sait que les idées des physiciens ont toujours oscillé entre le
concept d'un milieu continu, siège de tous les phénomènes par lequel on tâche de
supprimer toute action à distance, et le concept fondé sur l'hypothèse des molécules
séparées et des actions à distance.

Il ne faut pas croire que nos considérations soient liées forcément au premier
concept. Elles correspondent aussi à l'autre. Il suffit pour cela de rappeler que
Cauchy, Poisson, Fourier, Laplace, qui suivaient les idées, qu'on appelle maintenant
de la mécanique physique, c'est à dire au fond le second système, ont été
les premiers à découvrir les équations différentielles qui forment la base des théories
analytiques. Il leur a fallu, pour y parvenir, faire un passage à la limite qui
les a amené du discontinu au continu. Mais une fois cette limite franchie, les
deux conceptions au point de vue analytique se mêlent dans la plupart des cas.

\Paragraph{4.} Je n'aurai pas le temps de traiter d'une manière complète le chapitre d'analyse
dont je viens de parler. Je toucherai seulement à quelques points, qui me
semblent avoir un certain intérêt et que je crois nouveaux. Le rôle que certaines
solutions polydromes jouent dans les différents cas, voilà un point que je tâcherai
d'examiner avec quelque détail. Nous envisagerons ces solutions dans les différents
types d'équations et pour nous familiariser avec elles nous étudierons d'abord les
solutions polydromes dans le cas de l'équilibre élastique. Elles nous conduisent à
des résultats pratiques et frappants qu'on peut montrer par des modèles matériels
qui nous dévoilent leur vrai caractère et leur importance. Le cas d'équilibre des
corps élastiques à connexion multiple, non assujettis % [** PP: Typo assujetis]
à des forces externes, est en
%% -----File: 005.png---Folio 5-------
dépendance étroite avec les solutions polydromes, et nous offre de nouveaux problèmes
de la théorie de l'élasticité.

\Paragraph{5.} La théorie des fonctions est liée aux problèmes de physique mathématique
qui dépendent de l'équation de Laplace à deux variables. Si l'on envisage, par
exemple, un voile liquide incompressible infiniment mince qui est en mouvement,
tout théorème de la théorie des fonctions peut être interprété comme un théorème
relatif au mouvement. Réciproquement toute propriété du mouvement peut être
interprétée comme un théorème de la théorie des fonctions. On obtient cette
relation par les fonctions conjuguées qu'il faut regarder comme la partie réelle
et le coefficient de l'imaginaire dans la théorie des fonctions et en hydrodynamique
comme le potentiel de vitesse et la fonction qui définit les lignes des courants.

Mais cela est borné au cas de deux dimensions. Comment généraliser la
chose au cas d'un nombre quelconque de dimensions? Je montrerai que la théorie
des fonctions conjuguées peut s'étendre au cas général par l'introduction d'un
nouveau concept analytique sur lequel je reviendrai tout à l'heure. Cela nous
amènera à exposer certaines vues nouvelles sur la théorie générale des fonctions.

\Paragraph{6.} Par rapport aux équations du type hyperbolique j'exposerai d'abord, sans
entrer dans les détails, quelques résultats %[** PP: Typo resultats]
que j'ai trouvés et publiés il y a quelque
temps et qui plus récemment ont été étendus et complétés par d'autres géomètres.

Ensuite je tâcherai de montrer le rôle bien singulier que joue le principe
des images. La mémorable méthode de Lord Kelvin peut être employée quelquefois
même dans ce cas et amène à des résultats plus simples que dans celui des
équations du type elliptique. L'influence de la réalité des caractéristiques se
révèle par là d'une manière frappante.

Il y a un mémoire très-profond de Weierstrass sur l'intégration des équations
différentielles linéaires aux dérivées partielles où il expose une méthode par
laquelle il intègre quelques équations du type hyperbolique. \Mme\ Kowalewski a
appliqué dans un travail sur l'optique la méthode de Weierstrass, mais, sans s'en
douter, elle avait à faire avec des fonctions polydromes, c'est pourquoi la méthode %[** PP: Typo methode]
ne l'a pas amenée au résultat qu'elle cherchait. J'entrerai dans la discussion de
cette question et du rôle de la solution polydrome. Je n'ai connu aucun géomètre,
après \Mme\ Kowalewski, qui ait employé la méthode de Weierstrass et elle paraît % [** PP: Typo parait]
comme une méthode %[** PP: Typo méthodé]
à part qui n'est pas reliée aux autres. Je serai heureux de
montrer qu'elle se rattache d'une manière très-simple à la méthode de Kirchhoff.
Or, puisque les méthodes de Kirchhoff de Green et de Riemann ont des rapports
étroits entre elles, toutes ces différentes méthodes restent reliées ensemble.

\Paragraph{7.} Les dernières leçons seront consacrées aux équations différentielles du
type parabolique. Leur étude n'est pas si avancée que celle des équations des
%% -----File: 006.png---Folio 6-------
autres types. Au premier abord il ne semble pas que la méthode des caractéristiques,
qui a donné les résultats les plus généraux dans le cas hyperbolique, puisse
conduire à embrasser tous les résultats connus lorsqu'on l'applique aux équations
du type parabolique. Nous montrerons où est la difficulté. On a toujours conçu
la méthode de Riemann comme bornée au domaine des variables réelles. Au contraire
pour approfondir avec succès la question des équations du type parabolique,
il faut commencer par étendre la méthode aux variables complexes et ensuite
l'employer ainsi généralisée.

Comme application des formules qu'on a dans les cas des équations du type
parabolique j'exposerai la solution d'un problème qui se rapporte aux oscillations
des fluides incompressibles. J'aurai ainsi l'occasion de dire quelques mots par rapport à
cette question générale qui d'un côté est liée aux équations du type elliptique et d'un
autre côté a bien des rapports avec les problèmes des ondes qu'on étudie par des
équations du type hyperbolique. Je donnerai à ce propos une formule analogue à
celle ordinaire de Green qui contient une fonction analogue à celle qu'on appelle
fonction de Green.

\Paragraph{8.} Voilà le programme du cours. Cependant je n'ai pas encore parlé d'une
manière explicite d'une question dont j'aurai l'occasion de traiter avec quelque
détail. Nous avons vu que dans nos considérations nous prenons comme fondement
un continu à un certain nombre de dimensions, dans lequel on envisage des quantités
scalaires ou des vecteurs. Supposons que nous ayons une quantité scalaire
qui soit une fonction des points d'un domaine à trois dimensions, et pour fixer les
idées supposons que ce soit la température des points d'une surface. Aura-t-on
examiné d'une manière complète la question en envisageant cette quantité scalaire
comme une fonction de trois variables, c'est à dire des coordonnées des différents
points de la surface et du temps? Il est facile de se convaincre que, si nous
pouvons changer arbitrairement la température au contour du corps, la température
dépendra aussi de toutes les valeurs de la fonction qui exprime la température
au contour. De même le potentiel d'un corps déformable dépendra de la forme du
corps. On est par là amené d'une manière fort naturelle, et l'on peut même dire
qu'on est forcé d'envisager non seulement les fonctions qui dépendent d'un certain
nombre de variables, mais aussi celles qui dépendent de la forme de certaines
lignes et de certaines surfaces et de toutes les valeurs de certaines fonctions.
Nous aurons l'occasion de parler de ce concept et de développer quelques idées
sur ces fonctions et sur leur inversion, lorsque nous entrerons dans le sujet dont
nous avons touché au §~5. % [** Xref]

\Tb
%% -----File: 007.png---Folio 7-------

\clearpage
\pagenumbering{arabic}
\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}
  {\fancyhead[RO,LE]{\thepage}}
  {\fancyhead[R]{\thepage}}

\Chapter{\Ord{2}{ième} leçon.}

\Paragraph{1.} Envisageons dans un plan les axes coordonnés $x$, $y$ et la fonction
$\THETA = \arctg \dfrac{y}{x}$.

\begin{wrapfigure}[9]{r}{2in}% **** Explicit height
%[Illustration]
\raisebox{0.25in}[1.75in][0pt]{\Input{007a}{2in}}
\end{wrapfigure}
$\THETA$ est l'angle que le rayon vecteur fait
avec l'axe~$x$. Partons d'un point~$M_0$ situé sur
l'axe~$x$, et, après avoir parcouru un cycle $M_0NM'$
autour de l'origine, revenons au point de
départ~$M_1$.

En prenant les valeurs de $\THETA$ qui se suivent
avec continuité la valeur~$\THETA_1$ qu'on trouve
en $M_1$ après avoir parcouru le cycle est égale à
la valeur initiale augmentée de~$2\pi$. Voilà un
exemple très-simple d'une fonction \emph{polydrome}.

Les dérivées partielles $\pderiv{\THETA}{x} = -\dfrac{y}{x^2+y^2}$, $\pderiv{\THETA}{y} = \dfrac{x}{x^2+y^2}$ ainsi que les dérivées
successives sont finies continues et monodromes excepté à l'origine. C'est pourquoi
dans un domaine~$S$ qui ne comprend pas l'origine
les dérivées $\pderiv{\THETA}{x}$, $\pderiv{\THETA}{y}$ seront régulières ainsi que
leurs dérivées successives.

\begin{wrapfigure}{r}{2in}
%[Illustration]
\raisebox{0.125in}[1.875in][0pt]{\Input{007b}{2in}}
\end{wrapfigure}
\phantomsection\label{section:2.2}%
\Paragraph{2.} Rappelons %[** PP: Typo Rappellons]
un théorème de calcul intégral
qu'on appelle théorème de Gauss.

\begin{Theorem}
Soit $S$ un domaine à trois dimensions $X$, $Y$, $Z$,
trois fonctions monodromes finies et continues qui
ont des dérivées monodromes finies et continues.
On a
%% -----File: 008.png---Folio 8-------
\begin{multline*}
\int_S \left(\pderiv{X}{x} + \pderiv{Y}{y} + \pderiv{Z}{z}\right)\, dS \\
  = \int_\sigma (X \cos nx + Y \cos ny + Z \cos nz)\, d\sigma
\end{multline*}
$\sigma$ étant le contour du domaine~$S$, $n$ la normale à $\sigma$ dirigée vers l'extérieur du domaine~$S$.
\end{Theorem}

Rappelons aussi le théorème de Stokes. %[** PP: Typo Rappellons]

\begin{Theorem}
$\sigma$ étant une surface ayant pour contour~$S$ %[** PP: Typo $s$]
et $X$, $Y$, $Z$ étant des fonctions monodromes
finies et continues dont les dérivées sont aussi monodromes finies et continues on a
\begin{multline*}
\int_\sigma \left\{\left(\pderiv{Z}{y} - \pderiv{Y}{z}\right) \cos nx
                 + \left(\pderiv{X}{z} - \pderiv{Z}{x}\right) \cos ny
                 + \left(\pderiv{Y}{x} - \pderiv{X}{y}\right) \cos nz \right\} d\sigma \\
  = ± \int_S (X\, dx + Y\, dy + Z\, dz)
\end{multline*}
$n$ étant la normale à~$\sigma$. On peut faire l'intégration sur le contour~$s$ dans une direction
telle que l'intégrale du second membre soit précédée du signe~$+$. %[** PP: Added period]
\end{Theorem}

\Paragraph{3.} Un domaine à trois dimensions est \emph{acyclique} ou à \emph{connexion simple} si toute
ligne fermée que l'on peut tirer à l'intérieur peut se réduire infiniment petite par
une déformation continue sans sortir du domaine.

Si cette condition n'est pas vérifiée, le domaine est \emph{cyclique} ou à \emph{connexion
multiple}. Supposons que par une coupure transversale un espace cyclique devienne
acyclique, on dit alors que cette \emph{connexion est double}. Si l'espace cyclique devient
acyclique lorsqu'on fait deux coupures, on dit que la \emph{connexion est triple}, et ainsi de
suite. Dans tout domaine acyclique une ligne fermée peut être regardée comme
le contour d'une surface située à l'intérieur du domaine.

\Paragraph{4.} Dans la théorie de l'élasticité on peut envisager un milieu continu et l'on
peut supposer qu'il existe un \emph{état naturel} où il n'y a aucune tension interne. Déplaçons
infiniment peu les points du milieu, et soient $u$, $v$, $w$ les composantes des
déplacements, alors la déformation du milieu est définie par les quantités que les
Anglais appellent \emph{strains}
\begin{gather*}
\gamma_{11} = \pderiv{u}{x}\quad
\gamma_{22} = \pderiv{v}{y}\quad
\gamma_{33} = \pderiv{w}{z} \\
\gamma_{32} = \gamma_{23} = \pderiv{v}{z} + \pderiv{w}{y},\
\gamma_{13} = \gamma_{31} = \pderiv{w}{x} + \pderiv{u}{z},\
\gamma_{21} = \gamma_{12} = \pderiv{u}{y} + \pderiv{v}{x}.
\end{gather*}
Il peut y avoir déplacement sans déformation lorsque ces quantités sont nulles.

Le potentiel des forces élastiques relatif à chaque élément~$dS$ du milieu
déformé s'exprime par
\[
F(\gamma_{11}, \gamma_{22}, \gamma_{33}, \gamma_{23}, \gamma_{31}, \gamma_{12} )\, dS
\]
%% -----File: 009.png---Folio 9-------
où $F$ est un polynôme %[** PP: Typo polynome]
homogène de \Ord{2}{d}~degré par rapport à
$\gamma_{11}$, $\gamma_{22}$, $\gamma_{33}$, $\gamma_{23}$, $\gamma_{31}$, $\gamma_{12}$
qui est toujours négatif et s'annule %[** PP: Typo s'annulle]
seulement lorsque toutes les quantités~$\gamma_{rs}$
sont nulles.

La tension dans chaque point est caractérisée par les quantités
\begin{gather*}
t_{11} = \pderiv{F}{\gamma_{11}},\quad
t_{22} = \pderiv{F}{\gamma_{22}},\quad
t_{33} = \pderiv{F}{\gamma_{33}}, \\ % [** PP: Added comma]
t_{32} = t_{23} = \pderiv{F}{\gamma_{32}},\
t_{13} = t_{31} = \pderiv{F}{\gamma_{31}},\
t_{21} = t_{12} = \pderiv{F}{\gamma_{12}},
\end{gather*}
que les Anglais appellent \emph{stress}.%[** PP: Typo streis]

La \emph{tension unitaire} qui s'exerce sur chaque élément d'aire $d\sigma$ du milieu a
pour composantes
\begin{align*}
T_{x} &= t_{11} \cos nx + t_{12} \cos ny + t_{13} \cos nz \\
T_{y} &= t_{21} \cos nx + t_{22} \cos ny + t_{23} \cos nz \\
T_{z} &= t_{31} \cos nx + t_{32} \cos ny + t_{33} \cos nz
\end{align*}
$n$ étant la normale de l'élément~$d\sigma$.

Si $X$, $Y$, $Z$ sont les composantes des forces extérieures unitaires qui s'exercent
sur chaque élément~$dS$ du corps élastique, et $T_x$, $T_y$, $T_z$ les composantes de la
tension unitaire qui s'exerce sur chaque élément du contour, les équations de
l'équilibre élastique sont
\[
(1)\quad\left\{
\begin{aligned}
  X &= \pderiv{t_{11}}{x} + \pderiv{t_{12}}{y} + \pderiv{t_{13}}{z} \\
  Y &= \pderiv{t_{21}}{x} + \pderiv{t_{22}}{y} + \pderiv{t_{23}}{z} \\
  Z &= \pderiv{t_{31}}{x} + \pderiv{t_{32}}{y} + \pderiv{t_{33}}{z}
\end{aligned}
\right.
\qquad
(2)\quad\left\{
\begin{aligned}
  T_{x} &= t_{11} \cos nx + t_{12} \cos ny + t_{13} \cos nz \\
  T_{y} &= t_{21} \cos nx + t_{22} \cos ny + t_{23} \cos nz \\
  T_{z} &= t_{31} \cos nx + t_{32} \cos ny + t_{33} \cos nz
\end{aligned}
\right.
\]
où $n$ est la normale au contour dirigée vers l'intérieur du corps.

Lorsque le corps est isotrope et homogène on a
\[
F = \tfrac{1}{2} L \THETA^2 + K \psi, % [** PP: Typo \Psi]
\]
en ayant posé
\[
\THETA = \gamma_{11} + \gamma_{22} %[** PP: Typo 21]
       + \gamma_{33} ,\quad
  \psi = \gamma_{11}^2 + \gamma_{22}^2 + \gamma_{33}^2
 + \tfrac{1}{2}
        (\gamma_{23}^2 + \gamma_{31}^2 + \gamma_{12}^2);
\]
c'est pourquoi
\[
\begin{aligned}
t_{11} &= L \THETA + 2 K \gamma_{11} \\
t_{22} &= L \THETA + 2 K \gamma_{22} \\
t_{33} &= L \THETA + 2 K \gamma_{33} \\
\end{aligned}
\qquad\qquad
\begin{aligned}
t_{23} &= K \gamma_{23} \\
t_{31} &= K \gamma_{31} \\
t_{12} &= K \gamma_{12}.
\end{aligned}
\]
$L$ et~$K$ sont des quantités constantes et négatives, $\THETA$ est la \emph{dilatation cubique}.
%% -----File: 010.png---Folio 10-------

Les équations~$(1)$ deviennent alors
\[
\tag{$1'$}
\left\{
\begin{aligned}
  X &= K \Delta^{2} u + ( L + K ) \pderiv{\THETA}{x} \\
  Y &= K \Delta^{2} v + ( L + K ) \pderiv{\THETA}{y} \\
  Z &= K \Delta^{2} w + ( L + K ) \pderiv{\THETA}{z}
\end{aligned}
\right.
\]
le symbole $\Delta^{2}$ représentant l'opération
\[
  \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}
+ \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}
+ \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}.
\]

\Paragraph{6.} Ayant rappelé ces notions fondamentales nous voulons montrer que la
théorie de l'élasticité pour les corps ayant une forme cyclique se présente d'une
manière différente que pour les corps acycliques, et cela tient au rôle que les solutions
polydromes jouent dans la question.

On % [** PP: Typo Or]
énonce en général le théorème qu'\emph{un corps élastique qui n'est pas soumis
à des actions externes est en équilibre}, et on tire de là que \emph{les forces externes étant
données la déformation du corps est connue}. Or ces propositions ne sont exactes
que si le corps a une connexion simple.


%[Illustration]
\begin{wrapfigure}{l}{1.5in}
\Input{010a}{1.5in}
\end{wrapfigure}
Pour montrer qu'il y a des cas où elles ne
se vérifient pas, envisageons un \emph{anneau}. Retranchons
une tranche radiale $AA'$, $BB'$ très mince, et
soudons les deux bouts $AA'$ et~$BB'$. Le corps
après la soudure sera soumis à des tensions internes
et cependant il ne supportera aucune action
extérieure.

On pourrait soupçonner que quelque discontinuité
ou quelque singularité s'est produite dans
la déformation à l'endroit où l'on a fait la soudure;
mais on peut démontrer qu'il n'y a aucune singularité de cette sorte, de
manière que si l'on voulait trouver l'endroit où l'on a fait la soudure par quelque
particularité de la déformation il serait impossible de la retrouver.

On peut se demander à quoi tient la contradiction entre les propositions précédentes
et le résultat que nous venons d'examiner.

Le n{\oe}ud de la question est dans l'application du théorème de Gauss. En
effet pour démontrer les propositions que nous avons énoncées tout à l'heure on suppose
que dans les équations $(1)$ et~$(2)$ $X = Y = Z = T_{x} = T_{y} = T_{z} = 0$, on multiplie
%% -----File: 011.png---Folio 11-------
les deux membres des équations~$(1)$ respectivement par $u$, $v$, $w$, qu'on somme, qu'on
intègre et transforme par le théorème de Gauss. On tire de là que
\[
\int_S F\, dS = 0, % [** PP: Changed . to ,
\]
$S$ étant l'espace occupé par le corps élastique; d'où l'on déduit
\[
  \gamma_{11} = \gamma_{22} = \gamma_{33}
= \gamma_{23} = \gamma_{31} = \gamma_{12} = 0
\]
c'est à dire que si les forces extérieures sont nulles il n'y a pas de déformation.
Or nous avons remarqué que pour appliquer le théorème de Gauss il faut que
toutes les fonctions qu'on emploie soient monodromes. Montrons que dans le cas
de l'anneau les composantes des déplacements $u$, $v$, $w$ sont polydromes.
%[Illustrations]
\begin{center}
\Input{010a}{1.5in}\hfil\Input{011b}{1.5in} % [sic 010a]
\end{center}

En effet examinons les déplacements après la soudure. Les points de~$AA'$ ne
se seront pas déplacés tandis que les points de~$BB'$ se seront déplacés de la largeur
de la fissure qu'on a faite. C'est pourquoi si nous partons d'un point~$M_{0}$ de~$AA'$,
parcourons un cycle à l'intérieur de l'anneau et prenons les valeurs des déplacements
qui se suivent avec continuité, nous revenons au point de départ de l'autre
côté~$M_{1}$ % [** PP: Typo coté]
de la coupure avec des valeurs des déplacements différents des valeurs
qu'on avait au point de départ. C'est un cas de polydromie analogue à celui que
nous avons envisagé dans le premier~§. % [** Xref]

On tire de là deux conséquences:

La première est que pour rendre exactes les deux propositions qu'on a énoncées
il faut ajouter la condition que les déplacements soient monodromes.

La seconde conséquence est qu'il faut reposer la question:

Quand est-ce que les déplacements peuvent être polydromes?

\Paragraph{7.} Dans les considérations que nous venons de faire nous nous sommes laissés
conduire par l'intuition; mais il serait dangereux de continuer de la sorte. En
effet par intuition on serait amené à penser que le même résultat qu'on a obtenu
dans le cas de l'anneau on pourrait l'obtenir dans le cas d'un corps acyclique quelconque
%% -----File: 012.png---Folio 12-------
en y retranchant une tranche très-mince et en soudant les faces de la coupure.
Or dans ce cas, par cette opération, la déformation du corps ne serait pas
régulière, c'est pourquoi tout se présenterait d'une manière différente, que dans le
cas de l'anneau.

Nous allons démontrer que si l'on suppose que la déformation est régulière,
c'est à dire que si $\gamma_{11}, \gamma_{22}, \gamma_{33}, \gamma_{23}, \gamma_{31}, \gamma_{12}$ sont des fonctions finies monodromes
et continues et que leurs dérivées sont aussi finies continues et monodromes, la polydromie
des déplacements ne peut se présenter que si le corps a une forme cyclique.

Il suffit de trouver des formules par lesquelles on puisse calculer $u$, $v$, $w$ en
connaissant les quantités~$\gamma_{rs}$.

Soit $s$ une ligne, et désignons par $A_0$ et~$A_1$ ses points extrêmes. Soient~$\gamma_{rs}^{(0)}$
et~$\gamma_{rs}^{(1)}$ les valeurs de~$\gamma_{rs}$ aux points $A_0$ et~$A_1$, $x_0\, y_0\, z_0$ les coordonnées de~$A_{0}$,
$x_1\, y_1\, z_1$ les coordonnées de~$A_1$. Les valeurs de $u$, $v$, $w$ au point~$A_1$ seront données
par les formules
\begin{align*}
%[** PP: References to these on 013--015.png are clearly (1) (1') (1'')]
\Lmargintag{I}
u_1 &= u_0
  + \frac{1}{2} ( \gamma_{21}^{(0)} + r_0 ) (y_1 - y_0)
  + \frac{1}{2} ( \gamma_{31}^{(0)} - q_0 ) (z_1 - z_0)
\Trail{+} \\
%
  &+ \int_s \left\{ \left[\gamma_{11}
    + (y_1 - y) \pderiv{\gamma_{11}}{y}
    + (z_1 - z) \pderiv{\gamma_{11}}{z} \right] \deriv{x}{s} \right.
\Trail{+} \\
%
  &\qquad+
    \left[ (y_1 - y) \left(\pderiv{\gamma_{12}}{y}
                         - \pderiv{\gamma_{22}}{x}\right)
    + \left(\frac{z_1 - z}{2}\right)
      \left(\pderiv{\gamma_{21}}{z}
          + \pderiv{\gamma_{31}}{y}
          - \pderiv{\gamma_{23}}{x}\right)\right] \deriv{y}{s}
\Trail{+} \\
%
  &\qquad+ \left.
    \left[ \left(\frac{y_1 - y}{2}\right)
           \left(\pderiv{\gamma_{21}}{z}
               + \pderiv{\gamma_{31}}{y}
               - \pderiv{\gamma_{23}}{x}\right)
    + (z_1-z) \left(
            \pderiv{\gamma_{13}}{z}
          - \pderiv{\gamma_{33}}{x}\right) \right] \deriv{z}{s}
  \right\} ds \\[1ex]
%%
\Lmargintag{I${}'$}
v_1 &= v_0
  + \frac{1}{2} ( \gamma_{32}^{(0)} + p_0 ) (z_1 - z_0)
  + \frac{1}{2} ( \gamma_{12}^{(0)} - r_0 ) (x_1 - x_0)
\Trail{+} \\
%
  &+ \int_s \left\{
    \left[ \left( \frac{z_1 - z}{2} \right)
           \left( \pderiv{\gamma_{32}}{x}
                + \pderiv{\gamma_{12}}{z}
                - \pderiv{\gamma_{31}}{y} \right)
 + (x_1-x) \left( \pderiv{\gamma_{21}}{x}
                - \pderiv{\gamma_{11}}{y} \right)
    \right] \deriv{x}{s} \right.
\Trail{+} \\
%
  &\qquad+
    \left[ \gamma_{22}
      + (z_1 - z) \pderiv{\gamma_{22}}{z}
      + (x_1 - x) \pderiv{\gamma_{22}}{x}
    \right] \deriv{y}{s}
\Trail{+} \\
%
  &\qquad+ \left.
    \left[ (z_1-z)
           \left( \pderiv{\gamma_{23}}{z}
                - \pderiv{\gamma_{33}}{y} \right)
  + \left( \frac{x_1 - x}{2} \right)
    \left( \pderiv{\gamma_{32}}{x}
         + \pderiv{\gamma_{12}}{z}
         - \pderiv{\gamma_{31}}{y} \right)
    \right] \deriv{z}{s} \right\} ds \\[1ex]
%%
\Lmargintag{I${}''$}
w_1 &= w_0
  + \frac{1}{2} ( \gamma_{13}^{(0)} + q_0 ) (x_1 - x_0)
  + \frac{1}{2} ( \gamma_{23}^{(0)} - p_0 ) (y_1 - y_0)
\Trail{+} \\
%
  &+ \int_s \left\{
    \left[ (x_1-x)
          \left( \pderiv{\gamma_{31}}{x}
               - \pderiv{\gamma_{11}}{z} \right)
        + \left( \frac{y_1 - y}{2} \right)
          \left( \pderiv{\gamma_{13}}{y}
               + \pderiv{\gamma_{23}}{x}
               - \pderiv{\gamma_{12}}{z} \right)
    \right] \deriv{x}{s} \right.
\Trail{+} \\
%
  &\qquad+
    \left[ \left( \frac{x_1 - x}{2} \right)
           \left( \pderiv{\gamma_{13}}{y}
                + \pderiv{\gamma_{23}}{x}
                - \pderiv{\gamma_{12}}{z} \right)
      + (y_1-y) \left( \pderiv{\gamma_{32}}{y}
                     - \pderiv{\gamma_{22}}{z} \right)
    \right] \deriv{y}{s}
\Trail{+} \\
%
  &\qquad+ \left.
    \left[ \gamma_{33}
          + (x_1 - x) \pderiv{\gamma_{33}}{x}
          + (y_1 - y) \pderiv{\gamma_{33}}{y}
    \right] \deriv{z}{s} \right\} ds
\end{align*}
%% -----File: 013.png---Folio 13-------
où $u_0$, $v_0$, $w_0$ sont les valeurs de $u$, $v$, $w$ au point~$A_0$ et $p_0$, $q_0$, $r_0$ sont égales aux
valeurs des différences
\[
\pderiv{v}{z} - \pderiv{w}{y},\quad
\pderiv{w}{x} - \pderiv{u}{z},\quad
\pderiv{u}{y} - \pderiv{v}{x}
\]
au point~$A_0$.

On le vérifie aisément en faisant les dérivées de $u_1$, $v_1$, $w_1$ par rapport à $x_1$, $y_1$, $z_1$.

Il faut maintenant chercher les conditions pour la monodromie.

Supposons que la ligne $s$ se réduise à un cycle fermé. Si le corps élastique
occupe une région acyclique, on pourra regarder~$s$ comme le contour d'une surface~$\sigma$
située à l'intérieur du corps; c'est pourquoi les intégrales qui paraissent dans les
formules précédentes pourront se transformer par le théorème de Stokes et elles
s'écriront \\
% [** PP: Add missing d\sigma in 2nd, 3rd equations, remove period on 3rd.]
% [** PP: Width-dependent formatting
%   - Shift display 2em into left margin and set \footnotesize
%   - Explicit \;s to fine-tune alignment]
\hspace*{-2em}\begin{minipage}{\textwidth}%
{\footnotesize
\begin{align*}
&\int_\sigma \left\{
    \left[ \;\frac{y_1-y}{2} B\; - \frac{z_1-z}{2} C \right] \cos nx
  + \left[ (z_1-z) F\; + \frac{y_1-y}{2} A \right] \cos ny
  + \left[ (y_1-y) G + \frac{z_1-z}{2} A \right] \cos nz \right\} d\sigma \\
%%
&\int_\sigma \left\{
    \left[ (z_1-z) E + \frac{x_1-x}{2} B \right] \cos nx
  + \left[ \;\frac{z_1-z}{2} C\; - \frac{x_1-x}{2} A \right] \cos ny
  + \left[ (x_1-x) G + \frac{z_1-z}{2} B \right] \cos nz \right\} d\sigma \\
%%
&\int_\sigma \left\{
    \left[ (y_1-y) E + \frac{x_1-x}{2} C \right] \cos nx
  + \left[ (x_1-x) F + \frac{y_1-y}{2} C \right] \cos ny
  + \left[ \;\frac{x_1-x}{2} A\; - \frac{y_1-y}{2} B \right] \cos nz
                                                         \right\} d\sigma
\end{align*}
}% [** End footnotesize]
\end{minipage}\\[1ex]% [** PP: Explicit vertical space]
où % [** Typo: oú]
$n$ est la normale à~$\sigma$ et
\[
\begin{aligned}
A &= \pderiv{}{x} \left(
       \pderiv{\gamma_{31}}{y}
     + \pderiv{\gamma_{12}}{z}
     - \pderiv{\gamma_{23}}{x} \right)
   - 2 \frac{\partial^2\gamma_{11}}{\partial z \partial y} \\
%%
B &= \pderiv{}{y} \left(
       \pderiv{\gamma_{12}}{z}
     + \pderiv{\gamma_{23}}{x}
     - \pderiv{\gamma_{31}}{y} \right)
   - 2 \frac{\partial^2\gamma_{22}}{\partial x \partial z} \\
%%
C &= \pderiv{}{z} \left(
       \pderiv{\gamma_{23}}{x}
     + \pderiv{\gamma_{31}}{y}
     - \pderiv{\gamma_{12}}{z} \right)
   - 2 \frac{\partial^2\gamma_{33}}{\partial y \partial x}
\end{aligned}
\qquad
\begin{aligned}
E &= \frac{\partial^2\gamma_{32}}{\partial y \partial z}
   - \frac{\partial^2\gamma_{22}}{\partial z^2}
   - \frac{\partial^2\gamma_{33}}{\partial y^2} \\
%%
F &= \frac{\partial^2\gamma_{31}}{\partial z \partial x}
   - \frac{\partial^2\gamma_{33}}{\partial x^2}
   - \frac{\partial^2\gamma_{11}}{\partial z^2} \\
%%
G &= \frac{\partial^2\gamma_{12}}{\partial x \partial y}
   - \frac{\partial^2\gamma_{11}}{\partial y^2}
   - \frac{\partial^2\gamma_{22}}{\partial x^2}
\end{aligned}
\]

Mais par un théorème de De Saint Venant on a
\[
A = B = C = E = F = G = 0 %[** PP: Changed D = E = F to E = F = G]
\]
c'est pourquoi les intégrales des formules~(I)(I${}'$)(I${}''$) s'annuleront, et on aura % [** Xref] %[** PP: Typos: formules (1)..., and s'annulleront]
\[
u_1=u_0\quad
v_1=v_0\quad
w_1=w_0  %[** PP: v_1-v_0 changed to v_1=v_0]
\]
ce qui prouve que si la forme du corps est acyclique et la déformation régulière,
les déplacements sont monodromes. Mais si le corps est cyclique, le cycle fermé~$s$
n'est pas en général le contour d'une surface~$\sigma$ appartenant à la région occupée
%% -----File: 014.png---Folio 14-------
par le corps, et par suite on ne peut pas en général appliquer le théorème de Stokes
et enfin les déplacements peuvent être polydromes.

\Paragraph{8.} On peut résumer les résultats qu'on vient d'obtenir en énonçant les
propositions suivantes.
\begin{Prop}
Un corps élastique ayant une forme acyclique et une déformation
régulière peut être amené à l'état naturel par des déplacements finis continus et
monodromes.
\end{Prop}

\begin{Prop}
Si le corps élastique a une forme cyclique, cela n'est pas toujours possible, et
pour l'amener à l'état naturel il sera nécessaire quelquefois de faire des coupures et
de retrancher des parties du corps.
\end{Prop}

\begin{Prop}
Un corps élastique fini ayant une forme acyclique et n'étant pas sujet à des forces
extérieures est à l'état naturel si la déformation ne peut cesser d'être régulière,
mais si le corps est cyclique, le corps peut être à l'état de tension, même si n'existent
pas des actions extérieures.
\end{Prop}

\begin{Prop}
Les forces extérieures étant connues, la déformation régulière d'un corps acyclique
est connue, mais celle d'un corps cyclique n'est pas connue. Elle est connue seulement
dans le cas où l'on sait d'avance que le corps élastique peut être amené à l'état naturel
par des déplacements monodromes.
\end{Prop}


\Chapter{\Ord{3}{ième} leçon.}

%[** PP: Changed reference (1)(1')(1'') to (I)(I')(I'')]
\Paragraph{9.} Lorsque le corps est cyclique, on peut le réduire acyclique en faisant des
coupures. Les formules~(I)(I${}'$)(I${}''$) donnent aisément la loi des discontinuités des % [** Xref]
déplacements le long des coupures. Les valeurs des déplacements d'un côté d'une
coupure étant $u_{\alpha}$, $v_{\alpha}$, $w_{\alpha}$ et celles de l'autre côté étant $u_{\beta}$, $v_{\beta}$, $w_{\beta}$ on a
\[
\tag{3}
\left\{
\begin{aligned}
u_{\beta} - u_{\alpha} &= l + ry - qz \\
v_{\beta} - v_{\alpha} &= m + pz - rx \\
w_{\beta} - w_{\alpha} &= n + qx - py
\end{aligned}
\right.
\]
$l$, $m$, $n$, $p$, $q$, $r$, étant des quantités constantes pour chaque coupure.

A chaque coupure correspondent donc 6~valeurs constantes qu'on peut appeler
les constantes de la coupure, et l'on a le théorème:

\begin{Theorem}
Un corps élastique cyclique étant déformé régulièrement, %[** PP: Typo regulièrement]
la déformation est déterminée
par les forces extérieures et les constantes de chaque coupure.
\end{Theorem}

On voit par là que les problèmes de l'élasticité pour les corps cycliques se présentent
d'une manière fort différente que pour les corps acycliques.
%% -----File: 015.png---Folio 15-------

%[** Xrefs]
\Paragraph{10.} Les formules~(3) montrent très-facilement la signification mécanique des
constantes de chaque coupure. En effet supposons que nous fassions effectivement
les coupures dans le corps cyclique déformé de manière qu'il puisse reprendre l'état
naturel; et s'il est nécessaire retranchons les parties surabondantes du corps.

Alors les formules~(3) nous montrent que
\begin{Prop}
les molécules situées des deux côtés de
chaque coupure et qui adhéraient auparavant, ont été séparées par un déplacement
relatif qui résulte d'une translation et d'une rotation. Cette translation et cette rotation
sont égales pour tous les couples de molécules qui adhéraient le long de la coupure.

Si l'on prend pour centre de réduction l'origine, les constantes de la coupure
sont les composantes de la translation et de la rotation par rapport aux axes
coordonnés.
\end{Prop}

Réciproquement pour déformer le corps cyclique on pourra faire les coupures
qui le rendent acyclique. Ensuite, l'on pourra déplacer les deux faces de chaque
coupure de manière que le déplacement relatif de tous les couples de molécules
qui se trouvent vis à vis soit résultant de la même rotation et de la même translation.
Enfin on pourra souder entre elles les faces en retranchant ou en ajoutant
la matière qui sera nécessaire.

Nous appelons cette opération une \emph{distorsion} du corps et les 6~constantes
de chaque coupure les \emph{caractéristiques} de chaque distorsion.

%[** PP: Changed reference (1)(1')(1'') to (I)(I')(I'')]
Les formules~(I)(I${}'$)(I${}''$) conduisent aussi immédiatement à un autre résultat.

Prenons deux coupures qui peuvent se réduire l'une à l'autre par une transformation
continue, alors \emph{les caractéristiques des deux coupures sont égales entre elles}.

On voit par là que les caractéristiques d'une distorsion ne dépendent pas des
coupures que l'on a faites, mais de la déformation du corps et de sa nature géométrique.
\begin{Prop}
Le nombre des distorsions indépendantes d'un corps est égal à l'ordre
de la connexion diminué d'une unité.
\end{Prop}

\Paragraph{11.} Une question qui se pose naturellement est la suivante: \emph{Peut-on choisir
toutes les caractéristiques d'une manière arbitraire?}

On démontre en général que les caractéristiques des distorsions étant données
d'une manière arbitraire, le problème de la déformation du corps peut être ramené
à un problème ordinaire de l'équilibre où le corps n'est assujetti à aucune distorsion
mais seulement à des forces données.

Nous laisserons de côté ce théorème, général, et nous envisagerons un cas
particulier. Soit~$\sigma$ une aire finie du plan~$xz$ qui ne rencontre pas l'axe~$z$. Faisons
tourner le plan autour de cet axe et en même temps déformons et déplaçons l'aire~$\sigma$
dans le plan de manière qu'elle ne rencontre jamais l'axe~$z$ et qu'elle revienne
à la forme et à la position initiale après avoir fait un tour.
%% -----File: 016.png---Folio 16-------

L'aire $\sigma$ décrit un volume à connexion double qu'on peut supposer rempli
d'une substance élastique isotrope. $l$, $m$, $n$, $p$, $q$, $r$, étant des constantes, posons
\[
\Lmargintag{4}
\left\{
\begin{aligned} %[** PP: Changed arco tg to arctg]
u &= \frac{1}{2\pi} \left\{ (l - qz + ry) \arctg \frac{y}{x}
   + \frac{1}{2} \left(-m - pz - \frac{rK}{L + 2K} x\right)
     \log (x^2 + y^2) \right\} \\
%
v &= \frac{1}{2\pi} \left\{ (m - rx + pz) \arctg \frac{y}{x}
   + \frac{1}{2} \left( l - qz - \frac{rK}{L + 2K} y\right)
     \log (x^2 + y^2) \right\} \\
%
w &= \frac{1}{2\pi} \left\{ (n - py + qx) \arctg \frac{y}{x}
   + \frac{1}{2} (px + qy) \log (x^2 + y^2) \right\}.
\end{aligned}
\right.
\] % [** Xrefs]
On % [** PP: Typo on]
vérifie aisément que ces fonctions satisfont les équations~($1'$) et en même temps
à cause de la polydromie de la fonction $\arctg \frac{y}{x}$ (Voir §~1) qu'elles sont polydromes
et correspondent à la distorsion la plus générale du corps, $l$, $m$, $n$, $p$, $q$, $r$
sont les caractéristiques de la distorsion. Il est facile de calculer les tensions qui
agissent sur la surface libre du corps.

% [** PP: Paragraph numbering restarts, later resumes at 12.]
\Paragraph{1.} Le problème fondamental de la théorie des \emph{distorsions} des corps élastiques
ayant une forme cyclique est de déterminer la déformation du corps lorsque les
caractéristiques des distorsions sont données.

Nous allons calculer l'énergie d'un corps élastique qui n'est assujetti à aucune
action externe et dont les distorsions sont connues.

L'énergie est donnée par
\[
E = -\int_S F\, dS
  = - \frac{1}{2} \int_S
    (t_{11} \gamma_{11} + t_{22} \gamma_{22} + t_{33} \gamma_{33}
   + t_{23} \gamma_{23} + t_{31} \gamma_{31} + t_{12} \gamma_{12} )\, dS
\]
où $S$ est le volume du corps.

On peut maintenant transformer cette intégrale en employant le théorème de
Gauss, mais il faut prendre garde que $u$, $v$, $w$ sont des fonctions polydromes.
C'est pourquoi l'application directe du théorème ne peut pas se faire comme nous
avons déjà vu dans la leçon précédente.

\Paragraph{2.} Pour pouvoir appliquer le théorème de Gauss il faut commencer par sectionner
le volume~$S$ de sorte qu'il devienne acyclique, et il faut ensuite regarder les
deux faces de chaque coupure comme faisant partie du contour du corps.

On trouve alors, en désignant par $\sigma_1\, \sigma_2\, \dotsc\, \sigma_n$ les coupures, que la transformation
de l'intégrale conduit à la formule suivante
%% -----File: 017.png---Folio 17-------
\begin{align*}
E &= \frac{1}{2} \sum_1^n \int_{\sigma_i}
    \{ X_i ( u_\alpha^{(i)} - u_\beta^{(i)} )
     + Y_i ( v_\alpha^{(i)} - v_\beta^{(i)} )
     + Z_i ( w_\alpha^{(i)} - w_\beta^{(i)} ) \}\, d\sigma_i
\Trail{=} \\
%
  &= \frac{1}{2} \sum_1^n \left\{
       l_i \int_{\sigma_i} X_i\, d\sigma_i
     + m_i \int_{\sigma_i} Y_i\, d\sigma_i
     + n_i \int_{\sigma_i} Z_i\, d\sigma_i \right.
\Trail{+} \\ % [** PP: Re-breaking]
  &\quad+ \left. %[** PP: Changed \int_{\tau_i} to \int_{\sigma_i}]
       p_i \int_{\sigma_i} (Y_i z - Z_i y)\, d\sigma_i
%
     + q_i \int_{\sigma_i} (Z_i x - X_i z)\, d\sigma_i
     + r_i \int_{\sigma_i} (X_i y - Y_i x)\, d\sigma_i \right\}
\end{align*}
où $u_{\alpha}^{(i)}$, $v_{\alpha}^{(i)}$, $w_{\alpha}^{(i)}$; $u_{\beta}^{(i)}$, $v_{\beta}^{(i)}$, $w_{\beta}^{(i)}$, sont les valeurs des composantes des déplacements
des deux côtés de la coupure~$\sigma_i$: $l_i, m_i, n_i, p_i, q_i, r_i$ sont les caractéristiques de la
distorsion relatives à la coupure~$\sigma_i$; et $X_i\, Y_i\, Z_i$ sont les composantes de la tension
unitaire qui s'exerce sur chaque élément d'aire de la même coupure.

Posons
\begin{gather*}
L_i = \int_{\sigma_i} X_i\, d\sigma_i\qquad
M_i = \int_{\sigma_i} Y_i\, d\sigma_i\qquad
N_i = \int_{\sigma_i} Z_i\, d\sigma_i \\
P_i = \int_{\sigma_i} (Y_i z - Z_i y)\, d\sigma_i\quad
Q_i = \int_{\sigma_i} (Z_i x - X_i z)\, d\sigma_i\quad
R_i = \int_{\sigma_i} (X_i y - Y_i x)\, d\sigma_i
\end{gather*}
on aura
\[ %[** PP: Modernized notation, added period]
E = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n
    (L_i l_i + M_i m_i + N_i n_i + P_i p_i + Q_i q_i + R_i r_i ).
\]

Si l'on compose les tensions qui sont appliquées sur la coupure~$\sigma_i$, en prenant
pour centre de réduction l'origine, on trouve que $L_i, M_i, N_i$ sont les composantes
de la force résultante et $P_i, Q_i, R_i$ les composantes de la couple résultante.

On peut écrire la formule précédente d'une manière plus simple en appelant
$s_1\, s_2\, \dotsc\, s_{6n}$ les quantités $l_i, m_i, n_i$ et~$E_1, E_2 \dotsc E_{6n}$ les quantités correspondantes
$L_i, M_i, N_i$; elle devient en effet
\[
E = \frac{1}{2} \sum_1^{6n} E_i s_i.
\]

Supposons que les quantités $s_1\, s_2\, \dotsc s_{6n}$ soient nulles excepté $s_h = 1$. Appelons
$E_{ih}$ les valeurs correspondantes des coefficients~$E_i$. Lorsque $s_1\, s_2\, \dotsc s_{6n}$ sont quelconques
on aura
%% -----File: 018.png---Folio 18-------
\[
E_i = \sum_1^{6n}  E_{ih} s_h
\]
c'est pourquoi
 % [** PP: Added period]
\[
E = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{6n} \sum_{h=1}^{6n} E_{ih} s_i s_h.
\]

\Paragraph{3.} Nous allons démontrer maintenant une propriété fondamentale des coefficients~$E_{ih}$,
et nous nous permettons à ce propos de faire quelques remarques générales.

Green a démontré par l'application du théorème de Gauss un théorème fondamental
dans la théorie du potentiel. Mais le théorème de Green n'est pas borné au
cas du potentiel, il peut s'étendre à un nombre considérable de cas. J'ai démontré
qu'il peut s'étendre à tous les problèmes qui dépendent du calcul des variations.

Même le problème de l'élasticité, comme tout problème de mécanique, se
rattache à une question de calcul de variation, c'est pourquoi on a le théorème
analogue à celui de Green pour l'élasticité. Il a été donné pour la première fois
par Betti qui en a fait des applications remarquables pour l'intégration des problèmes
de l'équilibre élastique. Cerruti, Boussinesq, Somigliania ont continué par
le chemin qui avait été tracé par Betti.

Or si les déplacements sont polydromes, puisque le théorème de Gauss ne
peut plus s'appliquer, le théorème de Betti n'est plus applicable. %[** PP: Changed , to .]
Nous allons voir
cependant qu'on peut reprendre, même dans ce cas, l'idée fondamentale de Green,
et l'on est amené par là à une loi de réciprocité fort intéressante.

Supposons que nous appliquons successivement au corps élastique deux distorsions
caractérisées par les valeurs $s'_1, s'_2, \dotsc s'_{6n}$ et $s''_1, s''_2 \dotsc s''_{6n}$ des caractéristiques.
Soient $\gamma'_{rs}$ et~$\gamma''_{rs}$ les valeurs des~$\gamma_{rs}$ correspondant aux deux déformations, $F'$ et~$F''$
les valeurs du potentiel élastique.

On aura, par un théorème bien connu d'algèbre,
\[
  \int_S \sum \pderiv{F'}{\gamma'_{rs}} \gamma''_{rs}\, dS
= \int_S \sum \pderiv{F''}{\gamma''_{rs}} \gamma'_{rs}\, dS
\]
et si nous transformons ces intégrales, après avoir réduit acyclique le volume~$S$
par les coupures, en regardant toujours les faces des coupures comme faisant partie
du contour du volume~$S$ on trouve
\[
\sum_1^{6n} E''_i s'_i = \sum_1^{6n} E'_i s''_i
\]
%% -----File: 019.png---Folio 19-------
$E''_i$ et~$E'_i$ étant les valeurs des quantités~$E_i$ correspondant aux deux distorsions.
On tire de là
\[
  \sum_{i=1}^{6n} \sum_{h=1}^{6n} E_{ih} s'_i s''_h
= \sum_{i=1}^{6n} \sum_{h=1}^{6n} E_{ih} s''_i s'_h
\]
et puisque les quantités $s'_i$ et~$s''_i$ sont arbitraires, on doit avoir
\[
E_{ih} = E_{hi}.
\]

Cette propriété réciproque des coefficients~$E_{ih}$ peut s'interpréter de plusieurs
manières et conduit à des théorèmes mécaniques qu'on énonce facilement.

On peut appeler l'ensemble de la force ayant pour composantes $L_i, M_i, N_i$ et
de la couple ayant pour composantes $P_i, Q_i, R_i$ \emph{l'effort total} appliqué à la coupure~$\sigma_i$
et l'on peut appeler toutes les quantités $E_1, E_2 \dotsc E_{6n}$ les \emph{caractéristiques des
efforts}.

On a alors que%
\begin{Prop}
si deux systèmes de distorsions engendrent deux systèmes d'efforts,
la somme des produits des caractéristiques des efforts du premier système multipliées
par les caractéristiques des distorsions du second système est égale à la somme des
produits des caractéristiques des efforts du second système multipliées par les caractéristiques
des distorsions du premier système.
\end{Prop}

Lorsque les quantités $s_1, s_2 \dotsc, s_{6n}$ sont nulles excepté $s_h = 1$ la distorsion peut
s'appeler une \emph{distorsion élémentaire d'ordre~$h$}. $E_{ih}$~est l'effort d'ordre~$i$ engendré
par la distorsion élémentaire d'ordre~$h$. $E_{hh}$~est l'effort conjugué de la distorsion
élémentaire. Le théorème précédent peut donc s'énoncer en disant que%
\begin{Prop}
l'effort
d'ordre~$i$ engendré par la distorsion élémentaire d'ordre~$h$ est égal à l'effort d'ordre~$h$
engendré par la distorsion élémentaire d'ordre~$i$.
\end{Prop}


\Chapter{\Ord{4}{ième} leçon.}

\Paragraph{4.} Nous avons démontré dans la leçon précédente que la même distorsion
exécutée sur deux coupures qui peuvent se réduire l'une à l'autre par une déformation
continue engendre la même déformation du corps.

Les deux coupures peuvent s'appeler à cause de cela des \emph{coupures équivalentes}.
Le théorème qu'on vient de rappeler peut être complété en démontrant que les efforts
dans les coupures équivalentes sont égaux. Prenons en effet la partie du
corps entre deux coupures équivalentes. Les tensions qui sollicitent les éléments
%% -----File: 020.png---Folio 20-------
des coupures doivent se faire équilibre. On tire de là tout de suite l'égalité des
deux efforts.

Donc les efforts dépendent, comme les distorsions, de la nature géométrique
du corps et de la déformation.

Le problème que l'on peut se proposer est d'étudier les propriétés des efforts
et de les déterminer, les distorsions étant données.

Nous allons voir que l'on peut obtenir des théorèmes généraux sans intégrer
directement les équations de l'élasticité.

\Paragraph{5.} Supposons que nous ayons un solide de révolution qui ait une connexion
double; il peut être engendré par la révolution d'une aire plane simplement connexe
autour d'un axe du plan qui ne la rencontre pas, ou il peut être engendré
par la rotation d'une aire doublement connexe limitée par l'axe. Supposons que
le solide soit rempli d'une substance électrique dont la constitution soit symétrique
par rapport à l'axe.

L'énergie du système est donnée par
\[
E = \tfrac{1}{2} \sum_1^6 \sum_1^6 E_{ih} s_i s_h
\]
où
\[
s_1=l,\quad s_2=m,\quad s_3=n,\quad s_4=p,\quad s_5=q,\quad s_6=r.
\]
Cette expression peut se comparer à la force vive d'un liquide indéfini sans tourbillons
à l'intérieur duquel se trouve un corps solide symétrique, et l'on peut répéter dans
ce cas des raisonnements tout à fait semblables à ceux que l'on fait dans cette
question d'hydrodynamique. On trouve par là, en vertu de la symétrie, qu'on
peut toujours choisir l'origine en un point de l'axe de symétrie de manière que
l'expression de~$E$ devienne
\[
E = \tfrac{1}{2}
  \{ E_{11} ( s^2_1 + s^2_2 ) + E_{33}\, s^2_3
   + E_{44} ( s^2_4 + s^2_5 ) + E_{66}\, s^2_6 \}. % [** PP: Added period]
\]
L'origine s'appelle le \emph{point central de l'axe de symétrie}.

Les quantités~$E_{ih}$ sont nulles lorsque $i$ et~$h$ ne sont pas égaux; c'est pourquoi
on a le théorème:

\begin{Theorem}
Dans un corps symétrique qui a une connexion double chaque distorsion élémentaire
engendre un seul effort qui est l'effort conjugué, le centre de réduction étant dans
le point central de l'axe de symétrie.
\end{Theorem}

Donc si la distorsion est due à une translation relative des molécules des deux
faces de la coupure, l'effort total engendré est une force qui passe par le point central,
et si la distorsion est une rotation l'effort total est une couple.

%[Illustration]
\begin{wrapfigure}{r}{1.75in}
\Input{021a}{1.5in}
\end{wrapfigure}
Revenons à l'exemple primitif des distorsions. Prenons un anneau symétrique,
%% -----File: 021.png---Folio 21-------
retranchons une mince tranche radiale, et soudons
les deux bouts. On serait facilement amené à croire
que les faces de la soudure sont sollicitées par une
traction, mais si nous réfléchissons que le déplacement
relatif des molécules situées d'un côté de la coupure
par rapport à celles situées de l'autre côté est dû
à une rotation autour de l'axe de symétrie, on tire
du théorème précédent que l'effort est une couple
ayant pour axe l'axe de symétrie. Mais si la résultante des tensions qui s'exercent
sur les faces de la soudure est une couple, il faut qu'une partie de la soudure
soit comprimée et qu'une partie soit tendue, et même que%
\begin{Prop}
la somme des efforts de
traction égalise la somme des efforts de compression.
\end{Prop}

On arrive par là à un résultat qui est inattendu.

%[Illustration]
\begin{wrapfigure}{r}{1.75in}
\Input{021b}{1.75in}
\end{wrapfigure}
Supposons maintenant que la même tranche
retranchée ait une largeur uniforme. La distorsion
consiste alors dans une translation, et l'effort est
une force normale à l'axe de symétrie et qui le
rencontre au point central. Même dans ce cas une
partie de la soudure est comprimée et une partie
supporte une traction, mais si nous envisageons l'énergie
du système, on a aisément que dans le cas de
la fissure radiale la partie comprimée est la partie
interne de la soudure et la partie externe supporte
la traction, tandis qu'on a le contraire si la fissure
est de largeur uniforme.

Appliquons maintenant le théorème des coupures équivalentes. On en tire que
si la fissure est radiale toute section de l'anneau supporte, d'une manière symétrique,
la compression et la traction, mais dans le cas de la fissure uniforme dans la
région~$A'$ de l'anneau opposée à la soudure~$A$ les choses sont renversées, et une
section en~$A'$ supporte dans la partie interne la compression et dans la partie
externe la traction.

Voilà que par la considération de l'énergie du système déformé on tire un
grand nombre de propriétés sans intégrer les équations de l'équilibre élastique.

\Paragraph{12.} Il est intéressant cependant d'approfondir le cas de l'anneau symétrique
isotrope en étudiant en détail les déformations produites par les distorsions. Il faut
pour cela intégrer effectivement les équations de l'équilibre et il est nécessaire
de partir des formules~(6) que nous avons données dans la précédente leçon. % [** Xref]
%% -----File: 022.png---Folio 22-------

Nous envisageons un cylindre creux symétrique isotrope, nous prenons
l'origine dans le centre de symétrie, et faisons coïncider l'axe~$z$ avec l'axe de
symétrie. Les déplacements donnés par les formules~(4) de la leçon précédente % [** Xref]
correspondent à la distorsion la plus générale ayant pour caractéristiques $l, m, n,
p, q, r$; mais si nous calculons les tensions qui sollicitent le corps, nous voyons que
pour obtenir ce cas d'équilibre il faut supposer que les surfaces latérales et les
bases du cylindre soient sollicitées par des tensions. Or nous voulons envisager le
cas où le cylindre est déformé par la distorsion et n'est pas assujetti %[** PP: Typo assujétti]
à des actions
externes. Il faut donc éliminer les tensions superficielles.

Représentons par~$T$ l'ensemble de ces tensions. Supposons maintenant que le
cylindre primitif n'ayant pas de distorsions soit soumis à l'action des tensions~$-T$,
c'est à dire des tensions égales et contraires aux tensions~$T$. Soient $u'\, v'\, w'$ les
déplacements qu'on trouve. En prenant les différences
\[
u-u'\quad v-v'\quad w-w'
\]
on aura des déplacements qui correspondent à la distorsion du corps, mais en même
temps les tensions au contour auront été éliminées. On voit par là que l'élimination
des tensions au contour est un problème ordinaire de l'équilibre élastique
qu'on peut tâcher de résoudre par les méthodes ordinaires.

Dans les formules~(4) nous avons 6~constantes arbitraires qui correspondent % [** Xref]
aux six distorsions élémentaires. On peut simplifier beaucoup le problème en
envisageant séparément chaque distorsion élémentaire. On voit par la symétrie
que les distorsions d'ordre~$1$ et~$2$ se ramènent l'une à l'autre et de même celles
d'ordre~$4$ et~$5$. Il suffit donc d'envisager les distorsions d'ordre
\[
2,\ 3,\ 5,\ 6.
\]
% [** PP: Removing paragraph break]
%[Illustration]
\begin{wrapfigure}[10]{l}{2in} % **** Explicit height, vertical adjustment
\raisebox{0.25in}[2in][0pt]{\Input{022a}{1.75in}}
\end{wrapfigure}
Commençons par celles d'ordre~$6$ et~$2$. La distorsion d'ordre~$6$ correspond
évidemment à la \emph{fissure radiale} et celle d'ordre~$2$ à la \emph{fissure de largeur uniforme}.

Dans le cas de la distorsion d'ordre~$6$ on élimine
très aisément, en vertu de la symétrie, les tensions
latérales, et l'on trouve qu'après la distorsion le corps
garde sa forme cylindrique régulière et les bases
gardent leur distance initiale si on les comprime dans
la région (interne) que nous avons laissée en blanc et
si on exerce une traction dans la région (externe)
que nous avons hachée. Appelons~$T$ l'ensemble de %[** PP: Typo Appellons]
ces tensions. Il n'y a plus de difficulté alors à déterminer
la forme du corps lorsqu'il est complètement
libre et qu'aucune force ne s'exerce sur les bases.
%% -----File: 023.png---Folio 23-------
En effet il suffit d'envisager un cylindre à l'état naturel et de chercher la déformation
lorsqu'on le sollicite par les tensions~$-T$. La forme que le corps prendra
sera celle que nous cherchons. Prenons une tranche radiale du cylindre: la partie
en blanc supportera une traction, la partie hachée une compression; c'est pourquoi
cette tranche subira une flexion.
%[Illustrations]
\begin{center}
\quad\Input{023a}{1in}\hfill
\Input{023b}{1in}\hfill
\raisebox{0.25in}{\Input{023c}{2in}}\quad
\end{center}

Chaque tranche du cylindre se déformant par une flexion pareille le cylindre
prendra la forme indiquée par la figure voisine, c'est à dire que le bord interne se
soulèvera, le bord externe s'abaissera tandis que la surface latérale externe deviendra
concave, et la surface latérale interne convexe.

J'ai voulu vérifier par l'expérience ce résultat, et j'ai pris un gros cylindre
creux de caoutchouc, j'y ai fait une fissure radiale, et j'ai soudé les deux faces de
la fissure. La forme prise par le corps a été celle que le calcul avait prévue, et l'on
a pu même vérifier par des mesures que les résultats des calculs étaient exacts.
On pouvait aussi remarquer que la partie interne de la soudure était comprimée et
que la partie externe supportait un effort de traction. A cause de cet effort la
soudure ne résistait pas, c'est pourquoi pour garder la forme j'en ai pris le modèle
en plâtre que je vous montre. L'endroit de la coupure est parfaitement visible.

Quelquefois il arrive que l'on veut rétrécir un tube, mais si l'on retranche
une tranche radiale du tube et que l'on soude les deux faces, le tube prend sa forme
cylindrique. Les forgerons et tous ceux qui ont essayé cette opération connaissent
très-bien ce résultat que maintenant la théorie des solutions polydromes explique
parfaitement.

\Paragraph{13.} Quelle est maintenant la forme du cylindre lorsqu'on fait la fissure de
largeur uniforme, c'est à dire lorsqu'on fait une distorsion d'ordre~$2$?

On peut procéder tout à fait de la même manière que dans le cas précédent.
On peut commencer par éliminer les tensions latérales et après les tensions sur les
%% -----File: 024.png---Folio 24-------
bases. La forme prise par le corps est même plus compliquée que dans le cas
précédent. Elle est représentée par la figure ci-jointe, et voici un plâtre qui est le
modèle d'un cylindre de caoutchouc qui
a supporté une distorsion d'ordre~$2$. Même
dans ce cas l'expérience a vérifié complètement
les résultats du calcul.

%[Illustration]
\begin{wrapfigure}{l}{2.5in}
\Input{024a}{2.25in}
\end{wrapfigure}
Je n'entre pas dans les détails sur les
distorsions d'ordre~$5$ et d'ordre~$3$. La première
peut se déduire de celle d'ordre~$2$ par
des intégrations simples, et la dernière peut
se calculer directement sans difficulté. Cette
distorsion s'obtient en faisant glisser les
deux faces de la coupure, l'une par rapport
à l'autre, dans la direction de l'axe du
cylindre et en les soudant ensuite.

Nous avons dit (§~4) qu'on peut se % [** Xref]
proposer le problème de déterminer les efforts lorsqu'on connaît %[** PP: Typo connait]
les distorsions
d'un corps cyclique. Avant de laisser ce sujet nous voulons indiquer en peu de mots
comment on peut traiter cette question dans le cas général d'un corps cyclique
formé par un nombre quelconque de verges droites ou courbes très-minces soudées
à leurs bouts en plusieurs n{\oe}uds. % [** PP: Typo noeuds]

%[Illustration]
% [** PP: Bounding box of PDF file manually adjusted to [0 -2 112 124]]
\begin{wrapfigure}{l}{1.5in}
\Input{024b}{1.5in}
\end{wrapfigure}
Soit $AB$ l'une des verges, les efforts dans toutes les
sections de la verge seront égaux. Prenons l'origine
comme centre de réduction, et désignons par
\[
X_1^{(ab)}\, X_2^{(ab)}\, X_3^{(ab)}\, X_4^{(ab)}\, X_5^{(ab)}\, X_6^{(ab)}
\]
les caractéristiques des efforts correspondantes aux sections
de la verge.

Soient $x_1^{(a)}\, x_2^{(a)}\, x_3^{(a)}\, x_4^{(a)}\, x_5^{(a)}\, x_6^{(a)}$ les composantes de la
translation et de la rotation qui ont conduit la molécule~$A$
de l'état naturel à % [** PP: Typo a]
l'état actuel et $x_1^{(b)}\, x_2^{(b)}\, x_3^{(b)}\, x_4^{(b)}\, x_5^{(b)}\, x_6^{(b)}$ les quantités analogues
relatives à la molécule~$B$.

Soient $e_1^{(ab)}\, e_2^{(ab)}\, e_3^{(ab)}\, e_4^{(ab)}\, e_5^{(ab)}\, e_6^{(ab)}$ les caractéristiques de la distorsion qu'on a
appliquée à une section de la verge~$AB$. On aura des relations linéaires
\[
x_r^{(a)} - x_r^{(b)} + e_r^{(ab)} %[** PP: Added operator +]
  = \sum_1^6 H_{ri} X_i\qquad
r = 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6
\]
%% -----File: 025.png---Folio 25-------
et les coefficients constants~$H_{ri}$ dépendront de la forme initiale et de la constitution
de la verge.

En même temps si nous prenons toutes les verges qui aboutissent au point~$A$
et qui sont soudées ensemble dans ce point on doit avoir pour l'équilibre
\[
x_i^{(ab)} + x_i^{(ac)} + x_i^{(ad)} + \dotsb = 0\qquad
i = 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6.
\]
On a donc six équations pour chaque n{\oe}ud % [** PP: Type noeud]
et six équations pour chaque verge.

Ces équations sont tout à fait semblables aux équations de Kirchhoff pour les
courants électriques dans les fils; seulement elles sont sextuplées. On peut développer
une théorie du même type que celle de Kirchhoff où les caractéristiques
des distorsions remplacent les forces électromotrices et les caractéristiques des
efforts les intensités des courants.

\begin{Bibliographie}

\Bibitem{Riemann-Weber.}{Die Partiellen Diff.-gleich.\ der Math.\ Physik.\ 1.~Vol.}
\Bibitem{Love.}{Math.\ Theory of elasticity.}
\Bibitem{Weingarten.}{Rendiconti della R. Accademia dei Lincei. S.~V. Vol.~X.}
\Bibitem{Volterra.}{Rendiconti della R. Accademia dei Lincei. S.~V. Vol.~XIV. \primo Sem.\
fasc.\ 3, 4, 8, 12. \secundo Sem.\ fasc.~7.}
\Bibitem{Maggi.}{Rendiconti della R. Accademia dei Lincei. S.~V. %[** PP: Changed , to .]
Vol.~XIV. \secundo Sem.}
\Bibitem{Timpe.}{Inaugural-Dissertation. Göttingen. (Leipzig 1905).}
\end{Bibliographie}


\Chapter{\Ord{5}{ième} leçon.}

\Paragraph{1.} Nous avons étudié dans les leçons précédentes les solutions des équations
de l'élasticité qui appartiennent au type elliptique, et nous avons envisagé particulièrement
les solutions polydromes et le rôle qu'elles jouent dans la théorie. Le
cas de l'élasticité nous offre le meilleur exemple pour trouver leur interprétation
et leur utilité pratique.

Nous voulons pénétrer aujourd'hui plus profondément dans l'étude des solutions
des équations du type elliptique, mais pour cela nous laisserons de côté le
cas de l'élasticité, et nous envisagerons le cas le plus simple possible, celui de l'équation
de Laplace qui correspond à la théorie du potentiel.

On peut considérer l'équation de Laplace relative à un nombre quelconque
de variables %[** PP: Removing period]
%% -----File: 026.png---Folio 26-------
\[
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0,\quad
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0,\quad
  \frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial x_2^2}
+ \frac{\partial^2 u}{\partial x_3^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial x_4^2} = 0,\ \text{etc.}
\]

Le cas devient de plus en plus compliqué, mais bien des théorèmes s'étendent
sans aucune difficulté de proche en proche. Par exemple le théorème de Green,
avec toutes ses conséquences et toutes ses applications. Il est utile, je puis dire
même indispensable, pour cette étude d'introduire le langage emprunté à la théorie
des espaces à plusieurs dimensions. C'est seulement un langage, mais il est un
instrument très-puissant pour énoncer des théorèmes, et il amène par l'induction à
trouver des propositions nouvelles. Je citerai dans cette direction les études de
Ch.\ Bjerknes qui correspondent au mouvement d'une ellipsoïde % [** PP: Typo ellipsoide]
à $n$~dimensions dans
un fluide à $n$~dimensions.

\Paragraph{2.} Cependant dès les premiers pas dans les recherches dont je viens de parler
on a l'impression qu'il y a une lacune à combler, c'est à dire que quelque
chose manque.

Je vais citer un seul exemple. Les domaines à deux dimensions ont une
seule sorte de connexion; les domaines à trois dimensions ont deux sortes de connexions.
En effet nous avons déjà distingué les espaces cycliques et les espaces
acycliques, et nous avons vu quel rôle joue la cyclicité dans le cas de l'élasticité.
Mais prenons le volume compris entre deux sphères concentriques. Il est acyclique,
c'est à dire que tout cycle formé par une ligne fermée peut se réduire aussi petit
que l'on veut par une déformation continue, sans sortir de l'espace, mais la même
propriété ne se vérifie pas pour toute surface fermée, car une surface menée entre
les deux sphères ne peut pas être réduite aussi petite que l'on veut sans sortir
de l'espace renfermé entre les deux sphères. Il y a donc deux sortes de connexions
dans le cas de trois dimensions, on les appelle \emph{connexion linéaire} ou cyclicité et
\emph{connexion superficielle}, mais on connaît % [** PP: Typo connait]
une seule sorte de polydromie. Si le nombre
des dimensions augmente, on a plusieurs sortes de connexions toujours plus compliquées,
mais à cela ne correspondent pas plusieurs sortes de polydromies.

Le cas de deux variables est étroitement lié à la théorie des fonctions. En
effet par la séparation de la partie imaginaire dans une fonction d'une variable
complexe on trouve deux fonctions de deux variables qui satisfont à l'équation de
Laplace. Réciproquement toute fonction de deux variables qui satisfait à l'équation
de Laplace possède une fonction conjuguée, et en ajoutant la première à la fonction
conjuguée multipliée par $i = \sqrt{-1}$ on trouve une fonction d'une variable complexe.

L'existence de la fonction conjuguée et la liaison avec la théorie des fonctions
engendrent un ensemble de propriétés dans le cas de deux variables qui manquent
dans le cas d'un nombre plus grand de variables et ce sont ces propriétés pourtant
%% -----File: 027.png---Folio 27-------
qui conduisent dans le cas de deux variables aux propositions les plus importantes
et les plus cachées de la théorie.

On est amené par là à soupçonner que la lacune dont j'ai parlé tout à l'heure
pourrait être comblée en étendant au cas de plusieurs variables la théorie des fonctions
conjuguées.

Je consacrerai cette leçon et la suivante à donner un aperçu de quelques recherches
qu'on a faites à ce sujet qui conduisent à deux branches différentes provenant
cependant d'une même source.

\Paragraph{3.} Rappelons les propriétés des fonctions conjuguées dans le cas de deux
variables.

Si la fonction~$u$ satisfait à l'équation de Laplace $\Delta^2 u = 0$ en posant
\[
\pderiv{u}{x} = X,\quad
\pderiv{u}{y} = Y
\]
on trouve
\iffalse %[** PP: Commented code duplicates original]
\begin{align*}
\pderiv{X}{y} &= \pderiv{Y}{x} \\
\pderiv{X}{x} &+ \pderiv{Y}{y} = 0.
\end{align*}
\fi %[** End of commented code]
\[ %[** PP: Setting on one line, adding comma]
\pderiv{X}{y} = \pderiv{Y}{x},\qquad \pderiv{X}{x} + \pderiv{Y}{y} = 0.
\]
C'est pourquoi
\[
X\, dx + Y\, dy,\quad Y\, dx - X\, dy
\]
sont des différentielles exactes.

Envisageons les fonctions dans une aire~$\sigma$ à connexion simple, où $X$, $Y$ sont
finies, continues et monodromes. Calculons
\[
u = u_0 + \int_{A_0}^{A_1} (X\, dx + Y\, dy),\quad
v = v_0 + \int_{A_0}^{A_1} (Y\, dx - X\, dy),
\]
%[Illustration]
\begin{wrapfigure}{r}{1.5in}
\Input{027a}{1.5in}
\end{wrapfigure}
les intégrales étant étendues à une ligne~$s$ qui en
partant du point~$A_0$ aboutit au point~$A_1$, où $u_0$ est
la valeur de~$u$ dans le point~$A_0$ et~$v_0$ est une quantité
constante. On a que les intégrales ne dépendent pas
de la ligne~$s$ pourvu que $A_0$ et~$A_1$ ne changent pas
et $u$ est la valeur de la fonction~$u$ dans le point~$A_1$
et $v$ est la valeur de la fonction conjuguée dans
le même point. L'aire étant à connexion simple si le
point~$A_1$ coïncide avec~$A_0$ les intégrales sont nulles, c'est pourquoi $u$ et~$v$ sont
des fonctions monodromes, mais si l'aire~$\sigma$ est à connexion multiple $u$ et~$v$ peuvent
être polydromes.
%% -----File: 028.png---Folio 28-------

La dérivée de~$u$ dans une direction quelconque~$\xi$ est égale à la dérivée de~$v$
dans la direction normale~$\eta$, si les directions $\xi$, $\eta$ sont orientées l'une par rapport
à l'autre comme $x$ et~$y$.

En calculant $u + iv = f$, on obtient une fonction de la variable complexe
$x + iy$.

\Paragraph{4.} Passons maintenant au cas de trois variables.

Soit $u$ une fonction qui satisfait à l'équation de Laplace; posons
\[
\pderiv{u}{x} = X,\quad
\pderiv{u}{y} = Y,\quad
\pderiv{u}{z} = Z;
\]
on aura évidemment
\begin{gather*}
\pderiv{Z}{y} - \pderiv{Y}{z} = 0,\quad
\pderiv{X}{z} - \pderiv{Z}{x} = 0,\quad
\pderiv{Y}{x} - \pderiv{X}{y} = 0;
\tag{1} \\
\pderiv{X}{x} + \pderiv{Y}{y} + \pderiv{Z}{z} = 0.
\tag{2}
\end{gather*}

La propriété caractérisée par les équations~(1) peut s'énoncer en disant que
le \emph{curl} % [** PP: Typo curls]
du vecteur ayant pour composantes $X$, $Y$, $Z$ est nul et la propriété caractérisée
par l'équation~(2) en disant que la \emph{divergence} du vecteur est nulle.

\Paragraph{5.} Cela posé, soit~$S$ un domaine ayant une connexion simple linéaire et aussi
une connexion superficielle simple. Toute ligne fermée sera le contour d'une surface
renfermée dans le domaine et toute surface fermée sera le contour d'un volume
aussi renfermé dans le domaine. C'est pourquoi en employant le théorème de
Stokes on trouvera
\[
\int_s (X\, dx + Y\, dy + Z\, dz) = 0
\tag{3}
\]
l'intégrale étant étendue à une ligne fermée~$s$, et en appliquant le théorème de
Gauss on aura
\[
\int_\sigma (X \cos nx + Y \cos ny + Z \cos nz)\, d\sigma = 0
\tag{4}
\]
où cette intégrale est étendue à une surface fermée quelconque.

On tire de l'équation~(3) que si l'on étend l'intégrale à une ligne~$s'$ qui en
partant d'un point~$A_0$ aboutit à un point~$A_1$ la valeur de l'intégrale dépendra seulement
des points $A_0$ et~$A_1$, et ne dépendra pas de la ligne comprise entre
ces points.
%% -----File: 029.png---Folio 29-------

Si nous appelons $u_0$ la valeur de~$u$ au point~$A_0$ on aura
\[
u = u_0 + \int_{s'} (X\, dx + Y\, dy + Z\, dz)
\]
$u$ étant la valeur de la fonction au point~$A_1$. Envisageons maintenant l'intégrale~(4),
mais supposons qu'elle ne soit pas étendue à une surface fermée, mais à une
surface ouverte. Pour déterminer la direction de la normale~$n$ à la surface nous
convenons que, le bord de la surface ayant une direction déterminée personnifiée
par une poupée qui regarde la surface, $n$~soit dirigée de droite à gauche de la
poupée. Cela posé on tire % [** PP: Removed comma]
tout de suite de l'équation~(4) que la valeur de l'intégrale
étendue à la surface ouverte ne dépend pas de la surface où l'on a calculé
l'intégrale, mais de son bord. C'est pourquoi l'intégrale étendue à une ligne conduit
à une fonction des points de l'espace: c'est à dire à la fonction primitive, et de
même l'intégrale étendue à une surface conduit à une fonction des lignes de l'espace.

Il n'y a pas de difficulté à concevoir des fonctions de lignes comme on conçoit
des fonctions ordinaires, c'est à dire les fonctions des points. En effet, si l'on
regarde tous les points de l'espace, et si l'on suppose qu'à chaque point correspond
la valeur d'une quantité, on a % [** PP: Typo à]
une fonction des points de l'espace, c'est à dire une
fonction ordinaire de trois variables. Mais toutes les lignes forment aussi des
éléments géométriques de l'espace, et l'on peut évidemment concevoir une quantité
qui a une valeur correspondant à chaque ligne. Voilà donc une fonction des lignes.

%[Illustration]
\begin{wrapfigure}{r}{2.5in}
\Input{029a}{2.5in}
\end{wrapfigure}
Celle que nous avons trouvée n'est
qu'une fonction particulière. Elle correspond
à des lignes fermées, elle est
continue et elle a aussi une autre propriété
intéressante. Soient $s$ et~$s'$ deux
lignes fermées qui ont un arc commun~$AB$.
Si on doit parcourir l'arc~$AB$ en
directions contraires en supposant qu'il
appartienne aux deux lignes, on pourra
retrancher~$AB$ et obtenir une courbe~$s''$
dont la direction même sera déterminée.
On écrira
\[
s'' = s + s'.
\]

Soit $V$ la fonction des lignes que nous avons trouvée, et désignons par $V,
V', V''$ les valeurs correspondant aux lignes $s, s', s''$ il est évident que
\[
V'' = V' + V.
\]
%% -----File: 030.png---Folio 30-------

C'est pourquoi l'on peut appeler la fonction des lignes que nous avons trouvée
une \emph{fonction de premier degré}.

\Paragraph{6.} Elle a été obtenue par un procédé d'intégration; il est facile d'y appliquer
un procédé inverse qu'on peut appeler un procédé de dérivation.

%[Illustration]
% [** PP: Moved up one paragraph to accommodate pagination]
\begin{wrapfigure}[10]{l}{1.75in}% **** Explicit height
\Input{030a}{1.75in}
\end{wrapfigure}
Revenons à une fonction ordinaire des points de l'espace. Pour la dériver
il suffit de déplacer le point indice de la fonction dans une certaine direction, de
calculer le rapport entre la variation de la fonction et le déplacement, et d'en déterminer
la limite lorsque le déplacement devient infiniment petit.

De même prenons la fonction des lignes que nous avons trouvée. Déplaçons
en~$l'$ un arc~$l$ de la ligne, et cherchons la variation correspondante de la fonction.
A % [** PP: Typo À]
cause des propriétés que nous avons trouvées
cette variation sera la valeur de la fonction correspondant
à la ligne formée par les arcs $l'$ et~$l$
en supposant que l'on invertisse la direction dans
laquelle on doit parcourir l'arc~$l$. Elle pourra donc
s'exprimer par
\[
W = \int_\Sigma (X \cos nx + Y \cos ny + Z \cos nz)\, d\Sigma,
\]
$\Sigma$ étant une surface ayant pour contour les lignes
$l$ et~$l'$; $n$~sa normale prise dans la direction qu'on
a établie précédemment.

Supposons maintenant que la surface~$\Sigma$ en décroissant infiniment d'une manière
régulière tende vers un point~$M$; on aura
\[
\lim \frac{W}{\Sigma} = X \cos nx + Y \cos ny + Z \cos nz
\]
en prenant les valeurs de $X, Y, Z$ qui correspondent au point~$M$.

On peut appeler $\lim \smash[b]{\dfrac{W}{\Sigma}}$ la dérivée de~$V$ par rapport à~$\Sigma$, et l'on peut la représenter
par~$\dfrac{dV}{d\Sigma}$. Il est évident que le signe dont la dérivée est affectée n'est
déterminé que lorsqu'on connaît % [** PP: Typo connait]
la direction positive de la normale à la surface~$\Sigma$.
Prenons la dérivée de~$V$ par rapport à une surface~$\Sigma$ normale à l'axe~$X$ en~$M$,
on aura
\[
\frac{dV}{d\Sigma} = X.
\]
De même, si $\Sigma_1$ et~$\Sigma_2$ sont des surfaces normales aux axes $Y$ et~$Z$, on aura
%% -----File: 031.png---Folio 31-------
\[
\deriv{V}{\Sigma_1} = Y,\quad \deriv{V}{\Sigma_2} = Z,
\]
c'est pourquoi l'on peut désigner $X, Y, Z$ par les symboles
\[
\deriv{V}{(yz)},\quad \deriv{V}{(zx)},\quad \deriv{V}{(xy)}.
\]

Revenons maintenant à la fonction primitive~$u$. Nous avons
\[
\pderiv{u}{x} = X\quad
\pderiv{u}{y} = Y\quad
\pderiv{u}{z} = Z;
\]
donc
\[
\pderiv{u}{x} = \pderiv{V}{(yz)},\quad
\pderiv{u}{y} = \pderiv{V}{(zx)},\quad
\pderiv{u}{z} = \pderiv{V}{(xy)}
\]
ou en général, $n$~étant la normale à la surface~$\Sigma$,
\[
\pderiv{u}{n} = \pderiv{V}{\Sigma}.
\]

On tire de là qu'en dérivant la fonction des lignes~$V$ par rapport à une certaine
surface et en dérivant la fonction~$u$ par rapport à la normale à cette surface
on trouve la même valeur. Donc la fonction~$u$ et la fonction~$V$ ont une relation
réciproque tout à fait analogue à celle des deux fonctions conjuguées dans le cas
de deux variables. C'est pourquoi dans le cas de trois variables, pour arriver à
une fonction conjuguée de la fonction potentielle, il faut introduire les fonctions
des lignes.

\Paragraph{7.} On pourrait penser que ce nouveau concept est tout à fait abstrait, mais
nous voulons montrer bien au contraire qu'il correspond à des concepts réels et à
des vues pratiques.

Il suffit pour cela d'envisager un champ électromagnétique constant. Supposons
que nous ayons un pôle magnétique unitaire qui se déplace en prenant toutes
les positions possibles dans un certain domaine externe à toute masse magnétique,
électrique et à tout courant électrique. Le potentiel du champ par rapport au
pôle sera une fonction qui vérifie l'équation de Laplace, c'est à dire une \emph{fonction
harmonique}.

Mais évidemment on pourra aussi penser avoir un courant électrique unitaire
qui parcourt un circuit fermé et qui se déplace en prenant toutes les positions et les
formes possibles dans le même domaine. Il est bien naturel que nous calculons le
potentiel du champ par rapport au courant électrique. On aura par là une idée
complète de la nature électromagnétique du champ, mais en même temps nous aurons
%% -----File: 032.png---Folio 32-------
envisagé une fonction des lignes fermées du domaine. Il est facile de démontrer
par un calcul très simple que cette fonction des lignes, c'est à dire le potentiel du
champ par rapport au courant, est justement la fonction conjuguée que nous avons
introduite tout à l'heure.

On a donc que le nouveau concept a une base réelle et se présente même
comme un élément nécessaire à envisager dans les théories de la physique mathématique.

\Paragraph{8.} Les fonctions conjuguées ordinaires qui se présentent dans le cas de deux
variables peuvent s'obtenir en particularisant celles que nous venons de définir. Il
suffit en effet d'envisager un champ électromagnétique à deux variables. Alors il
faut remplacer le pôle magnétique par un pôle logarithmique %[** PP: Typo logaritmique]
et le courant électrique
par un point tourbillon et le passage est déjà fait.

Il y a aussi un autre cas particulier qui présente beaucoup d'intérêt. C'est celui
des potentiels symétriques. Dans ce cas il suffit de considérer les valeurs de la
fonction conjuguée correspondant aux lignes circulaires normales à l'axe de symétrie
et ayant le centre sur l'axe même. On arrive par là à des fonctions ordinaires
qu'on appelle les fonctions associées que Kirchhoff avait introduites en partant de
concepts tout à fait différents.


\Chapter{\Ord{6}{ième} leçon.}

\Paragraph{9.} Jusqu'à présent nous avons envisagé les fonctions des lignes qui s'obtiennent
comme des fonctions conjuguées des fonctions qui satisfont à l'équation de Laplace;
mais on peut généraliser la chose. Soient $X, Y, Z$ trois fonctions quelconques
définies dans un espace~$S$ dont la connexion linéaire et la connexion superficielle
sont simples, et supposons qu'elles soient finies, monodromes et continues, et que
leurs dérivées aussi soient finies, continues et monodromes. Si l'on a
\[
\pderiv{X}{x} + \pderiv{Y}{y} + \pderiv{Z}{z} = 0
\]
%[Illustration]
\begin{wrapfigure}{r}{1.75in}
\Input{033a}{1.75in}
\end{wrapfigure}
on pourra toujours par le procédé que nous avons indiqué précédemment calculer
une fonction des lignes de l'espace. C'est pourquoi la condition pour l'existence
de la fonction des lignes est la condition~(2). Les conditions~(1) ne sont pas nécessaires % [** Xrefs]
pour son existence. Elles sont nécessaires pour qu'elle soit la fonction conjuguée
d'une fonction harmonique. Or, l'espace ayant les deux connexions simples,
%% -----File: 033.png---Folio 33-------
on peut calculer la valeur de la fonction des lignes pour chaque ligne fermée de
l'espace dont la direction est connue, et pour chaque ligne on trouve une seule
valeur. Envisageons maintenant un espace~$S$ dont
la connexion superficielle ne soit pas simple, par
exemple l'espace compris entre deux sphères concentriques
$\sigma_1$ et~$\sigma_2$. Conduisons une surface~$\sigma_3$ comprise
entre les deux, et traçons une ligne fermée~$s$
qui partage~$\sigma_3$ en deux parties $\sigma'_3$ et~$\sigma''_3$.

Ayant fixé la direction de la ligne~$s$ on pourra
calculer la valeur de la fonction correspondante à
la ligne~$s$ de deux manières en formant
\[
\int_{\sigma'_3} (X \cos n'x + Y \cos n'y + Z \cos n'z)\, d\sigma'_3
\tag{4}
\]
et
\[
\int_{\sigma''_3} (X \cos n''x + Y \cos n''y + Z \cos n''z)\, d\sigma''_3,
\tag{5}
\]
$n'$ étant la normale à~$\sigma'_3$ et $n''$ la normale à~$\sigma''_3$. Les deux normales ont évidemment
la direction opposée, c'est à dire que si l'une est dirigée vers l'intérieur de~$\sigma_3$ l'autre
est dirigée vers la partie externe. Faisons maintenant la différence des deux intégrales.
On aura l'intégrale étendue à toute la surface~$\sigma_3$, et on devra prendre la
normale dirigée constamment dans la même direction. Mais~$\sigma_3$ à elle seule ne
limite pas un volume renfermé dans~$S$, c'est pourquoi la dernière intégrale pourra
n'être pas nulle et par suite les intégrales (4) et~(5) pourront être différentes.

On voit donc que dans ce cas la valeur de la fonction des lignes n'est pas
déterminée pour chaque ligne.

On peut se faire une idée de la polydromie d'une fonction des lignes aussi
d'une autre manière.

%[Illustration]
\begin{wrapfigure}[3]{r}{1.5in}% **** Explicit height
\raisebox{0.2in}[0.5in][0pt]{\Input{033b}{1.5in}}
\end{wrapfigure}
Pour avoir la différence des valeurs de la fonction correspondante
à deux lignes $s$, $s'$, on peut déplacer la ligne~$s$
d'une manière continue de sorte qu'elle vienne %[** PP: Typo viennne]
coïncider en
position et direction avec la ligne~$s'$. Soit~$\sigma$ la surface engendrée
par ce déplacement, $V'$ la valeur de la fonction correspondante
à la ligne~$s'$ et $V$ la valeur correspondante à la
ligne~$s$. On aura
%% -----File: 034.png---Folio 34-------
\[
V' - V = \int_\sigma (X \cos nx + Y \cos ny + Z \cos nz)\, d\sigma,
\]
%[Illustrations]
%[** PP: Width-dependent formatting]
\noindent\begin{minipage}[b]{1.5in}
\Input{034a}{1.375in}\\[0.5in]
\Input{034b}{1.375in}
\end{minipage}%
\begin{minipage}[b]{4.25in} % [**** Explicit width]
$n$ étant la normale à la surface~$\sigma$ dirigée par rapport à la direction de~$s'$ de la
manière que nous avons indiquée dans le §~5. Déplaçons maintenant $s'$ en lui % [** Xref]
faisant engendrer un tube de manière que $s'$ se
rapproche indéfiniment de~$s$ jusqu'à coïncider avec~$s'$.
$\sigma$~deviendra une surface fermée. Si le domaine
où nous envisageons les choses a la connexion
superficielle simple, $\sigma$~sera le contour d'un espace
interne au domaine et par suite en appliquant le
théorème de Gauss on aura que l'intégrale étendue
à~$\sigma$ sera nulle, d'où l'on tire que les deux valeurs
$V'$ et~$V$ seront égales. Mais, si le domaine a une
connexion superficielle multiple, $\sigma$~n'est pas toujours
le contour d'un espace interne au domaine et par
suite les deux valeurs peuvent résulter différentes.
Dans ce cas donc, si une ligne fermée en décrivant
un tube revient à sa position initiale, en prenant
des valeurs de la fonction qui se suivent avec continuité,
on peut retourner avec une valeur différente
de celle du départ. Par conséquent la polydromie
pour les fonctions des lignes ne tient pas à la cyclicité, c'est à dire à la connexion
linéaire, mais à la connexion superficielle.
\end{minipage}

\Paragraph{10.} Nous avons vu que, pour rendre acyclique un espace cyclique, il faut
faire une coupure ou plusieurs coupures. Qu'est-ce qu'il faut faire pour transformer
un espace qui a une connexion superficielle multiple en un espace qui a une connexion
simple?

%[Illustration]
\begin{wrapfigure}{l}{1.75in}
\Input{034c}{1.5in}
\end{wrapfigure}
Envisageons l'espace compris entre deux sphères
concentriques. Imaginons un tube infiniment mince
qui réunit la grande sphère à la sphère interne. Par
ce tube la connexion superficielle devient simple.

Il y a d'autres cas où il faut un plus grand
nombre de tubes pour obtenir la réduction. L'ordre
de la connexion superficielle est mesuré par le nombre
des tubes plus~$1$. A chaque tube correspond une
constante spéciale pour la fonction des lignes obtenue
%% -----File: 035.png---Folio 35-------
par intégration, comme à chaque coupure correspond une constante pour une fonction
ordinaire obtenue par intégration dans un espace cyclique.

Si l'on cherche la fonction conjuguée de la fonction harmonique $\frac{1}{2} \log (x^2 + y^2)$ % [** PP: Using \frac]
dans le cas de deux variables on trouve la fonction polydrome $\arctg \dfrac{y}{x}$. De même
si l'on cherche la fonction des lignes conjuguée de la fonction harmonique
$\dfrac{1}{\sqrt{(x^2 + y^2 + z^2)}}$ on trouve une fonction des lignes polydrome.

\Paragraph{11.} On a calculé une fonction en regardant chaque ligne comme le contour
d'une surface. Si l'espace est cyclique il y a des lignes qui ne forment le contour
d'aucune surface. On peut trouver les différences des valeurs correspondantes
à ces lignes, mais nous n'insisterons pas ci-dessus.

Il y a aussi une autre manière pour calculer des fonctions des lignes de premier
degré. Nous dirons en peu de mots en quoi elle consiste.

L'équation~(2) étant satisfaite on peut trouver trois fonctions $Z_{1}, Z_{2}, Z_{3}$ de
$x, y, z$ telles que
\begin{align*}
X &= \pderiv{Z_2}{z} - \pderiv{Z_3}{y}, \\
Y &= \pderiv{Z_3}{x} - \pderiv{Z_1}{z}, \\
Z &= \pderiv{Z_1}{y} - \pderiv{Z_2}{x}.
\end{align*}

Alors, si $s$ est une ligne qui forme le contour de la surface~$\sigma$ ayant pour
normale~$n$, on a par le théorème de Stokes
\[
\int_\sigma (X \cos nx + Y \cos ny + Z \cos nz)\, ds = \int_s (Z_1\, dx + Z_2\, dy + Z_3\, dz)
\]
en choisissant convenablement la direction de la ligne~$s$. On voit par là que la
fonction d'une ligne peut se calculer par une intégrale étendue à la ligne même.

Nous avons fait usage précédemment %[** PP: Typo précédemmnnt]
du langage des champs vectoriels; on
peut y revenir pour donner une image visible et frappante des concepts que nous
avons introduits.

Lorsqu'un champ scalaire est divisé en lames infiniment minces telles que
chacune correspond au même accroissement de la quantité scalaire, la fonction
%% -----File: 036.png---Folio 36-------
scalaire dans un point quelconque sert à dénombrer les lames comprises entre ce
point et un point fixe.

Envisageons maintenant un champ solénoïdal % [** Typo solénoidal]
divisé en tubes équivalents infiniment
minces. Dans ce cas, pour connaître la nature du champ, il faut savoir
dénombrer les tubes qui passent à l'intérieur de toute ligne fermée. Voilà le concept
de fonction de ligne de premier degré qui surgit. Si le champ est en même
temps solénoïdal % [** PP: Typo solénoidal]
et scalaire, le nombre des lames comprises entre un point fixe et
le point variable et le nombre des tubes compris dans une ligne variable forment
des fonctions conjuguées.

\Paragraph{12.} Nous nous sommes bornés jusqu'à présent au cas de trois variables;
mais on peut généraliser les concepts que nous venons d'exposer au cas d'un nombre
quelconque de variables.

Dans un espace à $n$~dimensions on peut imaginer des points, des espaces à
une dimension, des espaces à deux dimensions, des espaces à trois dimensions etc.\
et des espaces à $n-1$ dimensions, c'est pourquoi l'on peut imaginer des fonctions
des points, c'est à dire des fonctions ordinaires de $n$~variables, des fonctions des
espaces à une dimension, des fonctions des espaces à deux dimensions etc.\ et enfin
des fonctions des espaces à $n-1$ dimensions.

Si ces espaces sont fermés et si nous définissons une direction des espaces, on peut
concevoir les fonctions des espaces à $r$~dimensions \emph{de premier degré}, c'est à dire,
si $S_r$ et~$S'_r$ sont deux espaces fermés à $r$~dimensions ayant une partie commune qui
a deux directions différentes selon qu'on la regarde comme appartenant à~$S_r$ ou
à~$S'_r$, retranchons cette partie et envisageons l'espace~$S''_r$ formé avec les parties
résiduelles. La fonction qu'on envisage sera de premier degré si, les valeurs correspondantes
à $S_r, S'_r, S''_r$ étant $V, V', V''$, on a
\[
V'' = V' + V.
\]

Les fonctions de premier degré des espaces à $r$~dimensions peuvent se calculer
par des intégrations étendues à des espaces à $r + 1$ dimensions, et l'on peut
former des dérivées de ces fonctions tout à fait analogues aux dérivées des fonctions
des lignes que nous avons envisagées.

De cette manière dans un espace à $n$~dimensions on peut obtenir des fonctions
conjuguées de $\dfrac{n-1}{2}$ types différents, si $n$~est un nombre impair et de~$\dfrac{n}{2}$
types, si $n$~est pair. En effet à une fonction des espaces à $r$~dimensions ($r < n-1$)
on peut faire correspondre comme fonction conjuguée une fonction de $n-r-2$
dimensions.
%% -----File: 037.png---Folio 37-------

Dans un espace à deux dimensions on a une seule sorte de fonctions conjuguées,
c'est à dire que les fonctions conjuguées à des fonctions harmoniques des
points sont aussi des fonctions des points.

Dans un espace à $3$~dimensions les fonctions conjuguées à des fonctions harmoniques
des points sont des fonctions des lignes, comme nous venons de voir.
Dans un espace à $4$~dimensions les fonctions conjuguées à des fonctions harmoniques des
points sont des fonctions des espaces à deux dimensions, mais l'on peut avoir
aussi des fonctions conjuguées à des fonctions des espaces à une dimension qui
sont aussi des fonctions de la même nature.

Dans un espace à $5$~dimensions les fonctions harmoniques des points sont
conjuguées à des fonctions des espaces à trois dimensions, et l'on peut avoir des
fonctions des espaces à une dimension conjuguées à des fonctions des espaces à
deux dimensions. Ainsi de suite avec la règle que nous avons exposée précédemment.

On arrive par là à une théorie générale des fonctions conjuguées où les fonctions
harmoniques ordinaires à $n$~variables se présentent comme un cas très-particulier.
Il est bon de remarquer que dans les hyperespaces d'un nombre $n$ pair
de dimensions il y a des fonctions conjuguées d'ordre $\smash[b]{\dfrac{n-1}{2}}$ qui correspondent
aux mêmes hyperespaces.

La connexion de plus en plus compliquée des espaces à $n$~dimensions joue
un rôle très important et est étroitement liée aux différentes espèces des polydromies
des fonctions, comme nous avons pu constater dans le cas de trois variables.
Ces polydromies se présentent comme une extension de celles qu'on a dans
les cas des intégrales Abéliennes. % [** PP: Typo Abeliennes]

\Paragraph{13.} On peut envisager ces recherches comme une généralisation de l'étude
des fonctions conjuguées, c'est à dire de la partie réelle et de la partie imaginaire
d'une fonction d'une variable complexe considérées séparément.

Mais si nous voulons parvenir à une vraie extension de la théorie des fonctions,
c'est à dire de l'ensemble des deux fonctions conjuguées, l'une étant multipliée
par~$\sqrt{-1}$, il faut changer le point de vue, mais les mêmes concepts que
nous avons exposés en sont toujours la base, c'est pourquoi nous avons dit dans
la leçon précédente, qu'il y avait deux branches d'études qui provenaient d'une
même source. Comme j'ai annoncé dans la première leçon je n'abandonnerai pas
ce sujet sans avoir donné aussi un aperçu de ces recherches qui sont liées à la
théorie des fonctions d'un côté et aux équations qui paraissent dans la physique
mathématique d'un autre côté.
%% -----File: 038.png---Folio 38-------

%[Illustration]
\begin{wrapfigure}{l}{1in}%
\Input{038a}{1in}
\end{wrapfigure}%
\Paragraph{14.} Si nous envisageons un plan et deux quantités complexes $F$ et~$\Phi$ qui
sont des fonctions des points du plan, la condition pour que $F$ soit une fonction
de~$\Phi$ est qu'en déplaçant le point indice~$M$ dans une direction quelconque $MM'$
et, en calculant le rapport $\dfrac{\Delta F}{\Delta\Phi}$ des variations des deux fonctions,
la limite du rapport, lorsque $MM'$ devient infiniment petit, ne dépend
pas de la direction du déplacement mais soit une nouvelle fonction
du point indice. Cauchy employait dans ce cas le mot de \emph{fonction monogène}.

Or une extension n'est pas possible dans l'espace, car si nous posons la même
condition que nous venons d'indiquer dans le cas où le point indice au lieu de se
déplacer dans un domaine à deux dimensions peut se déplacer dans un domaine
à trois dimensions, on trouve qu'elle conduit à la même relation entre $F$ et~$\Phi$ et
l'on trouve la même chose dans le cas d'un espace à plusieurs dimensions.

Mais nous avons vu que dans les espaces à trois dimensions et à plusieurs
dimensions le concept des fonctions ordinaires, c'est à dire des fonctions des points,
n'est qu'un cas particulier du concept général de fonctions, car il y a les fonctions
des lignes et en général les fonctions des hyperespaces. Si nous appliquons
maintenant la condition que nous avons posée tout à l'heure pour $F$ et~$\Phi$, mais
en supposant que les fonctions soient des fonctions du nouveau genre que nous
avons introduites, toute difficulté disparaît, % [** PP: Typo disparait]
et l'on peut étendre à un espace d'un
nombre quelconque de dimensions la liaison de monogénéité de Cauchy, c'est à
dire on peut étendre la théorie des fonctions au cas d'un domaine quelconque
en trouvant quelque chose de nouveau. Faute du concept des fonctions des lignes
et des hyperespaces la base où fonder la théorie manquait complètement. %[** PP: Typo complétement]
D'autre
part il fallait bien penser qu'il aurait été nécessaire de tomber là dessus, si l'on
voulait étendre la théorie des fonctions, car si l'opération de l'intégration dans le
cas des fonctions d'une variable ne fait pas sortir du domaine des fonctions de la
même nature, l'intégration des fonctions de plusieurs variables, c'est à dire l'intégration
multiple qui est étendue à des domaines à plusieurs dimensions dont les
limites sont des lignes ou des surfaces etc., devait nous amener au nouveau concept
que nous avons introduit.

\Paragraph{15.} Envisageons donc dans un espace à trois dimensions deux fonctions
complexes de premier degré des lignes, et soient $F$ et~$\Phi$ leurs valeurs correspondantes
à une ligne~$L$. Déformons un arc $AB$ de~$L$, et désignons par $\Delta F$
et~$\Delta \Phi$ les variations de~$F$ et de~$\Phi$. Si en diminuant indéfiniment la déformation
et la distance entre $B$ et le point fixe~$A$, le rapport
\[
\frac{\Delta \Phi}{\Delta F}
\]
%% -----File: 039.png---Folio 39-------
tend vers une limite qui dépend seulement du point~$A$, on pourra dire qu'entre
les variables complexes $\Phi$ et~$F$ passe une liaison tout à fait analogue à celle
de monogénéité de Cauchy.

On peut exprimer cette condition d'une autre manière en faisant usage des
notations que nous avons introduites. Calculons
\[
\deriv{\Phi}{\Sigma} : \deriv{F}{\Sigma} = f,
\tag{6}
\]
$\Sigma$ étant une surface quelconque, $f$ doit avoir une valeur indépendante de la
direction de la surface~$\Sigma$, c'est à dire doit être une fonction des points de
l'espace.

Décomposons maintenant $\Phi$ et~$F$ et leurs dérivées dans les parties réelles
et imaginaires en posant
\begin{gather*}
F = F_1 + i F_2,\quad  \Phi = \Phi_1 + i \Phi_2,\quad  i = \sqrt{-1}; \\
%
\deriv{F}{(y,z)} = p_1 + ip_2,\quad
\deriv{F}{(z,x)} = q_1 + iq_2,\quad
\deriv{F}{(x,y)} = r_1 + ir_2; \\
%
\deriv{\Phi}{(y,z)} = \omega_1 + i\omega_2,\quad
\deriv{\Phi}{(z,x)} = \chi_1 + i\chi_2,\quad
\deriv{\Phi}{(x,y)} = \rho_1 + i\rho_2;
\end{gather*}
la condition~(6) pourra s'écrire
\[
  \frac{\omega_1 + i\omega_2}{p_1 + ip_2}
= \frac{\chi_1 + i\chi_2}{q_1 + iq_2}
= \frac{\rho_1 + i\rho_2}{r_1 + ir_2} = f
\tag{7}
\]
et l'on tire de là que $\Phi_1$ et~$\Phi_2$ doivent vérifier les mêmes équations, c'est à dire
% [** PP: Explicitly-sized parentheses]
\begin{gather*}
  D_1 \deriv{\Psi}{(y,z)}
+ D_2 \deriv{\Psi}{(z,x)}
+ D_3 \deriv{\Psi}{(x,y)} = 0 \\
%
\tag{8}
0 = \pderiv{}{x}
    \Biggl(\dfrac{\eps_{12} \deriv{\Psi}{(x,y)}
               - \eps_{13} \deriv{\Psi}{(z,x)}}{D_1}\Biggr)
  + \pderiv{}{y}
    \Biggl(\dfrac{\eps_{23} \deriv{\Psi}{(y,z)}
               - \eps_{21} \deriv{\Psi}{(x,y)}}{D_2}\Biggr)
\Trail{+} \\
%
  + \pderiv{}{z}
    \Biggl(\dfrac{\eps_{31} \deriv{\Psi}{(z,x)}
               - \eps_{32} \deriv{\Psi}{(y,z)}}{D_3}\Biggr),
\end{gather*}
où $\Psi$ peut être remplacé par $\Phi_1$ et~$\Phi_2$ et l'on a
\begin{gather*}
\eps_{11} = p^2_1 + p^2_2, \quad
\eps_{22} = q^2_1 + q^2_2, \quad
\eps_{33} = r^2_1 + r^2_2, \\
%
\eps_{23} = \eps_{32} = q_1 r_1 + q_2 r_2, \quad
\eps_{31} = \eps_{13} = r_1 p_1 + r_2 p_2, \quad
\eps_{12} = \eps_{21} = p_1 q_1 + p_2 q_2, \\
%
D_1 = q_2 r_1 - r_2 q_1, \quad
D_2 = r_2 p_1 - p_2 r_1, \quad
D_3 = p_2 q_1 - q_2 p_1.
\end{gather*}
%% -----File: 040.png---Folio 40-------

L'équation~(8) remplace dans ce cas l'équation de Laplace et a bien des propriétés
communes avec elle.

\Paragraph{16.} On peut écrire l'équation~(6) sous la forme
\[
\deriv{\Phi}{F} = f.
\tag{9}
\]
Les fonctions $\Phi$ et~$F$ peuvent s'appeler \emph{isogènes}. Il est évident que deux fonctions
des lignes qui sont isogènes avec une troisième sont isogènes entre elles. De
même une fonction des points~$\phi$ peut s'appeler aussi isogène avec~$F$ si
\[
  \deriv{F}{(y,z)} · \pderiv{\phi}{x}
+ \deriv{F}{(z,x)} · \pderiv{\phi}{y}
+ \deriv{F}{(x,y)} · \pderiv{\phi}{z} = 0.
\tag{10}
\]
Elle sera isogène avec toutes les fonctions des lignes isogènes avec~$F$. On démontre
aussi facilement que $f$ est isogène avec~$F$, et réciproquement que si la
fonction des points $f$ est isogène avec la fonction des lignes~$F$, on peut trouver
une fonction~$\Phi$ telle que l'égalité~(9) soit vérifiée.

Toutes les fonctions des points qui sont isogènes avec~$F$ peuvent s'appeler
isogènes entre elles. Puisqu'elles doivent vérifier l'équation~(10) on en tire que
deux d'entre elles sont indépendantes et les autres en sont des fonctions. Soient
$\phi_1$ et~$\phi_2$ des fonctions indépendantes. A cause de l'équation~(10) on pourra toujours
écrire
% [** PP: Dropped commas between matrix entries]
\[
\tag{11}
\left\{
\begin{aligned}
\deriv{F}{(y,z)} &= \phi_3 \left|
  \begin{matrix}
    \pderiv{\phi_1}{y} & \pderiv{\phi_1}{z} \\[2ex]
    \pderiv{\phi_2}{y} & \pderiv{\phi_2}{z}
  \end{matrix} \right| = X, \\[2ex]
%
\deriv{F}{(z,x)} &= \phi_3 \left|
  \begin{matrix}
    \pderiv{\phi_1}{z} & \pderiv{\phi_1}{x} \\[2ex]
    \pderiv{\phi_2}{z} & \pderiv{\phi_2}{x}
  \end{matrix} \right| = Y, \\[2ex]
%
% [** PP: Derivatives w.r.t. y, not x, in second column]
\deriv{F}{(x,y)} &= \phi_3 \left|
  \begin{matrix}
    \pderiv{\phi_1}{x} & \pderiv{\phi_1}{y} \\[2ex]
    \pderiv{\phi_2}{x} & \pderiv{\phi_2}{y}
  \end{matrix} \right| = Z,
\end{aligned}
\right.
\]
où $\phi_3$ est une fonction des points isogène aux autres, c'est à dire $\phi_3 = \phi_3(\phi_1,\phi_2)$.

Supposons que le domaine à trois dimensions que nous envisageons ait une
connexion superficielle simple et que dans ce domaine les fonctions que nous considérons
n'aient pas de singularités, alors pour avoir la valeur de la fonction~$F$
correspondante à une certaine ligne il suffira de regarder cette ligne comme le
contour d'une surface~$\sigma$ et de former
%% -----File: 041.png---Folio 41-------
\[
F = \int_\sigma (X \cos nx + Y \cos ny + Z \cos nz)\, d\sigma.
\]
Soient $u$, $v$ des coordonnées curvilignes de la surface. On aura
\begin{align*}
d\sigma \cos nx &= \left|
  \begin{matrix}
    \pderiv{y}{u} & \pderiv{z}{u} \\[2ex]
    \pderiv{y}{v} & \pderiv{z}{v}
  \end{matrix} \right|\, du\, dv; \\[2ex]
%
d\sigma \cos ny &= \left|
  \begin{matrix}
    \pderiv{z}{u} & \pderiv{x}{u} \\[2ex]
    \pderiv{z}{v} & \pderiv{x}{v}
  \end{matrix} \right|\, du\, dv; \\[2ex]
%
d\sigma \cos nz &= \left|
  \begin{matrix}
    \pderiv{x}{u} & \pderiv{y}{u} \\[2ex]
    \pderiv{x}{v} & \pderiv{y}{v}
  \end{matrix} \right|\, du\, dv.
\end{align*}

C'est pourquoi l'intégrale précédente pourra s'écrire
\[
F = \int_\sigma \phi_3 \left|
  \begin{matrix}
    \pderiv{\phi_1}{u} & \pderiv{\phi_1}{v} \\[2ex]
    \pderiv{\phi_2}{u} & \pderiv{\phi_2}{v}
  \end{matrix} \right|\, du\, dv
  = \int_\sigma \phi_3\, d\phi_1\, d\phi_2.
\tag{12}
\]

On voit par là que tout ensemble de fonctions isogènes des lignes et des points
dans un espace à trois dimensions ressort des fonctions de deux variables complexes
et de leurs intégrales, comme tout ensemble de fonctions monogènes dans un
espace à deux dimensions ressort des fonctions d'une variable complexe et de leurs
intégrales.

Si la surface~$\sigma$ dans l'intégrale~(12) est une surface fermée, l'intégrale devient
nulle. Cette propriété n'est autre chose que la théorie de Cauchy pour les fonctions
de deux variables telle que M.~Poincaré l'a donnée.

Si l'espace n'a pas une connexion superficielle simple, ou si les fonctions qui
paraissent dans les formules ont des singularités, l'intégrale peut n'être pas nulle.
Il faut alors remplacer la surface~$\sigma$ par un ensemble de surfaces qui forment le
contour complet d'un domaine à trois dimensions où les fonctions n'ont pas de
singularités.
%% -----File: 042.png---Folio 42-------

\Paragraph{17.} $\phi_4$ étant une fonction de $\phi_1$ et~$\phi_2$ telle que
\[
\pderiv{\phi_4}{\phi_1} = \phi_3(\phi_1\, \phi_2),
\]
les équations~(11) s'écrivent
\begin{align*}
\deriv{F}{(y,z)} &= \left|
  \begin{matrix}
    \pderiv{\phi_4}{y} & \pderiv{\phi_4}{z} \\[2ex]
    \pderiv{\phi_2}{y} & \pderiv{\phi_2}{z}
  \end{matrix} \right|, \\[2ex]
%
\deriv{F}{(z,x)} &= \left|
  \begin{matrix}
    \pderiv{\phi_4}{z} & \pderiv{\phi_4}{x} \\[2ex]
    \pderiv{\phi_2}{z} & \pderiv{\phi_2}{x}
  \end{matrix} \right|, \\[2ex]
%
\deriv{F}{(x,y)} &= \left|
  \begin{matrix}
    \pderiv{\phi_4}{x} & \pderiv{\phi_4}{y} \\[2ex]
    \pderiv{\phi_2}{x} & \pderiv{\phi_2}{y}
  \end{matrix} \right|
\end{align*}
et l'équation~(12) deviendra
\[
F = \int_\sigma d\phi_4\, d\phi_2 ,
\]
d'où l'on tire que $F$ peut s'obtenir par $\phi_4$ et~$\phi_2$ ou qu'elle est composée par ces
deux fonctions qu'on peut appeler des diviseurs de~$F$. On peut écrire
\[
F = (\phi_4\, \phi_2). % [** PP: product?]
\]

La décomposition de~$F$ en ses diviseurs peut se faire d'une infinité de manières.
Les diviseurs sont isogènes avec~$F$ et deux fonctions isogènes des lignes
ont toujours un diviseur commun. Les diviseurs étant des fonctions des points,
on peut les appeler élémentaires.


\Chapter{\Ord{7}{ième} leçon.}

\Paragraph{18.} La théorie qu'on vient d'exposer se rapporte au cas des fonctions de deux
variables, et elle a l'avantage qu'on peut l'exposer sans recourir aux espaces à plus
de trois dimensions. Mais si l'on se borne à ces espaces, on n'a pas évidemment
%% -----File: 043.png---Folio 43-------
une théorie complète; et l'on voit la nécessité d'étendre tous les concepts à l'espace
à $n$~dimensions. Il n'est pas difficile de le faire. Mais par là la théorie se développe
d'une manière inattendue. C'est à dire qu'on ne trouve pas seulement la théorie
des fonctions de plusieurs variables complexes et de leurs intégrales, mais quelque
chose aussi de beaucoup plus général. En effet toute fonction complexe de premier degré
d'une ligne peut être attachée par la liaison d'isogénéité à un ensemble d'autres
fonctions des lignes et à des fonctions de deux variables complexes indépendantes,
et peut se décomposer en facteurs élémentaires. La même chose ne se présente pas,
lorsqu'on envisage une fonction des hyperespaces de $r<n$ dimensions dans un hyperespace
de $n>3$ dimensions. Pour ces fonctions aussi il y a, comme dans le cas des
fonctions des lignes dans l'espace à trois dimensions, une décomposition en fonctions
d'un ordre plus simple qui présente des caractères arithmétiques analogues à la
décomposition d'un nombre en facteurs premiers. Mais dans le cas des hyperespaces
cette décomposition ne peut pas être poussée toujours jusqu'à arriver aux
fonctions des points, c'est à dire que tous les diviseurs premiers de la fonction peuvent
être aussi des fonctions des hyperespaces. Or, pour qu'une fonction soit liable à
une autre par la liaison d'isogénéité il est nécessaire et suffisant qu'elle ait un diviseur
élémentaire, c'est à dire un diviseur qui soit une fonction des points. Il faut
donc poser des conditions spéciales avant de pouvoir établir la liaison d'isogénéité,
et même après avoir établi cette liaison on a une théorie bien plus générale que celle
qui ressort des fonctions de plusieurs variables et de leurs intégrales. Ce cas se
rapporte seulement à l'ensemble des fonctions des hyperespaces dont tous les diviseurs
sont des diviseurs élémentaires.

Lorsqu'on envisage des espaces ayant un nombre de dimensions toujours
croissant, les différentes sortes de connexions possibles augmentent toujours. Listing,
Bei, Poincaré les ont étudiées. Elles jouent un rôle fondamental dans les théories
précédentes, car elles déterminent les différentes sortes de polydromies des
fonctions des hyperespaces. Dans le cas des fonctions d'une seule variable complexe
on n'a qu'une seule sorte de polydromie qui ressort de la cyclicité, mais dans
les cas précédents leur nombre est toujours plus élevé. La théorie des intégrales
Abéliennes ne présente que le premier cas de cette théorie générale.

\Paragraph{19.} Les fonctions des lignes et des hyperespaces nous conduisent naturellement
à dire quelques mots sur d'autres études très voisines qui ont bien des rapports
avec des questions de la physique mathématique.

Soient $x, y, z$ les coordonnées des points de l'espace. Une ligne est déterminée
par deux équations $y=f(x)$, $z=\phi(x)$. Donc une quantité qui dépend d'une
ligne peut être envisagée comme une quantité qui dépend des fonctions $f(x)$ et~$\phi(x)$.
%% -----File: 044.png---Folio 44-------

Il est donc tout naturel d'envisager les quantités qui dépendent de toutes
les valeurs qu'une fonction ou plusieurs fonctions prennent dans certains domaines.
C'est un concept qui se présente dans un grand nombre de cas. Le plus simple
est celui d'une intégrale définie. La valeur de l'intégrale définie entre certaines
limites dépend de toutes les valeurs de la fonction entre ces limites. La physique
mathématique nous offre les exemples les plus frappants. Par exemple la température
en un point d'une lame qui est chauffée au bord dépend de toutes les
valeurs de la température au bord de la lame. Les fonctions des lignes et des
hyperespaces rentrent évidemment dans ce concept.

Il est bien clair que lorsqu'on parle d'une quantité qui dépend de toutes les
valeurs d'une ou de plusieurs variables on entend quelque chose de bien différent
d'une fonction de fonction.

\Paragraph{20.} La définition que nous venons de donner est analogue à la définition de
fonction ordinaire due à Dirichlet, d'après laquelle on dit qu'une variable est fonction
d'une autre variable si à chaque valeur de cette quantité, entre des limites
données, correspond une valeur de la première quantité. Nous n'entrerons pas
dans les discussions très-importantes, qui se rapportent à cette définition. Il est
bien évident qu'on a été amené à la donner par le concept fondamental de loi physique.
M.~Boutroux tout récemment a approfondi la question d'une manière fort
intéressante. Mais en posant certaines conditions on peut passer du concept de
fonction tel que l'a posé Dirichlet à celui de fonction analytique. Il est inutile
de rappeler ces conditions qui sont bien connues et qui se rapportent à la continuité,
à l'existence des dérivées etc.

On peut procéder de la même manière dans le cas des fonctions qui dépendent
de toutes les valeurs d'une fonction ou de plusieurs fonctions.

Envisageons le cas le plus simple, celui d'une quantité~$F$ qui dépend de toutes
les valeurs d'une fonction continue~$f(x)$ définie pour toutes les valeurs de~$x$ comprises
entre $a$ et~$b$. Il n'y a pas de difficulté à étendre le concept de continuité
à la quantité~$F$. Supposons maintenant qu'on part d'une fonction initiale~$f(x)$, et
qu'on la change en la remplaçant par $f(x) + \eps\phi(x)$ où $\eps$ est une quantité infiniment
petite. On peut tâcher de calculer la variation de~$F$. Sous certaines conditions
la partie du premier ordre de cette variation peut s'exprimer par une intégrale
définie
\[
\eps \int_a^b \phi(\xi_1) F'(\xi_1)\, d\xi_1.
\]

La fonction $F'(\xi_1)$ joue le rôle de première dérivée. Elle est indépendante
de~$\phi(x)$, mais elle dépend en général de toutes les valeurs de~$f(x)$, c'est pourquoi
%% -----File: 045.png---Folio 45-------
on peut tâcher de trouver la variation de~$F'(\xi_1)$, lorsqu'on remplace $f(x)$ par $f(x) + \eps\phi(x)$.
Si l'on néglige les parties qui sont infiniment petites d'ordre supérieur à~$\eps$,
sous certaines conditions, on trouve que cette variation est donnée par
\[
\eps \int_a^b \phi(\xi_2) F''(\xi_1,\xi_2)\, d\xi_2.
\]
$F''(\xi_1,\xi_2)$ joue le rôle de première dérivée de $F'(\xi)$ et de seconde dérivée de~$F$.
Elle est indépendante de~$\phi(x)$, mais dépend de toutes les valeurs de~$f(x)$. Elle
est une fonction symétrique de $\xi_1$ et~$\xi_2$.

On peut aussi procéder au calcul de la troisième dérivée qui s'exprime par une
fonction $F'''(\xi_1,\xi_2,\xi_3)$ symétrique et ainsi de suite.

Cela posé, on peut se proposer de développer la valeur de~$F$ qui correspond
à $f(x)+\eps\phi(x)$ dans une série de puissances de~$\eps$. Sous certaines conditions qui
sont tout à fait semblables à celles qu'on a pour la série ordinaire de Taylor
on trouve
\[
\Lmargintag{13}
\left\{
\begin{aligned}
F &= F_0 + \eps \int_a^b \phi(\xi_1) F'(\xi_1)\, d\xi_1
   + \frac{1}{2}  \eps^2 \int_a^b \int_a^b
     F''(\xi_1,\xi_2) \phi(\xi_1) \phi(\xi_2)\, d\xi_1\, d\xi_2
\Trail{+} \\
  &\quad+ \frac{1}{3!} \eps^3 \int_a^b \int_a^b \int_a^b
     F''' (\xi_1,\xi_2,\xi_3) \phi(\xi_1) \phi(\xi_2) \phi(\xi_3)\,
       d\xi_1\, d\xi_2\, d\xi_3 + \dotsb %[** PP: Re-breaking]
\Trail{+} \\
  &\quad+ \frac{1}{n!} \eps^n \int_a^b \dotsi \int_a^b
     F^{(n)}(\xi_1,\xi_2 \dotsc \xi_n)
       \phi(\xi_1) \phi(\xi_2) \dotsm \phi(\xi_n)\,
       d\xi_1\, d\xi_2 \dotsm d\xi_n + \dotsb,
\end{aligned}
\right.
\]
où $F^{(n)} (\xi_1,\xi_2 \dotsc \xi_n)$ %[** PP: Changed opening ) to (]
est une fonction symétrique des $n$~variables, $\xi_1, \xi_2 \dotsc \xi_n$, indépendante
de~$\phi(x)$.

En prenant $\eps=1$ on passe facilement à une série analogue à celle de Mac\-Laurin.

\Paragraph{21.} On pourrait prendre comme définition d'une quantité~$F$ qui dépend de
la fonction $\phi(x)$ définie pour les valeurs~$x$ comprises entre $a$ et~$b$ l'expression
précédente où l'on fait $\eps=1$, en supposant que la série soit convergente. Ce
serait une définition analytique d'une fonction qui dépend d'une autre fonction, et
l'on pourrait en étudier le domaine de convergence. Les différents termes représenteraient
des fonctions de différents degrés.
%% -----File: 046.png---Folio 46-------

Cependant de cette manière on n'envisagerait pas le cas le plus général.

\setboolean{UseVartheta}{true}%

\Paragraph{22.} Lorsque $F$ dépend de toutes les valeurs d'une fonction ou de plusieurs
fonctions, que celles-ci sont inconnues, et qu'il faut les déterminer, étant données certaines
propriétés de~$F$, alors on tombe sur les problèmes les plus intéressants de
la théorie. Le calcul des variations n'est que le premier exemple d'une recherche
de ce genre.

Mais prenons le cas qui correspond à la formule~(13), et supposons que nous
écrivions
{\small %[** PP: Resized display for horizontal fit]
\[
\Lmargintag{14}
\left\{
\begin{aligned}
\THETA\Psi(x)
  &= \eps\phi(x)\alpha
   + \eps \int_a^b \phi(\xi_1) F'(\xi_1,x)\, d\xi_1
   + \frac{1}{2}  \eps^2 \int_a^b \int_a^b
       F''(\xi_1,\xi_2,x) \phi(\xi_1) \phi(\xi_2)\, d\xi_1\, d\xi_2
\Trail{+} \\
  &+ \dotsb
   + \frac{1}{n!} \eps^n \int_a^b \dotsi \int_a^b F^{(n)} (\xi_1,\xi_2 \dotsc \xi_n,x) \phi(\xi_1) \dotsm \phi(\xi_n)\, d\xi_1 \dotsm d\xi_n,
\end{aligned}
\right.
\]
}% [** End of \small]

$\alpha$ étant une quantité donnée et~$\Psi(x)$ étant définie pour les valeurs de~$x$ comprises
entre $a$ et~$b$.

Le cas le plus simple est celui où $F'', F''', \dotsc F^{(n)} \dotsc$ sont nulles, c'est à
dire où l'on a
% [** PP: Changed F^{('')} to F']
\[
\tag{15}
\THETA\Psi(x) = \eps \phi(x)\alpha
              + \eps \int_a^b \phi(\xi_1) F'(\xi_1,x)\, d\xi_1;
\]
c'est le cas de l'inversion des fonctions de premier degré qui est le cas envisagé
par M.~Fredholm et par moi même lorsque la limite supérieure est égale à~$x$.

Le problème d'invertir une fonction générale de la forme~(14) par rapport à
l'inversion de la formule~(15) n'est que le problème général de l'inversion d'une
fonction transcendante par rapport à l'inversion d'une fonction de premier degré.
Nous voulons montrer que le cas général peut être résolu.

\Paragraph{23.} En effet pour obtenir $\phi(x)$ exprimée par~$\Psi(x)$, c'est à dire pour invertir
la formule~(14), il suffit de tâcher de développer $\eps\phi(x)$ dans une série de puissances de~$\THETA$.

C'est pourquoi calculons
{\small
\[
\left(\deriv{(\eps\phi)}{\THETA}\right)_{\THETA=0}\!\!\!\!
  = \left(\deriv{(\eps\phi)}{\THETA}\right)_0,\quad
\left(\frac{d^2(\eps\phi)}{d\THETA^2}\right)_{\THETA=0}\!\!\!\!
  = \left(\frac{d^2(\eps\phi)}{d\THETA^2}\right)_0,\quad
\left(\frac{d^3(\eps\phi)}{d\THETA^3}\right)_{\THETA=0}\!\!\!\!
  = \left(\frac{d^3(\eps\phi)}{d\THETA^3}\right)_0 \dotsc.
\]
}% [** End \small]
On trouve
\[
\Psi(x) = \left(\deriv{[\eps\phi(x)]}{\THETA}\right)_0 \alpha
        + \int_a^b \left(\deriv{[\eps\phi(\xi_1)]}{\THETA}\right)_0 F'(\xi_1,x)\, d\xi_1.
\]
%% -----File: 047.png---Folio 47-------
% [**** Math needs checking]

Si nous pouvons invertir cette formule, % [** PP: Added comma]
ce qui arrive par exemple lorsque le
déterminant n'est pas nul, on trouve
\[
\tag{16}
\left\{\deriv{\eps[\phi(x)]}{\THETA}\right\}_0 \phi(x)
  = \Psi(x)\beta + \int_a^b \Psi(\eta_1) \Phi'(\eta_1, x)\, d\eta_1.
\]

En dérivant une fois encore on a
\begin{multline*}
0 = \left\{\frac{d^2[\eps\phi(x)]}{d\THETA^2}\right\}_0 \alpha
  + \int_a^b \left\{
      \frac{d^2[\eps\phi(\xi_1)]}{d\THETA^2}
    \right\}_0 F'(\xi_1, x)\, d\xi_1
%[** PP: Re-breaking; added trailing operator for consistency]
\Trail{+} \\
  + \int_a^b \int_a^b F''(\xi_1, \xi_2, x)
      \left\{\frac{d[\eps\phi(\xi_1)]}{d\THETA}\right\}_0
      \left\{\frac{d[\eps\phi(\xi_2)]}{d\THETA}\right\}_0\, d\xi_1\, d\xi_2
\end{multline*}
c'est à dire
\[
\tag{17}
\left\{
\begin{aligned}
  &\left\{\frac{d^2[\eps\phi(x)]}{d\THETA^2}\right\}_0 \alpha
    + \int_a^b \left\{
        \frac{d^2[\eps\phi(\xi_1)]}{d\THETA^2}\right\}_0
        F'(\xi_1, x)\, d\xi_1
\Trail{=} \\
%
  &\qquad= - \int_a^b \int_a^b F''(\xi_1, \xi_2, x)
    \left\{\frac{d[\eps\phi(\xi_1)]}{d\THETA}\right\}_0
    \left\{\frac{d[\eps\phi(\xi_2)]}{d\THETA}\right\}_0\, d\xi_1\, d\xi_2
\Trail{=} \\
%[** PP: Re-breaking; added trailing operator for consistency]
&\qquad= \phantom{-}\int_a^b \int_a^b
    \Phi_1(\eta_1, \eta_2, x) \Psi(\eta_1) \Psi(\eta_2)\, d\eta_1\, d\eta_2
\end{aligned}
\right.
\]
en remplaçant
$\left\{\dfrac{d[\eps\phi(\xi_1)]}{d\THETA}\right\}_0$,
$\left\{\dfrac{d[\eps\phi(\xi_2)]}{d\THETA}\right\}_0$ par les valeurs données par la formule~(16).
Si l'on invertit la dernière formule en employant une formule analogue à la formule~(16) on trouve
\[
  \left\{\frac{d^2[\eps\phi(x)]}{d\THETA^2}\right\}_0
= \int_a^b \int_a^b \Phi''(\eta_1, \eta_2, x)
                    \Psi(\eta_1) \Psi(\eta_2)\, d\eta_1\, d\eta_2.
\]

De même on trouve
\[
  \left\{\frac{d^3[\eps\phi(x)]}{d\THETA^3}\right\}_0
= \int_a^b \int_a^b \int_a^b
    \Phi'''(\eta_1, \eta_2, \eta_3, x)
    \Psi(\eta_1) \Psi(\eta_2) \Psi(\eta_3)\, d\eta_1\, d\eta_2\, d\eta_3.
\]
et ainsi de suite, de sorte qu'on aura
%[** PP: Added missing trailing operators]
\begin{multline*}
\left[\frac{d(\eps\phi)}{d\THETA}\right]_0 \THETA
+ \frac{1}{2}  \left[\frac{d^2(\eps\phi)}{d\THETA^2}\right]_0 \THETA^2
+ \frac{1}{3!} \left[\frac{d^3(\eps\phi)}{d\THETA^3}\right]_0 \THETA^3
+ \dotsb
= \eps \phi(x) = \THETA \Psi(x) \beta
\Trail{+} \\
%[** PP: Using \frac, not \tfrac]
+ \THETA \int_a^b \Psi(\eta_1) \Phi'(\eta_1,x)\, d\eta_1
+ \frac{1}{2}  \THETA^2 \int_a^b \int_a^b \Phi''(\eta_1, \eta_2, x)
  \Psi(\eta_1) \Psi(\eta_2)\, d\eta_1\, d\eta_2
\Trail{+} \\
%
+ \dotsb
+ \frac{1}{n!} \THETA^n \int_a^b \dotsi \int_a^b
  \Phi^{(n)}(\eta_1 \dotsc \eta_n, x)
  \Psi(\eta_1) \dotsm \Psi(\eta_n)\, d\eta_1 \dotsm d\eta_n + \dotsb.
\end{multline*}
%% -----File: 048.png---Folio 48-------

Il faudra établir les conditions de convergence de la série précédente et son
domaine de validité.---On peut regarder~$\Phi^{(n)}$ comme une fonction symétrique
de $\eta_1, \eta_2 \dotsc \eta_n$. Nous n'entrerons pas dans les détails par rapport à la vérification
de la formule que nos avons donnée ni sur la question de l'unicité de la
solution.

\Paragraph{24.} Je ne puis terminer cet argument sans toucher à la question des
méthodes qu'on appelle de Jacobi-Hamilton. Les mémoires de Hamilton publiés
en 1834 et~1835 ont été le point de départ d'un grand nombre de travaux qui
sont parmi les plus beaux de la mécanique analytique. Jacobi est le premier
qui en ait fait ressortir tout l'intérêt. Le principe d'abord limité aux questions mécaniques
a %[** PP: Typo à]
été étendu aux problèmes des isopérimètres et enfin à tous les problèmes
du calcul des variations relatifs aux intégrales simples. On peut regarder la
plupart des problèmes de la physique mathématique comme ressortant des questions
du calcul des variations relatives aux intégrales multiples, et il est par suite intéressant
d'étendre les mêmes méthodes à ces cas. Pour atteindre le but il suffit de
remarquer que la méthode Jacobi-Hamilton est fondée sur le concept d'envisager
l'intégrale simple dont on veut annuler la variation comme une fonction des limites
de l'intégrale et des valeurs arbitraires des fonctions inconnues aux limites.
Donc pour étendre la même méthode au cas des intégrales multiples il faut les
regarder comme dépendantes des lignes ou des surfaces ou des hyperespaces qui
limitent les intégrales données et de toutes les valeurs des fonctions inconnues au
contour. C'est pourquoi les concepts que nous avons introduits sont nécessaires
pour étendre les méthodes Jacobi-Hamilton aux problèmes de la physique mathématique.


\begin{Bibliographie}

\Bibitem{Picard.}{Traité d'analyse.}

\Bibitem{\sameauthor.}{Mémoire sur la théorie des fonctions algébriques. Journ.\ des Math.\ pures
et appliquées. 1889.}

% [** PP: Retaining variant résidues]
\Bibitem{Poincaré.}{Sur les résidues des intégrales doubles. Acta Math. T.~9.}

% [** PP: Changed census to Census, complexe to Complexe]
\Bibitem{Listing.}{Der Census räumlicher Complexe. Abh.\ K. Gesellsch.\ d.\ Wiss.\ zu Göttingen.
1862.}

% [** PP: Changed Sugli to Sopra gli, quelconque to qualunque]
\Bibitem{Betti.}{Sopra gli spazii di un numero qualunque di dimensioni. Annali di Mat.\ T.~IV.}

\Bibitem{Poincaré.}{Analysis situs. Journ.\ de l'École Polyt. 1895.}

% [** PP: Changed  dependenti da altro to dipendenti da altre]
\Bibitem{Volterra.}{Sulle funzioni dipendenti da altre funzioni. Rend.\ Acc.\ Lincei 1887.}

% [** PP: Changed  dependenti de linie to dipendenti da linee]
\Bibitem{\sameauthor.}{Sulle funzioni dipendenti da linee. Ibid.}

\Bibitem{\sameauthor.}{Delle variabili complessi negli iperspazii. Ibid.\ 1880.}
\Bibitem{\sameauthor.}{Sulle funzioni coniugate. Ibid.}

%[** PP: Changed iperspaizi to iperspazii, loco to loro]
\Bibitem{\sameauthor.}{Sulle funzioni di iperspazii e sui loro parametri diff. Ibid.}

\Bibitem{\sameauthor.}{Sulle equazioni differenziali che provengono da questioni di calcolo delle
variazioni. Ibid.\ 1890.}

%% -----File: 049.png---Folio 49-------

% [** PP: Changed variazoni to variazioni]
\Bibitem{\sameauthor.}{Sopra una estensione della % [** PP: Type delle]
teoria Jacobi-Hamilton del calcolo delle
variazioni. Ibid.}

\Bibitem{\sameauthor.}{Sulle variabili complesse negli iperspazii. Ibid.}

\Bibitem{\sameauthor.}{Sur une généralisation de la théorie des variables imaginaires. Acta Mathematica
1889.}

% [** PP: Changed Sulle inversione degli integrali definit to
%                 Sulla inversione degli integrali definiti; Acti to Atti]
\Bibitem{\sameauthor.}{Sulla inversione degli integrali definiti. Note~I, II, III, IV\@. Atti della R.
Accademia di Torino 1896.}

%[** PP: Changed Sulli to Sulla]
\Bibitem{\sameauthor.}{Sulla inversione degli integrali definiti. Rend.\ Acc.\ Lincei 1896.}

%[** PP: Changed Sulle to Sulla]
\Bibitem{\sameauthor.}{Sulla inversione degli integrali multipli. Ibid.}

\Bibitem{\sameauthor.}{Sopra alcune questioni di inversione di integrali definiti. Annali di Mat.\ 1897.}

\end{Bibliographie}


\Chapter{\Ord{8}{ième} leçon.}

\phantomsection\label{section:8.1}%
\Paragraph{1.} Il est bien souvent nécessaire de revenir sur la signification des mots dont
on fait un usage continuel dans la science. C'est leur sort d'évoluer et par suite
de se transformer et de se plier à tant d'exigences différentes que non seulement le
sens primitif est quelquefois presque complètement évanoui, mais que la signification
actuelle est très-difficile à découvrir lorsqu'on pense à la chercher. C'est ce qui
arrive par rapport à la \emph{théorie générale des ondes}. Tout le monde en parle et tous
parlent de son influence, en l'opposant à d'autres systèmes. Mais les limites
en sont elles-marquées, et peut-on établir sous quelles conditions une classe de
phénomènes s'explique par le système des ondes? Nous n'entrerons pas dans la discussion
de ces questions qui mériteraient une étude approfondie; nous dirons seulement
qu'une grande classe de phénomènes peuvent se grouper au point de vue analytique
sous une même catégorie bien définie, car leurs équations différentielles du type
hyperbolique ont des propriétés communes qui ressortent principalement de l'existence
de caractéristiques réelles.

On envisage par là une grande partie des phénomènes qu'on a l'habitude de
regarder comme dépendant du système des ondes, mais on ne peut pas dire que
sous cette classe d'équations différentielles on ait groupé tous les phénomènes qui
se relient à la théorie des ondes. On peut citer, par exemple, les ondes des liquides
incompressibles et pesants qui dépendent d'équations d'une autre nature. (Voir \hyperref[pgchapter:11]{\Ord{11}{ème}~leçon}). %[** Xref]
Toujours est-il que l'étude des équations différentielles dont nous venons de
parler forme une théorie que l'on peut envisager à part et approfondir par des
méthodes générales qu'on est en train de perfectionner peu à peu. Par rapport à
ces équations il faut dire qu'elles ont marqué le plus grand triomphe de la physique
mathématique, car c'est l'analogie entre les équations des vibrations des corps
%% -----File: 050.png---Folio 50-------
élastiques et celles des champs électrodynamiques qui ont conduit à %[** PP: Typo a]
la théorie
électromagnétique de la lumière et aux expériences de Hertz.

\Paragraph{2.} Nous envisageons dans cette leçon quelques équations qui rentrent dans
cette catégorie, et nous examinons les plus simples. Elles peuvent servir à
nous montrer d'une manière claire, sans entrer dans les détails, les propriétés
principales et la portée des méthodes qu'on a tâché d'employer pour leur étude.
Considérons les équations
\[
\tag{1}
\frac{\partial^2v}{\partial x^2} - \frac{\partial^2v}{\partial y^2} = 0,\quad
%
\frac{\partial^2v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2v}{\partial y^2} - \frac{\partial^2v}{\partial z^2} = 0,\quad
%
\frac{\partial^2v}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2v}{\partial x_2^2} + \frac{\partial^2v}{\partial x_3^2} - \frac{\partial^2v}{\partial x_4^2} = 0\ldots.
%[** PP: Added period]
\]

La première est celle qu'on appelle des cordes vibrantes, la seconde est celle
des membranes vibrantes, la troisième des corps vibrants etc.\ et l'on peut les
comparer avec les équations de Laplace à deux, trois, quatre variables indépendantes
que nous avons déjà envisagées dans les leçons précédentes. On peut passer
des unes aux autres par des transformations très-simples. C'est ainsi qu'en remplaçant
dans la seconde par exemple $z$ par~$iz$, elle devient l'équation de Laplace à
trois variables. Bien des propriétés peuvent se déduire par cette simple transformation.

\phantomsection\label{section:8.3}%
\Paragraph{3.} Nous voulons d'abord comparer deux formules qui nous montreront tout
de suite le caractère des équations~(1) et celui de l'équation de Laplace. Le cas le
plus frappant et en même temps le plus simple est relatif à trois variables, et l'on
peut même considérer le cas plus général où le second membre n'est pas nul.
Soit~$u$ %[** PP: Changed v to u]
une fonction qui vérifie l'équation
\[
\tag{I}
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = f(x, y, z)
\]
%[Illustration]
\begin{wrapfigure}[8]{l}{1.75in}%
\raisebox{0.125in}[1.5in][0pt]{\Input{050a}{1.625in}}
\end{wrapfigure}%
et supposons qu'elle soit finie, continue et monodrome
dans un domaine~$S$ limité par un contour~$\sigma$. Supposons
que la fonction~$f$ soit aussi finie, continue et monodrome.
La formule de Green donne la valeur de~$u$, dans un point~$M_i$
de coordonnées $x_1, y_1, z_1$ interne au domaine, exprimée
par les valeurs de~$u$ et de la dérivée de~$u$ par rapport
à la normale au contour. Voici la formule
\[
\tag{2}
u(x_1, y_1, z_1)
  = -\frac{1}{4\pi} \int_\sigma
     \biggl( u \pderiv{\smfrac{1}{r}}{n}
             - \pderiv{u}{n} \cdot \frac{1}{r} \biggr)\, d\sigma
    - \frac{1}{4\pi} \int_S f \frac{1}{r}\, dS
\]
où $r = \sqrt{(x_1 - x)^2 + (y_1 - y)^2 + (z_1 - z)^2}$, $x, y, z$ étant les coordonnées du point
indice des intégrations. On suppose que la normale~$n$ soit dirigée vers la partie
%% -----File: 051.png---Folio 51-------
externe du domaine~$S$. %[** PP: S and handwritten marks?]
Si le point de coordonnées $x_1, y_1, z_1$ au lieu d'être un point
interne~$M_i$ est un point externe~$M_e$, la formule précédente devient
\[
\tag{3}
0 = -\frac{1}{4\pi} \int_\sigma
  \biggl(u \pderiv{\smfrac{1}{r}}{n}
         - \pderiv{u}{n} \frac{1}{r}\biggr)\, d\sigma
  - \frac{1}{4\pi} \int_S f \frac{1}{r}\, dS.
\]
On peut par une simple transformation écrire la formule~(2) d'une autre manière.
Intégrons et dérivons successivement le second membre par rapport à~$z_1$. On aura
\[
\tag{$2'$}
u (x_1, y_1, z_1) = \pderiv{}{z_1} \left\{ -\frac{1}{4\pi} \int_\sigma
  \left(u \pderiv{\phi}{n} - \pderiv{u}{n} \phi\right) d\sigma
  -\frac{1}{4\pi} \int_S f \phi\, dS \right\}
\]
où l'on a posé
\[
\tag{4}
\phi = \log \left( \frac{z_1 - z}{\sqrt{(x_1 - x)^2 + (y_1 - y)^2}}
             + \sqrt{\frac{(z_1 - z)^2}{(x_1 - x)^2 + (y_1 - y)^2} + 1} \right);
\]
de même la formule~(3) pourra s'écrire
\[
\tag{$3'$}
0 = \pderiv{}{z_1} \left\{ -\frac{1}{4\pi} \int_\sigma
  \left( u \pderiv{\phi}{n} - \pderiv{u}{n} \phi\right) d\sigma
  -\frac{1}{4\pi} \int_S f \phi\, dS \right\}. % [** PP: Added period]
\]

\Paragraph{4.} Indiquons maintenant la formule analogue à la formule~($2'$) pour l'équation
\[
\tag{II}
  \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}
+ \frac{\partial^2 v}{\partial y^2}
- \frac{\partial^2 v}{\partial z^2} = f(x,y,z).
\]

%[Illustration]
%[** PP: The original image is in ./images/sources/051ab.png.
%        In the original, the normal vectors are not orthogonal
%        to the surface.]
\begin{wrapfigure}{r}{3.5in}%
\Input{051a}{1.75in}\Input{051b}{1.75in}
\end{wrapfigure}%
Menons un cône de révolution
à~$45°$ ayant pour axe une droite parallèle
à l'axe~$z$ et pour sommet le
point~$M_i$ dont les coordonnées sont
$x_1\, y_1\, z_1$, et appelons~$\sigma'$ une surface
simplement connexe découpée par
le cône et ayant pour contour la
ligne d'intersection avec le cône. Soit~$S'$
l'espace compris entre le cône et
la surface, $n$~étant la normale à la
surface dirigée vers l'intérieur de
l'espace~$S'$, soient $\cos nx, \cos ny, \cos nz$ les cosinus des angles qu'elle forme avec
les axes coordonnés.
%% -----File: 052.png---Folio 52-------

Nous appelons (avec M.~d'Adhémar) \emph{conormale} la direction~$n'$ telle que
\[
\cos n'x = -\cos nx,\quad
\cos n'y = -\cos ny,\quad
\cos n'z =  \cos nz.
\]
On aura alors
\[
\tag{5}
v(x_1\, y_1\, z_1) = \pderiv{}{z_1} \left\{ -\frac{1}{2\pi} \int_{\sigma'}
   \left(v \pderiv{\phi'}{n'} - \pderiv{v}{n'} \phi' \right) d\sigma'
 - \frac{1}{2\pi} \int_{S'} \phi' f\, dS' \right\}
\]
où
\[
\tag{6}
\phi' = \log \left(\frac{z_1 - z}{\sqrt{(x_1 - x)^2 + (y_1 - y)^2}}
      + \sqrt{\frac{(z_1 - z)^2}{(x_1 - x)^2 + (y_1 - y)^2} - 1}\;\right)
\]
en supposant $v$ et~$f$ finies, continues et monodromes, et $x, y, z$ étant les coordonnées
du point indice des intégrations.

\phantomsection\label{section:8.5}%
\Paragraph{5.} Les deux formules $(2')$ et~(5) sont tout à fait correspondantes l'une à
l'autre. C'est en les comparant et en remarquant leurs différences qu'on pourra se
faire une idée des analogies et en même temps des propriétés différentes des équations
(I) et~(II). D'abord on remarquera que dans la formule~$(2')$ la surface~$\sigma$ et
l'espace~$S$ renferment le point où l'on détermine la fonction~$u$, tandis que dans la
formule~(5) paraissent seulement les valeurs de~$v$ et de la dérivée conormale le
long de la surface~$\sigma'$ découpée par le cône et les valeurs de~$f$ à l'intérieur de~$S'$.
Dans la formule~$(2')$ les espaces où l'on calcule les intégrales sont toujours les
mêmes quel que soit~$M_i$. Dans la formule~(5) ils changent en déplaçant~$M_i$. Les
cônes de révolution à~$45°$ ayant l'axe parallèle à~$z$ jouent donc dans ce cas un
rôle considérable. Ils sont en effet les cônes caractéristiques.

En général lorsqu'on envisage une équation linéaire à coefficients constants
de \Ord{2}{ième}~ordre % [** PP: Typo 2^{ème}]
\[
\sum_{r=1}^n \sum_{s=1}^n a_{rs} \frac{\partial^2 u}{\partial x_r \partial x_s}
  + \sum_{i=1}^n b_i \pderiv{u}{x_i} + ku = 0,
\]
les surfaces ayant pour équations dans l'hyperespace $x_1, x_2 \dotsc x_n$
\[
\textstyle{\sum_r \sum_s} a_{rs} (x_r - x^0_r) (x_s - x^0_s) = 0,
\]
où $x^0_1 \dotsc x^0_s$ sont des quantités constantes, s'appellent les cônes caractéristiques.

Or par rapport à l'équation~(I) les cônes ont pour équation
\[
(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = 0,
\]
c'est pourquoi ils sont imaginaires, tandis que pour l'équation~(II) les cônes sont
représentés par
\[
(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 - (z - z_0)^2 = 0.
\]
%% -----File: 053.png---Folio 53-------

Ils sont réels et sont justement les cônes de révolution à~$45°$ que nous
avons envisagés.

\Paragraph{6.} Une autre particularité qu'il faut mettre en évidence est que dans la
formule~$(2')$ les valeurs $u$ et~$\pderiv{u}{n}$ au contour ne sont pas indépendantes entre elles. %[** PP: Added period]
Si les valeurs de $u$ sont données, les valeurs de $\smash[t]{\pderiv{u}{n}}$ sont déterminées aussi.

La chose est bien différente dans le cas de la formule~(5). Pour certaines
surfaces~$\sigma$ les valeurs de~$v$ et de~$\pderiv{v}{n}$ sont indépendantes, tandis que pour d'autres
surfaces ou certaines parties d'une surface elles sont indépendantes et pour d'autres
ne le sont pas. Nous aurons l'occasion de revenir sur ce point.

%[Illustration]
%[** PP: The original image is in ./images/sources/053ab.png.
%        In the original, the normal vectors are not orthogonal to
%        the surface, the cone axis is not parallel to the z-axis,
%        and the cone is not a 45° cone.]
\begin{wrapfigure}[8]{r}{2.5in}% [**** Explicit height]
\raisebox{0.125in}[1.625in][0pt]{\Input{053a}{2.5in}}
\end{wrapfigure}
\Paragraph{7.} On peut chercher une formule qui corresponde
à la formule~$(3')$ et il est bien facile
de la trouver.

Soit $\sigma'$ une surface interne au cône, et soit
$S'$ un domaine compris entre $\sigma'$ et la surface
du cône, mais supposons que le sommet~$M_e$
du cône soit un point externe au domaine~$S'$.

On aura alors
\[
\tag{7}
0 = \pderiv{}{z_1} \left\{ -\frac{1}{2\pi} \int_{\sigma'}
  \left(u \pderiv{\phi'}{n'} - \pderiv{u}{n'} \phi'\right) d\sigma
%[** PP: Not breaking, so no trailing operator -]
  - \frac{1}{2\pi} \int_{S'} \phi' f\, dS' \right\}
\]
%[Illustration]
%[** PP: The original image is in ./images/sources/053ab.png.
%        In the original, the normal vectors are not orthogonal to
%        the surface, the cone axis is not parallel to the z-axis,
%        and the cone is not a 45° cone.]
\begin{wrapfigure}[10]{r}{2.5in}% [**** Explicit height]
\raisebox{2ex}[1.75in][0pt]{\Input{053b}{2.5in}}
\end{wrapfigure}
où $n'$~représente toujours la conormale de la surface~$\sigma'$.

\Paragraph{8.} En calculant la dérivée par rapport
à $z_1$ qui paraît dans le second membre de
l'équation~$(2')$ on revient à la formule originaire~(2).

Le calcul analogue dans la formule~(5) n'est pas aussi simple, parce qu'une
variation des coordonnées $x_1, y_1, z_1$ du point~$M_i$ change la surface~$\sigma'$ découpée par
le cône caractéristique. C'est pourquoi il est évident que la dérivation ne peut
pas être faite directement sous les intégrales. La dérivée peut cependant se calculer
très facilement dans le second et dans le troisième terme du second membre
et par là la formule~(5) peut s'écrire de la manière suivante
%% -----File: 054.png---Folio 54-------
{\small
\[
\Lmargintag{$5'$}
\left\{
\begin{aligned}
v(x_1, y_1, z_1) &= \frac{1}{2\pi} \pderiv{}{z_1} \int_{\sigma'}
    \frac{1}{\sqrt{(z_1 - z)^2 - (x_1 - x)^2 - (y_1 - y)^2}}
\Trail{\cdot} \\ % [** PP: Added missing trailing operator]
%
&\quad\left(\cos nz - \frac{z_1 - z}{(x_1 - x)^2 + (y_1 - y)^2}
   \bigl[(x - x_1) \cos nx + (y - y_1) \cos ny \bigr] \right) v\, d\sigma'
\Trail{+} \\
%
  &+ \frac{1}{2\pi} \int_{\sigma'}
     \frac{1}{\sqrt{(z_1 - z)^2 - (x_1 - x)^2 - (y_1 - y)^2}}
     \pderiv{v}{n'}\, d\sigma'
\Trail{-} \\
%
  &- \frac{1}{2\pi} \int_{S'}
     \frac{1}{\sqrt{(z_1 - z)^2 - (x_1 - x)^2 - (y_1 - y)^2}} f\, dS'.
\end{aligned}
\right.
\]
}% [** End of \small]

La formule~(7) peut se transformer de même. Dans ce cas le premier membre
est nul.

\Paragraph{9.} Revenons maintenant à la formule~(2). Le second membre peut se décomposer
en deux termes. La première intégrale étendue à la surface~$\sigma$ exprime
évidemment une fonction harmonique, c'est à dire qui vérifie l'équation de Laplace
à l'intérieur de~$S$, c'est pourquoi si l'on prend
\[
W(x_1\, y_1\, z_1) = \int \frac{f\, dS}{z}%[** PP: Preserved lack of commas]
\]
on a
\[
  \frac{\partial^2 W}{\partial x_1^2}
+ \frac{\partial^2 W}{\partial y_1^2}
+ \frac{\partial^2 W}{\partial z_1^2}
= -4 \pi f(x_1\, y_1\, z_1),%[** PP: Preserved lack of commas]
\]
formule qui correspond à un théorème célèbre de Poisson. De même prenons la
formule~$(5')$ et considérons la dernière partie du second membre, c'est à dire
\[
W'(x_1\, y_1\, z_1) = \int_S \frac{f\, dS}{\sqrt{(x_1 - x)^2 - (y_1 - y)^2 - (z_1 - z)^2}}.
\]

Puisque, comme on le vérifie facilement, la première partie du second membre
satisfait à l'équation~(II) où l'on suppose nul le second membre, on voit tout de
suite que
\[
  \frac{\partial^2 W'}{\partial x_1^2}
+ \frac{\partial^2 W'}{\partial y_1^2}
- \frac{\partial^2 W'}{\partial z_1^2}
= -2\pi f(x_1\, y_1\, z_1).
\]

On a par là un théorème qui a bien des rapports avec celui de Poisson.
Dans le cas de Poisson l'intégrale doit être étendue toujours au même espace~$S$,
dans le théorème que nous venons d'énoncer l'intégrale est étendue à la partie
%% -----File: 055.png---Folio 55-------
d'un espace qui est intérieur au cône caractéristique ayant pour sommet le point
$x_1\, y_1\, z_1$.

Par la formule~(2) on peut facilement déduire les discontinuités relatives aux
dérivées des potentiels des surfaces et les discontinuités des potentiels des doubles
couches. On obtient des formules semblables en employant la formule~$(5')$ d'une
manière analogue.

\Paragraph{10.} Nous avons jusqu'à présent envisagé l'espace interne au cône, mais pour
l'espace externe au cône on peut établir de nouvelles formules qui n'ont pas de
correspondantes dans le cas de l'équation de Laplace.

Menons le cône caractéristique ayant pour sommet le point~$M$ de coordonnées
$x_1\, y_1\, z_1$.

%[Illustration]
%[** PP: The original image is in ./images/sources/055a.png.
%        In the original, the cone is not a 45° cone.]
\begin{wrapfigure}[9]{l}{2.5in}% [**** Explicit height]
\Input{055a}{2.5in}
\end{wrapfigure}
Soit $\sigma''$ une surface externe au cône et
découpée par le cône, et supposons que $S''$ soit
un domaine externe au cône limité par~$\sigma''$ et
par la surface du cône. $n$~étant la normale à
la surface~$\sigma''$ dirigée vers l'intérieur de~$S''$, appelons
$n''$ la conormale. Posons pour simplifier
\begin{gather*}
\rho = \sqrt{(x-x_1)^2 + (y-y_1)^2} \\
\cos n\rho = \frac{x-x_1}{\rho} \cos nx + \frac{y-y_1}{\rho} \cos ny.
\end{gather*}

Enfin supposons que dans le domaine~$S''$, $v$ et~$f$ soient finies, continues et
monodromes. Alors on aura
\iffalse%%%%%%%%%%%%% DEAD CODE %%%%%%%%%%%%%%%%%%
% [** PP: See preamble for definition of \Lorentz]
{\small
\[
\Lmargintag{8}
\left\{
\begin{split}
&v(x_1\, y_1\, z_1) = - \frac{1}{2\pi^2} \int_{\sigma''}
  \frac{\cos n\rho}{\rho \sqrt{\Lorentz}} v\, d\sigma'' \\ % [** -]
%
&\quad -\frac{1}{2\pi^2} \pderiv{}{z_1} \int_{\sigma''}
  \frac{1}{\sqrt{\Lorentz}} \log \left(\frac{\Lorentz}{\rho}\right) \\ % [** .]
%
&\quad \cdot \left(\cos nz - \frac{z_1-z}{\rho} \cos n\rho\right) v\, d\sigma''
  -\frac{1}{2\pi^2} \int_{\sigma''} \frac{1}{\sqrt{\Lorentz}} \\ % [** .]
%
&\quad \cdot \log \left(\frac{\Lorentz}{\rho}\right) \pderiv{v}{n''}\, d\sigma''
  + \frac{1}{2\pi^2} \int_{S''} \frac{1}{\sqrt{\Lorentz}} \\ % [** .]
%
&\quad \cdot \log \left(\frac{\Lorentz}{\rho}\right)f\, dS''.
\end{split}
\right.
\]
}% **** End \small
\fi %%%%%%%%%%%%%%%%%END DEAD CODE %%%%%%%%%%%%%%%%%
%[** PP: Re-breaking, added trailing operators]
\[
\tag{8}
\left\{
\begin{aligned}
v(x_1\, y_1\, z_1)
  &= - \frac{1}{2\pi^2} \int_{\sigma''}
       \frac{\cos n\rho}{\rho \sqrt{\Lorentz}} v\, d\sigma''
\Trail{-} \\[2ex]
%
&\quad -\frac{1}{2\pi^2} \pderiv{}{z_1}
        \int_{\sigma''} \frac{1}{\sqrt{\Lorentz}}
\Trail{\cdot} \\
%%
&\quad\qquad \cdot \log \left(\frac{\Lorentz}{\rho}\right)
\Trail{\cdot} \\
%
&\quad\qquad
  \cdot \left(\cos nz - \frac{z_1-z}{\rho} \cos n\rho\right) v\, d\sigma''
\Trail{-} \\[2ex]
%%
&\quad -\frac{1}{2\pi^2} \int_{\sigma''} \frac{1}{\sqrt{\Lorentz}}
\Trail{\cdot} \\
%
&\quad\qquad
  \cdot \log \left(\frac{\Lorentz}{\rho}\right) \pderiv{v}{n''}\, d\sigma''
\Trail{+} \\[2ex]
%%
&\quad +\frac{1}{2\pi^2} \int_{S''} \frac{1}{\sqrt{\Lorentz}}
\Trail{\cdot} \\
%
&\quad\qquad \cdot \log \left(\frac{\Lorentz}{\rho}\right)f\, dS'',
% [** PP: Changed period to comma]
\end{aligned}
\right.
\]
%% -----File: 056.png---Folio 56-------
où $x, y, z$ sont les coordonnées du point indice des intégrations. Si nous écrivons
dans le cas de l'espace externe une expression tout à fait analogue à celle qui
paraît dans le second membre de l'équation (5) ou~$(5')$, on ne trouve pas la valeur
de~$v$ au sommet du cône, mais une valeur nulle. On a donc:
\iffalse%%%%%%%%%%%%% DEAD CODE %%%%%%%%%%%%%%%%%%
{\small
\[
\Lmargintag{9}
\left\{
\begin{aligned}
0 &= \pderiv{}{z_1} \int_{\sigma''} \frac{1}{\sqrt{\Lorentz}}
     \left(\cos nz - \frac{z_1-z}{(x_1-x)^2 + (y_1-y)^2}
                     \bigl[(x-x_1) \cos nx + (y-y_1) \cos ny\bigr]\right) v\, d\sigma'' \\ % [** +]
%
&\quad
  \int_{\sigma''} \frac{1}{\sqrt{\Lorentz}} \pderiv{v}{n''}\, d\sigma''
- \int_{S''} \frac{1}{\sqrt{\Lorentz}} f\, dS''.
\end{aligned}
\right.
\]
}% end \small
\fi%%%%%%%%%%%%% END OF DEAD CODE %%%%%%%%%%%%%%%%%%
\[ %[** PP: Re-breaking, added trailing operators]
\Lmargintag{9}
\left\{
\begin{aligned}
0 &= \pderiv{}{z_1} \int_{\sigma''} \frac{1}{\sqrt{\Lorentz}}
\Trail{\cdot} \\
  &\quad\qquad\Trail{\cdot}
     \left(\cos nz - \frac{z_1-z}{(x_1-x)^2 + (y_1-y)^2}
           \bigl[(x-x_1) \cos nx + (y-y_1) \cos ny\bigr]\right) v\, d\sigma''
\Trail{+} \\
%
&\quad + \int_{\sigma''} \frac{1}{\sqrt{\Lorentz}} \pderiv{v}{n''}\, d\sigma''
\Trail{-} \\
&\quad - \int_{S''} \frac{1}{\sqrt{\Lorentz}} f\, dS''.
\end{aligned}
\right.
\]

\Paragraph{11.} Particularisons maintenant les formules générales. On peut commencer
par supposer $f = 0$. Il est évident alors que dans les formules précédentes tous
les termes où paraît cette quantité s'évanouissent. Elles se rapportent alors aux
intégrales de l'équation
\[
\tag{III}
  \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}
+ \frac{\partial^2 v}{\partial y^2}
- \frac{\partial^2 v}{\partial z^2} = 0.
\]
C'est pourquoi les formules $(5')\, (9)\, (8)$ deviennent des formules correspondantes,
mais d'une nature complètement différente, aux formules bien connues des fonctions
harmoniques, c'est à dire des intégrales de l'équation de Laplace. Elles s'écriront
alors
\[
\Lmargintag{10}
\left\{
\begin{aligned}
v(x_1\, y_1\, z_1) &= \frac{1}{2\pi} \pderiv{}{z_1} \int_{\sigma'}
  \frac{1}{\sqrt{(z_1-z)^2 - \rho^2}}
    \left(\cos nz - \frac{z_1-z}{\rho} \cos n\rho\right)v \,d\sigma'
\Trail{+} \\
&\quad + \frac{1}{2\pi} \int_{\sigma'}
  \frac{1}{\sqrt{(z_1-z)^2 - \rho^2}} \pderiv{v}{n'}\, d\sigma'.
\end{aligned}
\right.
\]
%%
\[ % [** PP: Re-breaking]
\tag{11}
\left\{
\begin{aligned}
0 &= \pderiv{}{z_1} \int_{\sigma''} \frac{1}{\sqrt{(z_1-z)^2 - \rho^2}}
  \left(\cos nz - \frac{z_1-z}{\rho} \cos n\rho\right) d\sigma''
\Trail{+} \\
&\quad + \frac{1}{2\pi} \int_{\sigma''}
  \frac{1}{\sqrt{(z_1-z)^2 - \rho^2}} \pderiv{v}{n''}\, d\sigma''.
\end{aligned}
\right.
\]
%%
{\small
\[
\Lmargintag{12}
\left\{
\begin{aligned}
&v(x_1\, y_1\, z_1) = -\frac{1}{2\pi^2} \int_{\sigma''}
  \frac{\cos n\rho}{\rho \sqrt{\rho^2 - (z-z_1)^2}} v\, d\sigma''
\Trail{-} \\
%
&\qquad -\frac{1}{2\pi^2} \pderiv{}{z_1} \int_{\sigma''}
  \frac{1}{\sqrt{\rho^2 - (z-z_1)^2}} \log \frac{\rho^2 - (z-z_1)^2}{\rho}
  \left(\cos nz - \frac{z_1-z}{\rho} \cos n\rho\right) v\, d\sigma''
\Trail{-} \\
%
&\qquad -\frac{1}{2\pi^2} \int_{\sigma''} \frac{1}{\sqrt{\rho^2 - (z-z_1)^2}}
  \log\left(\frac{\rho^2 - (z-z_1)^2}{\rho}\right) \pderiv{v}{n''}\, d\sigma''.
\end{aligned}
\right.
\]
}% [** End of \small]
%% -----File: 057.png---Folio 57-------

\Paragraph{12.} On peut ensuite particulariser la forme des surfaces $\sigma'$ et~$\sigma''$. Supposons
d'abord que la surface~$\sigma'$ soit le plan coordonné~$xy$, et supposons $z_1 > z = 0$.

Alors la formule~(10) devient
\[
\tag{13}
\left\{
\begin{aligned}
v(x_1\, y_1\, z_1)
  &= \frac{1}{2\pi} \pderiv{}{z_1} \int_{\sigma'}
       \frac{1}{\sqrt{(z_1-z)^2 - (x_1-x)^2 - (y_1-y)^2}} v\, d\sigma'
\Trail{+} \\
  &+ \frac{1}{2\pi} \int_{\sigma'}
       \frac{1}{\sqrt{(z_1-z)^2 - (x_1-x)^2 - (y_1-y)^2}}\,
       \pderiv{v}{z}\, d\sigma',
\end{aligned}
\right.
\]
car la normale~$n$ et la conormale~$n'$ coïncident avec~$z$.

%[Illustrations]
%[** PP: The original image is in ./images/sources/057a.png.
%        In the original, the cone is not a 45° cone.]
\begin{wrapfigure}{r}{1.75in}
\Input{057a}{1.75in}
\end{wrapfigure}
Dans ce cas, $v$ et~$\pderiv{v}{z}$ sont indépendants entre
eux (Voir §~6). Cette formule nous donne l'intégrale % [** Xref]
générale de l'équation~(III) sous une forme bien
connue qu'on appelle de Poisson-Parseval.

On trouve une formule tout à fait
analogue si l'on suppose que le point~$M_i$ soit
au-dessous du plan~$xy$. % [** PP: Typo $xz$]

Supposons maintenant que la surface~$\sigma'$
devienne un cylindre indéfini~$\gamma$ ayant
les génératrices parallèles à l'axe~$z$ et
aussi que la coordonnée~$z_1$ du point~$M_i$
soit supérieure aux coordonnées~$z$ des
points de~$\gamma$. Enfin supposons que $v$ soit
nulle pour toutes les valeurs de~$z$ inférieures
à une certaine limite~$-Z$.

Dans ce cas la formule~(10) deviendra
{\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{\small}{\footnotesize}
\[
\Lmargintag{14}
v(x_1\, y_1\, z_1) = \frac{1}{2\pi} \int_s ds
  \left\{ \frac{\delta}{\delta n}
    \int_\rho^\infty v(x, y, z_1-\xi)\, \frac{d\xi}{\sqrt{\xi^2-\rho^2}}
  - \pderiv{}{n}
    \int_\rho^\infty v(x, y, z_1-\xi)\, \frac{d\xi}{\sqrt{\xi^2-\rho^2}}
\right\},
\]
}% [** End of \small]
\begin{wrapfigure}{r}{2.75in}
\Input{057b}{2.5in}
\end{wrapfigure}
où l'on suppose que
\[
\rho = \sqrt{x^2 + y^2},
\]
$s$ étant l'intersection du cylindre~$\gamma$ avec un plan parallèle au plan~$xy$, et $x, y$ étant
les coordonnées des points de la ligne~$s$.
%% -----File: 058.png---Folio 58-------

Par rapport aux dérivées normales représentées par les symboles $\pderiv{}{n}$ et $\dfrac{\delta}{\delta n}$ nous
convenons que si~$f$ est une fonction de $x, y, \rho$ et que si l'on regarde ces quantités
comme des variables indépendantes
\begin{align*}
\frac{\delta f}{\delta n}
%[** PP: Changed \pderiv{f}{z} to \pderiv{f}{x}]
  &= \pderiv{f}{x} \pderiv{x}{n}
   + \pderiv{f}{y} \pderiv{y}{n} \\
\frac{\delta f}{\delta n} &= \pderiv{f}{\rho} \pderiv{\rho}{n}. % [** PP: Added period]
\end{align*}

%[Illustrations]
\begin{wrapfigure}[6]{l}{2.75in}% [**** Explicit height]
\raisebox{0.5in}[1.5in][0pt]{\Input{058a}{2.5in}}
\end{wrapfigure}
Dans ce cas les valeurs de~$v$ et de la dérivée normale de~$v$ sur le cylindre ne
sont pas indépendantes entre elles.

\Paragraph{13.} On peut enfin imaginer un cas
mixte des deux précédents où la surface~$\sigma'$
est constituée en partie par un cylindre~$\gamma$
et en partie par un plan parallèle au
plan~$xy$. Alors le second membre de la
formule~(10) est constitué de deux parties
dont l'une a la forme du second membre
de l'équation~(14) et l'autre celle du second
membre de l'équation~(13). Sur $\gamma$ les valeurs
de~$v$ et de la dérivée normale ne
sont pas indépendantes, tandis qu'elles
sont indépendantes sur le plan~$\omega$.

%[Illustration]
%[** PP: The original image is in ./images/sources/058b.png.
%        In the original, the cone is not a 45° cone.]
\begin{wrapfigure}[9]{l}[0.25in]{2.75in} % [**** Explicit height]
\raisebox{0.125in}[1.875in][0pt]{\Input{058b}{2.625in}}
\end{wrapfigure}
\Paragraph{14.} Les formules (8) et~(9) peuvent
aussi se particulariser en supposant que
$\sigma''$ se réduise à une surface cylindrique
ayant les génératrices parallèles à l'axe~$z$,
et alors elles deviennent respectivement
{\small
\[
\Lmargintag{15}
\left\{
\begin{aligned}
0 &= \int_s ds \left\{ \pderiv{}{n}
     \int_{-\rho}^\rho v(x_1, y_1, z_1 - \xi)\,
         \frac{d\xi}{\sqrt{\rho^2 - \xi^2}} \right.
\Trail{-} \\
%
  &\quad \left. -\frac{\delta}{\delta n}
     \int_{-\rho}^\rho v(x_1, y_1, z_1 - \xi)\,
         \frac{d\xi}{\sqrt{\rho^2 - \xi^2}} \right\}
\end{aligned}
\right.
\]
}% [** End of \small]
%% -----File: 059.png---Folio 59-------
\[
\Lmargintag{16}
\left\{
\begin{aligned}
v(x_1, y_1, z_1) &= \frac{1}{2\pi^2} \int_s ds
  \left\{ \pderiv{}{n} \int_{-\rho}^\rho v(x_1, y_1, z_1 - \xi)
    \log \left(\frac{\rho^2 - \xi^2}{\rho}\right)\,
        \frac{d\xi}{\sqrt{\rho^2 - \xi^2}} \right.
\Trail{-} \\
%
  &\quad
 -\left.\frac{\delta}{\delta n} \int_{-\rho}^\rho v(x_1, y_1, z_1 - \xi)
    \log \left(\frac{\rho^2 - \xi^2}{\rho}\right)\,
        \frac{d\xi}{\sqrt{\rho^2 - \xi^2}} \right\}.
\end{aligned}
\right.
\]
Dans ce cas $v$ et~$\pderiv{v}{n}$ ne sont pas indépendants.


\Chapter{\Ord{9}{ième} leçon.}

\Paragraph{15.} Dans le §~13 nous avons envisagé le cas mixte où sur~$\omega$ les valeurs de~$v$ et
de~$\pderiv{v}{n}$ sont indépendantes entre elles, tandis qu'elles ne sont pas indépendantes sur
la surface cylindrique~$\gamma$. Sur cette surface il suffit de donner les valeurs de~$v$ ou de
$\pderiv{n}{n}$ pour déterminer $v(x_1\, y_1\, z_1)$. Il faut donc tâcher d'éliminer les valeurs de~$\pderiv{v}{n}$
ou de~$v$ sur~$\gamma$. On peut atteindre le but dans certains cas très-aisément, et nous
allons les approfondir pour montrer que la célèbre méthode des images découverte
par Lord Kelvin pour l'intégration de l'équation de Laplace peut être aussi employée
quelquefois pour les équations analogues ayant les cônes caractéristiques réels.
On trouve par là un résultat complètement inattendu, c'est à dire que lorsqu'on % [** PP: Typo l'orsqu' on]
envisage les équations à caractéristiques réelles, même dans le cas où l'on a un
nombre infini d'images, la solution peut ne pas être donnée par des séries infinies,
mais par un nombre fini de termes. Ce résultat semble au premier abord paradoxal,
mais il tient à ce que dans chaque cas le nombre des images dont on a
besoin est fini en vertu de la réalité des cônes caractéristiques.

%[Illustration]
%[** PP: The original image is in ./images/sources/059a.png.
%        In the original, the cone is not a 45° cone.]
\begin{wrapfigure}[8]{r}{3in}% [**** Explicit height]
\qquad\raisebox{0.0625in}[1.25in][0pt]{\Input{059a}{2.5in}}
\end{wrapfigure}
Supposons que la surface
cylindrique~$\gamma$ se réduise au plan~$yz$
($z>0$) et~$\omega$ au plan~$xy$ ($x>0$),
c'est à dire que $\omega$ soit un segment
d'un cercle et $\gamma$ un segment
d'hyperbole.

Dans ce cas la formule~($5'$) s'écrit
\smallskip
%% -----File: 060.png---Folio 60-------
% [** PP: Re-breaking, added trailing operators]
\[
\tag{17}
\left\{
\begin{aligned}
v(x_1\, y_1\, z_1)
&= \frac{1}{2\pi} \pderiv{}{z_1}
    \int_\omega \frac{1}{\sqrt{z_1^2 - \rho^2}} v\, d\omega
  + \frac{1}{2\pi}
    \int_\omega \frac{1}{\sqrt{z_1^2 - \rho^2}}\, \pderiv{v}{z}\, d\omega
\Trail{-} \\
%%
&\quad -\frac{1}{2\pi} \pderiv{}{z_1}
   \int_\gamma \frac{1}{\sqrt{(z_1 - z)^2 - \rho^2}}\,
               \frac{z_1 - z}{\rho} \cos(n \rho) v\, d\gamma
\Trail{-} \\
%
&\quad -\frac{1}{2\pi}
   \int_\gamma \frac{1}{\sqrt{(z_1 - z)^2 - \rho^2}}\,
        \pderiv{v}{x}\, d\gamma.
\end{aligned}
\right.
\]

Or pour éliminer les valeurs de~$v$ ou de $\smash[b]{\pderiv{v}{x}}$ sur $\gamma$ on peut se servir de la
méthode des images.
%[Illustration]
%[** PP: The original image is in ./images/sources/060a.png.
%        In the original, the cone is not a 45° cone.]
\begin{center}
\Input{060a}{}
\end{center}

Soit $M'_i$ l'image optique du point~$M_i$ réfléchi par le plan~$yz$. Menons le cône
caractéristique qui a pour sommet~$M'_i$. Il découpera sur le plan~$yz$ le segment
d'hyperbole~$\gamma$ et sur la partie du plan~$xy$ ($x>0$) un segment de cercle~$\omega'$. Si
nous appliquons la formule~(7), transformée convenablement, à l'ensemble des surfaces
$\omega'$ et~$\gamma$ on trouvera
%[** PP: Changed total derivative to partial derivative three times (##)]
\[
\tag{18}
\left\{
\begin{aligned}
0 &= \frac{1}{2\pi} \pderiv{}{z_1}
    \int_{\omega'} \frac{1}{\sqrt{z_1^2 - {\rho'}^2}} v\, d\omega'
   + \frac{1}{2\pi}
    \int_{\omega'} \frac{1}{\sqrt{z_1^2 - {\rho'}^2}}\,
      \pderiv{v}{z}\, d\omega' %##
\Trail{+} \\
%
  &\quad
   + \frac{1}{2\pi} \pderiv{}{z_1}
    \int_\gamma \frac{1}{\sqrt{(z_1 - z)^2 - {\rho'}^2}}\,
      \frac{z_1 - z}{\rho} \cos(n \rho) v\, d\gamma
\Trail{-} \\
%
  &\quad
   - \frac{1}{2\pi} \int_\gamma
      \frac{1}{\sqrt{(z_1 - z)^2 - \rho^2}}\,
      \pderiv{v}{x}\, d\gamma %##
\end{aligned}
\right.
\]
où
\[
{\rho'}^2 = (x_1 + x)^2 + (y_1 - y)^2.
\]

En ajoutant les deux formules (17) et~(18) on élimine $v$ dans l'intégrale étendue % [** PP: Typo  étendre]
à~$\gamma$, et par soustraction on élimine~$\pderiv{v}{x}$. La méthode des images conduit donc %##
%% -----File: 061.png---Folio 61-------
bien aisément au résultat qu'on cherchait. Passons maintenant au cas des images
successives. Admettons que la surface~$\gamma$ soit constituée par les segments d'hyperboles
$\gamma'$ et~$\gamma''$ découpés par la nappe inférieure du cône ayant pour sommet~$M_i$ sur les demi-plans
$x=0$, $x=a$ ($a>0$) qui sont au-dessus %[** PP: Typo audessus]
du plan~$xy$. Soit $\omega$ la partie de la
bande du plan~$xy$ comprise entre les plans $x = 0$, $x = a$ et renfermée à l'intérieur
du cône.

Dans ce cas la formule~$(2')$ s'écrit % [** PP: Typo (2^1)]
{\small
\begin{align*} % [** PP: Omitted left brace]
&v(x_1\, y_1\, z_1)
  = \frac{1}{2\pi} \pderiv{}{z_1}
    \int_\omega \frac{1}{\sqrt{z_1^2 - \rho^2}} v\, d\omega
  + \frac{1}{2\pi} \int_\omega
    \frac{1}{\sqrt{z_1^2 - \rho^2}}\, \pderiv{v}{z}\, d\omega
\Trail{-} \\
%
&\quad
  - \frac{1}{2\pi} \pderiv{}{z_1}
    \int_{\gamma'} \frac{1}{\sqrt{(z_1-z)^2 - \rho^2}}\,
                   \frac{z_1-z}{\rho} \cos(n \rho) v\, d\gamma'
  - \frac{1}{2\pi} \int_{\gamma'}
    \frac{1}{\sqrt{(z_1-z)^2 - \rho^2}}\, \pderiv{v}{x}\, d\gamma'
\Trail{-} \\
%
&\quad
  - \frac{1}{2\pi} \pderiv{}{z_1}
    \int_{\gamma''} \frac{1}{\sqrt{(z_1-z)^2 - \rho^2}}\,
                    \frac{z_1-z}{\rho} \cos(n \rho) v\, d\gamma''
  + \frac{1}{2\pi} \int_{\gamma''}
    \frac{1}{\sqrt{(z_1-z)^2 - \rho^2}}\, \pderiv{v}{x}\, d\gamma''.
\end{align*}
}% End of \small
%[Illustration]
%[** PP: The original image is in ./images/sources/061a.png.
%        In the original, the cone is not a 45° cone.]
\begin{center}
\Input{061a}{3.5in}
\end{center}

Dans cette formule les valeurs de~$v$ et de~$\pderiv{v}{x}$ sur $\gamma'$ et~$\gamma''$ ne sont pas indépendantes,
c'est pourquoi l'on peut tâcher d'employer la méthode des images pour
éliminer les unes ou les autres.

A cet effet prenons les images de~$M_i$ par rapport aux plans $\gamma'$ et~$\gamma''$ et ensuite
les images de ces images par rapport aux mêmes plans, et ainsi de suite indéfiniment.
Le nombre des images qu'on obtient est évidemment infini, mais il est intéressant
de remarquer qu'il n'est pas nécessaire de les employer toutes, car un
nombre fini d'entre elles suffit pour la solution du problème. Menons les cônes caractéristiques
dont les sommets sont les images que nous avons construites, et envisageons
les nappes inférieures de ces cônes, c'est à dire celles qui sont dirigées du côté
négatif de l'axe~$z$. Tous les cônes dont les sommets ont une distance des plans $\gamma'$
et~$\gamma''$ supérieure à~$z$, ne rencontrent ces plans qu'au-dessous du plan~$\omega$, c'est
pourquoi il n'est pas nécessaire de les envisager. Il est clair donc qu'on pourra
%% -----File: 062.png---Folio 62-------
éliminer les valeurs de~$v$ et de~$\pderiv{v}{x}$ sur $\gamma'$ et~$\gamma''$ en faisant usage seulement des
images qui sont à une distance de ces plans inférieure à~$z_1$. En employant donc
dans ce cas la méthode des images, on ne trouvera pas des séries infinies, mais la
solution du problème sera donnée par un nombre fini de termes.

Au lieu des trois plans $\omega$, $\gamma'$, $\gamma''$ on peut en avoir cinq, dont quatre sont perpendiculaires
au plan $xy$, et le rencontrent en formant les côtés d'un rectangle.
La solution s'obtient toujours de la même manière par un nombre fini de termes.
Si~$v$ s'annule %[** PP: Typo annulle]
sur les quatre plans perpendiculaires à~$xy$, on obtient une solution
du problème bien connu des vibrations d'une membrane plane, fixée dans un cadre
rectangulaire sans avoir besoin de recourir à des séries, mais par des intégrales
définies.

\Paragraph{16.} On peut chercher à étendre les résultats que nous avons indiqués au
cas des équations~(1) à quatre, cinq etc.\ variables. Il suffit pour cela d'envisager
des hyperespaces à $4, 5, \dotsc$ dimensions. Les cônes caractéristiques ont $3, 4 \dotsc$
dimensions. Au lieu des surfaces $\sigma'$, $\sigma''$ il faut envisager des espaces à $3, 4 \dotsc$
dimensions. Tout cela se conçoit très-bien. Mais si l'on passe de trois à quatre
variables on arrive à un résultat inattendu, c'est à dire que les choses au lieu de se
compliquer deviennent à un certain point de vue plus simples. En effet, on %[** PP: Typo ou]
trouve
des formules où la valeur de l'intégrale au sommet du cône dépend seulement des
valeurs de la même fonction et de ses dérivées dans les intersections des cônes
caractéristiques avec les espaces analogues aux surfaces $\sigma'$ et~$\sigma''$. Il n'y a pas
deux formules des types (2) et~(8), mais une seule formule.

En général, le cas de deux variables excepté, les choses se présentent d'une
manière différente si l'on a un nombre pair ou si l'on a un nombre impair de
variables, et le cas le plus simple est celui d'un nombre pair. Tout cela lorsque
les équations ont une forme aussi simple que les équations~(1). Si les équations
avaient, par exemple, des termes de premier ordre la chose changerait.

\Paragraph{17.} Nous n'entrerons pas dans les détails sur ce sujet qui sont très-compliqués.
Nous renvoyons pour cela aux travaux de M.~Tedone, de M.~Coulon, de M.~d'Adhémar
et de M.~Hadamard. Je rapporterai seulement les formules qu'on a
dans le cas de quatre variables et qui ont été données pour la première fois par
Kirchhoff, qui en a déduit avec rigueur le principe de Huyghens.

Écrivons l'équation à quatre variables sous la forme
\[
\tag{19}
\frac{\partial^2 v}{\partial t^2}
  = \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}
  + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2}
  + \frac{\partial^2 v}{\partial z^2}
\]
%% -----File: 063.png---Folio 63-------
et envisageons $x, y, z$ comme les coordonnées des points de l'espace à 3~dimensions.
$t$~peut être envisagée comme une quatrième variable, qui dans les questions
de la physique mathématique est le temps.

$\sigma$~étant le contour de l'espace~$S$ à l'intérieur duquel se trouve un point~$M_1$
de coordonnées $x_1, y_1, z_1$ on a
\[
v(x_1, y_1, z_1, t)
  = \frac{1}{4\pi} \int_\sigma \left\{
    \pderiv{}{n}            \left(\frac{v(x, y, z, t-r)}{r}\right)
  - \frac{\delta}{\delta n} \left(\frac{v(x_1, y_1, z_1, t-r)}{r}\right)
\right\} d\sigma
\]
où $r = \sqrt{(x_1-x)^2 + (y_1-y)^2 + (z_1-z)^2}$, $n$~est la normale interne à la surface~$\sigma$ et
les symboles $\pderiv{f}{n}$ et~$\dfrac{\delta f}{\delta n}$ représentent par rapport à une fonction $f(x, y, z, r)$
\[
\pderiv{f}{n} = \pderiv{f}{r} \pderiv{r}{n},\quad
\frac{\delta f}{\delta n}
  = \pderiv{f}{x} \pderiv{x}{n}
  + \pderiv{f}{y} \pderiv{y}{n}
  + \pderiv{f}{z} \pderiv{z}{n}
\]
en regardant $x, y, z, r$ comme des variables indépendantes. Si la surface~$\sigma$ se
réduit à une sphère ayant pour centre le point~$M_1$, la formule précédente se
particularise et devient l'intégrale générale de l'équation~(19) donnée par Poisson.

\Paragraph{18.} Le succès de la méthode de Kirchhoff est dû à l'emploi des méthodes de
Green et à l'existence de l'intégrale % [** PP: Remove period]
\[
\tag{20}
\frac{f(r ± t)}{r}
\]
de l'équation~(19), où $f$ est une fonction arbitraire. Pour toutes les équations pour
lesquelles existent des intégrales de la même nature, qui n'ont d'autres points
singuliers que $r = 0$, on peut procéder par des méthodes analogues à celles de
Kirchhoff.

Voyons si l'équation à trois variables qu'on peut écrire
\[
\frac{\partial^2 v}{\partial t^2}
  = \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}
  + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2}
\]
possède une intégrale de la forme précédente, c'est à dire de la forme $\THETA f(\rho ± t)$
où $\THETA$ est une quantité indépendante de~$t$,
\[
\rho = \sqrt{(x_1-x)^2 + (y_1-y)^2}
\]
et $f$ est une fonction arbitraire. En posant
\[
x_1 - x = \rho \cos \alpha,\quad
y_1 - y = \rho \sin \alpha
\]
on trouve l'intégrale
%% -----File: 064.png---Folio 64-------
\[
\tag{21}
\frac{A \sin \frac{1}{2} \alpha + B \cos \frac{1}{2} \alpha}{\sqrt{r}}\, f(\rho ± t).
\]

Il paraît donc tout naturel que, même dans ce cas, on puisse employer cette
intégrale en suivant les méthodes de Kirchhoff. Mais il est facile de se persuader
que l'intégrale précédente est polydrome. Or les méthodes de Kirchhoff étant
fondées sur celles de Green, c'est à dire sur le théorème de Gauss, dont nous avons
parlé dans la deuxième leçon, on ne peut pas les employer dans ce cas.

Il faut donc recourir à d'autres méthodes ou à d'autres intégrales dans le
cas de l'équation à trois variables, et cela explique pourquoi les résultats étaient
plus simples et aussi plus faciles à trouver dans le cas de quatre variables que
dans celui de trois variables. C'est pourquoi le cas de 4~variables a été le premier
à être résolu après celui tout à fait élémentaire de deux variables. Nous voyons
quel rôle joue la polydromie des intégrales dans le cas des équations à caractéristiques
réelles par l'exemple très simple que nous avons envisagé.

\Paragraph{19.} Weierstrass a découvert une méthode pour donner l'intégrale générale
des équations et des systèmes d'équations aux dérivées partielles à coefficients
constants. Cette méthode a paru maintenant dans les {\oe}uvres de Weierstrass;
mais dès l'année 1881 il l'avait communiquée à \Mme\ Kowalewski qui chercha à
l'employer pour intégrer les équations des vibrations de la lumière dans les
milieux biréfringents.

Supposons que
\[
\tag{22}
\THETA (u, v, w) = t
\]
soit l'équation d'une surface fermée telle que toute droite qui part de l'origine ne
la rencontre que dans un seul point, et supposons qu'on ait
\[
\THETA (Kx, Ky, Kz) = K \THETA (x, y, z).
\]

Par
\[
\int f(u, v, w)\, d\omega
\]
représentons une intégrale étendue à l'espace renfermé entre deux surfaces~(22)
correspondantes aux valeurs $t_0$ et~$t$ de~$t$, dont la première est constante.

Les formules fondamentales découvertes par Weierstrass sont les suivantes.

Si
\[
\tag{23}
F(x, y, z, t) = D_t \int \phi (u, v, w) f(x + u, y + v, z + w)\, d\omega
\]
on a
%% -----File: 065.png---Folio 65-------
\[
\Lmargintag{24}
\left\{
\begin{aligned}
D_x F &= D^2_t \int \phi \pderiv{\THETA}{u} f(x+u,y+v,z+w)\, d\omega - D_t \int \pderiv{\phi}{u} f(x+u,y+v,z+w)\, d\omega \\
D_y F &= D^2_t \int \phi \pderiv{\THETA}{v} f(x+u,y+v,z+w)\, d\omega - D_t \int \pderiv{\phi}{v} f(x+u,y+v,z+w)\, d\omega \\
D_z F &= D^2_t \int \phi \pderiv{\THETA}{w} f(x+u,y+v,z+w)\, d\omega - D_t \int \pderiv{\phi}{w} f(x+u,y+v,z+w)\, d\omega \\
D_t F &= D^2_t \int \phi f(x+u,y+v,z+w)\, d\omega
\end{aligned}
\right.
\]
où $D_\alpha$ est le symbole de dérivation par rapport à~$\alpha$. On calcule de même les
dérivées successives de~$F$, et l'on tâche de prendre $\THETA$ et~$\phi$ de manière que les
dérivées d'un certain ordre vérifient une relation linéaire à coefficients constants.
On trouve alors une intégrale de l'équation ayant la forme~(23) avec la fonction
arbitraire~$f$. De là on passe à l'intégrale générale. La méthode est analogue
dans le cas des systèmes d'équations différentielles.

Or envisageons la fonction
\[
\psi(u,v,w,t) = \phi(u,v,w) \Phi(t - \THETA)
\]
où $\Phi$ est une fonction arbitraire. On aura les formules suivantes
\[
\tag{$24'$}
\left\{
\begin{aligned}
\pderiv{\psi}{u} &= -\phi \pderiv{\THETA}{u}\, \Phi'(t-\THETA) + \pderiv{\phi}{u}\, \Phi(t-\THETA) \\
\pderiv{\psi}{v} &= -\phi \pderiv{\THETA}{v}\, \Phi'(t-\THETA) + \pderiv{\phi}{v}\, \Phi(t-\THETA) \\
\pderiv{\psi}{w} &= -\phi \pderiv{\THETA}{w}\, \Phi'(t-\THETA) + \pderiv{\phi}{w}\, \Phi(t-\THETA) \\
\pderiv{\psi}{t} &= \phantom{-}\phi \Phi'(t-\THETA).
\end{aligned}
\right.
\]

Comparons les trois premières équations~(24) et les trois premières équations~$(24')$.
Les coefficients de $f$ sous les intégrales des égalités~(24) sont égaux et de
signe contraire aux coefficients de $\Phi$ et~$\Phi'$ dans les égalités~$(24')$. On ne trouve
pas de changement de signe en comparant la dernière des équations~(24) avec la
dernière des équations~$(24')$.

On en déduit bien aisément la propriété suivante. Posons
\[
\frac{\partial^n \psi}{\partial u^{h_1}\, \partial v^{h_2}\, \partial w^{h_3}\, \partial t^{h_4}}
  = \psi_{h_1 h_2 h_3 h_4},\quad
\frac{\partial^n F}{\partial x^{h_1}\, \partial y^{h_2}\, \partial z^{h_3}\, \partial t^{h_4}}
  = F_{h_1 h_2 h_3 h_4}
\]
où $n = h_1 + h_2 + h_3 + h_4$, on aura
%% -----File: 066.png---Folio 66-------
{\small
\begin{gather*}
F_{h_1 h_2 h_3 h_4}
  = D_t^{n+1} \int P_n f(x + u, y + v, z + w)\, d\omega
  + D_t^n \int P_{n-1} f(x + u, y + v, z + w)\, d\omega
\Trail{+\dotsb} \\
+ \dotsb + D_t^{h_4 + 1} \int P_{h_4} f(x + u, y + v, z + w)\, d\omega. \\
\psi_{h_1 h_2 h_3 h_4} = (-1)^{n - h_4}
  \{ P_n \Phi^{(n)} (t - \THETA)
   + P_{n-1} \Phi^{(n-1)} (t - \THETA) + \dotsb
   + P_{h_4} \Phi^{(h_4)} (t - \THETA)\}
\end{gather*}
}% End of \small
et par suite si l'équation différentielle à coefficients constants
\[
\tag{25}
\sum A_{h_1 h_2 h_3 h_4}
  \frac{\partial^n V}
       {\partial x^{h_1}\, \partial y^{h_2}\, \partial z^{h_3}\, \partial t^{h_4}}
  = 0
\]
possède une intégrale
\[
\tag{26}
F(x\, y\, z\, t) %[** PP: no commas]
  = D_t \int \phi (u, v, w)\, f(x + u, y + v, z+ w)\, d\omega
\]
$f$ étant une fonction arbitraire, l'équation
\[
\tag{$25'$}
\sum (-1)^{n - h_4} A_{h_1 h_2 h_3 h_4}\,
  \frac{\partial^n V}
       {\partial u^{h_1}\, \partial v^{h_2}\, \partial w^{h_3}\,
        \partial t^{h_4}} % [** PP: Changed dt to \partial t]
  = 0
\]
aura l'intégrale
\[
\tag{$26'$}
\psi(u\, v\, w\, t) = \phi(u\, v\, w)\, \Phi (t - \THETA) %[** PP: no commas]
\]
où $\Phi$ est une fonction arbitraire. %[** PP: Typo arbitaire]
Réciproquement si l'équation~$(25')$ possède l'intégrale~$(26')$,
$\Phi$~étant une fonction arbitraire, l'équation~(25) aura l'intégrale~(26).

L'intégrale~$(26')$ a la forme de l'intégrale~(20), c'est pourquoi en comptant sur
les singularités de~$\phi$ pour $u = v = w = 0$, on peut passer de la méthode de Weierstrass
à celle de Kirchhoff, c'est à dire des intégrales générales du type Poisson
à des formules qui les comprennent.

Le même résultat peut s'établir pour les systèmes d'équations différentielles.

Je possédais en 1892 ce théorème lorsque j'étudiais le mémoire de \Mme\ Kowalewski
sur la propagation de la lumière dans les cristaux. Puisqu'elle avait cru
obtenir par la méthode de Weierstrass les intégrales générales des équations de
l'optique, je croyais posséder la méthode pour parvenir aux formules analogues
à celles de Kirchhoff et pour pouvoir établir le principe de Huyghens pour les milieux
biréfringents. Mais l'emploi de la méthode conduisait à des résultats paradoxaux.
D'où provenaient-ils? En voici la raison. Les fonctions qui dans ce cas
remplacent $\phi$ dans les formules sont des fonctions polydromes du même genre
que la fonction polydrome que nous avons trouvée dans le §~18. Il n'était pas % [** Xref]
facile de s'en apercevoir, car ces fonctions sont très compliquées, et elles avaient
été étudiées depuis Lamé sans que cette propriété ressortît. C'est pourquoi ni
la méthode de Weierstrass ni celle de Kirchhoff n'étaient applicables et les
formules de \Mme\ Kowalewski ne donnaient pas les intégrales de l'optique. Voilà
encore une fois que le rôle des fonctions polydromes ressort dans cette question
d'analyse et de physique mathématique.
%% -----File: 067.png---Folio 67-------

\begin{Bibliographie}

\Bibitem{Kirchhoff.}{Zur Theorie der Lichtstrahlen (Sitzb.\ d.\ %[**P2:space inserted]
Ak.\ d.\ Wiss.,\ Berlin 1882).}

\Bibitem{Kowalewski.}{Ueber die Brechung des Lichtes in cristallinischen Mitteln. Acta
Math.\ 1885.}

\Bibitem{Weierstrass.}{Werke. Bd.~I.} % [** PP: Changed Bd to Bd.]

\Bibitem{Volterra.}{Sul principio di Huyghens. Nuovo Cimento 1893.}

\Bibitem{\sameauthor.}{Sulle onde cilindriche dei mezzi isotropi. Rend.\ Acc.\ Lincei 1892.}

%[** PP: Changed luminare to luminose]
\Bibitem{\sameauthor.}{Sulle vibrazioni luminose nei mezzi isotropi. Ibid.}

\Bibitem{\sameauthor.}{Sulle vibrazioni dei corpi elastici. Ibid.\ 1893.}

%[** PP: Changed integrazione to integrazioni, equzioni to equazioni]
\Bibitem{\sameauthor.}{Sulle integrazioni delle equazioni differenziali del moto di un corpo elastico
isotropo. Ibid.\ 1893.}

\Bibitem{\sameauthor.}{Sur les vibrations dans les milieux biréfringents. Acta Math.\ 1892.}

\Bibitem{\sameauthor.}{Sur les vibrations des corps élastiques isotropes. Ibid.\ 1894.}

% [** PP: Changed II to II^e]
\Bibitem{\sameauthor.}{Sur les équations aux dérivées partielles. \Ord{II}{e} congrès des mathématiciens
1900.}

\Bibitem{\sameauthor.}{Note on the application of the method of images to problems of vibrations.
London Math.\ Soc.\ 1904.}

%[** PP: Changed
% Sulle dimostr.\ delle formula che rappresenta analiticamento il principio di Huyghens to
% Sulla dimostr.\ della formola che rappresenta analiticamente il principio di Huyghens]
\Bibitem{Tedone.}{Sulla dimostr.\ della formola che rappresenta analiticamente il principio
di Huyghens. Rend.\ Acc.\ Lincei 1896.}

\Bibitem{\sameauthor.}{Sulle vibrazioni dei corpi elastici. Ibid.}

% [** PP: Removed space after apostrophe]
\Bibitem{\sameauthor.}{Sull' int.\ dell'equazione
$\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial x^2} - \sum_1^m \frac{\partial \phi}{\partial x_i^2} = 0$. Annali di Mat.\ 1898.}

%[** PP: Changed sisteme to sistema]
\Bibitem{\sameauthor.}{Su di un sistema generale di equazioni che si può integrare col metodo delle
caratteristiche. Ibid.}

\Bibitem{Coulon.}{Sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du second ordre
par la méthode des caractéristiques. Thèse 1902.}

\Bibitem{d'Adhémar.}{Sur une classe d'équations aux dérivées partielles du second ordre,
du type hyperbolique à 3 ou 4~variables indépendantes. Thèse 1904.}

%[** PP: Changed hydrodinamique to hydrodynamique].
\Bibitem{Hadamard.}{Leçons sur la propagation des ondes et les équations de l'hydrodynamique.
Paris 1903.}

%[** PP: Changed Ecole to École]
\Bibitem{\sameauthor.}{Recherches sur les solutions fondamentales et l'intégration des équations
linéaires aux dérivées partielles. Ann.\ de l'École normale de Paris 1903--1905.}

\end{Bibliographie}
%% -----File: 068.png---Folio 68-------


\Chapter{\Ord{10}{ième} leçon.}

\Paragraph{1.} Nous avons jusqu'à présent examiné quelques équations du type elliptique
et du type hyperbolique. Nous parvenons maintenant aux équations du type
parabolique.

L'équation de la propagation de la chaleur appartient à ce type. Fourier,
Poisson, Laplace, pour ne citer que les plus anciens, ont consacré de profondes
études à cette équation. Tout le monde sait que les méthodes introduites par
Fourier sont devenues classiques et ont formé le point de départ, la base et le
modèle de bien des recherches de l'analyse et de la physique mathématique.

Plus récemment on a introduit dans la théorie de la propagation de la chaleur
des méthodes qui se rattachent à celles de Green. Betti a consacré un très beau
mémoire à cette étude, sans cependant recourir à la notion des caractéristiques.
Appell et Boussinesq ont profondément examiné par des concepts plus modernes
encore, bien des questions qui s'y rapportent.

Mais à mon avis pour les équations du type parabolique on n'est pas si avancé
que pour les équations des autres types que nous avons examinées dans les leçons
précédentes.

\Paragraph{2.} Nous allons envisager l'équation la plus simple possible
\[
\tag{1}
\pderiv{u}{t} = \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}.
\]

Le rôle des deux variables $t$ et~$z$ est très-différent, ce qu'on comprend dès
le premier abord, car l'équation différentielle est de premier ordre par rapport à~$t$
et de deuxième ordre par rapport à~$z$.

Poisson a bien mis en lumière ce fait par un résultat sur lequel il a insisté
beaucoup en y revenant plusieurs fois dans ses différents ouvrages.

Nous allons l'exposer en empruntant à peu près les termes de son livre sur
la théorie mathématique de la chaleur.

Si nous essayons de développer $u$ dans une série de puissances de~$t-h$, $h$
étant une quantité constante, nous trouvons, en calculant de proche en proche les
coefficients,
\[
\tag{2}
u = \phi(z) + (t-h) \frac{d^2 \phi}{dz^2}
  + \frac{1}{2}  (t-h)^2 \frac{d^4 \phi}{dz^4} + \dotsb
  + \frac{1}{n!} (t-h)^n \frac{d^{2n} \phi}{dz^{2n}} + \dotsb
\]
%% -----File: 069.png---Folio 69-------
où $\phi$ représente une fonction arbitraire. Si l'on fait $t = h$, on a
\[
u = \phi(z).
\]
$\phi(z)$ est donc la fonction à laquelle se réduit~$u$ pour $t = h$. Au contraire si nous
développons $u$ par les puissances de~$z-k$, on trouvera par la même méthode
\[
\tag{3}
\left\{
\begin{aligned}
u &= \psi(t) + \frac{(z-k)^2}{2!} \frac{d \psi}{dt}
   + \frac{(z-k)^4}{4!} \frac{d^2 \psi}{dt^2} + \dotsb
 % [** PP: Added + before next term, changed 2n! to (2n)!]
   + \frac{(z-k)^{2n}}{(2n)!} \frac{d^n \psi}{dt^n} + \dotsb \\
%%
  &\quad+ (z-k) \Psi(t) + \frac{(z-k)^3}{3!} \frac{d \Psi}{dt} + \dotsb
   + \frac{(z-k)^{2n+1}}{(2n+1)!} \frac{d^n \Psi}{dt^n} + \dotsb
\end{aligned}
\right.
\]
où $\psi(t)$ et~$\Psi(t)$ sont des fonctions arbitraires.

En faisant $z = k$ on trouve
\[
u = \psi(t),\quad \pderiv{u}{t} = \Psi(t);
\]
donc $\psi(t)$ et~$\Psi(t)$ représentent les valeurs de~$u$ et $\pderiv{u}{t}$ pour $z = k$.

Or il est facile de prouver que la même intégrale peut se mettre sous la
forme~(2) ou la forme~(3). Il suffit pour cela de développer~$\phi(z)$ dans une série
de puissances de~$z-k$ et~$\psi(t)$ et~$\Psi(t)$ en des séries de puissances de~$t-h$.

En posant
\begin{align*}
\phi(z) &= a_0 + a_1 (z-k) + \frac{a_2}{1\cdot2} (z-k)^2
   + \dotsb + \frac{a_n}{n!} (z-k)^n + \dotsb \\
\intertext{on trouvera en comparant les coefficients dans les formules (2) et~(3)}
\psi(t) &= a_0 + a_2 (t-h) + \frac{a_4}{2!} (t-h)^2
   + \dotsb + \frac{a_{2n}}{n!} (t-h)^n + \dotsb \\
\Psi(t) &= a_1 + a_3 (t-h) + \frac{a_5}{2!} (t-h)^2
   + \dotsb + \frac{a_{2n+1}}{n!} (t-h)^n + \dotsb. % [** PP: Added period]
\end{align*}

On voit donc que la même intégrale peut s'écrire avec une ou avec deux
fonctions arbitraires de deux manières complètement équivalentes.

Poisson a ensuite transformé les deux intégrales en les exprimant par des
intégrales définies. Il écrit l'intégrale~(2) sous la forme
%% -----File: 070.png---Folio 70-------
\[
\tag{$2'$}
u(z,t) = \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int \phi(\xi)\,
         \frac{e^{-\smfrac{(\xi - z)^2}{4(t - h)}}}{\sqrt{t - h}}\, d\xi
\]
et l'intégrale~(3) sous la forme
\begin{align*}
u(z,t) &= \gamma \int_{-\infty}^\infty
    \psi \left( t + \frac{(z - k)^2}{4(c + i\xi)} \right)\,
      \frac{e^{i\xi}\, d\xi}{\sqrt{c + i\xi}}
\tag{$3'$}
\Trail{+} \\
%
  &\quad+ \frac{1}{2} \gamma(z - k) \int_{-\infty}^\infty
    \Psi \left( t + \frac{(z - k)^2}{4(c + i\xi)} \right)\,
     \frac{e^{i\xi}\, d\xi}{\sqrt{(c + i\xi)^3}}\;,
\end{align*}
où
\[
\frac{1}{\gamma}
  = \int_{-\infty}^\infty \frac{e^{i\xi}\, d\xi}{\sqrt{c + i\xi}}\;,
\]
$c$ étant une constante réelle qui n'est pas nulle.

Après Poisson, Schlaefli est revenu là dessus en exprimant les mêmes intégrales
sous des formes différentes dans un très beau mémoire inséré dans le T.~72
du Journal de Crelle.

\Paragraph{3.} Cela posé voyons ce qu'on peut tirer des méthodes qui ont été les
plus puissantes dans le cas des équations que nous avons envisagées dans les
leçons précédentes. Il est évident que ces méthodes sont celles de Green, mais
où l'on introduit la notion des caractéristiques par les méthodes de Riemann. %[** PP: Added period]

Il n'y a pas de difficultés à procéder par une voie tout à fait analogue
dans notre cas.

On peut évidemment commencer par envisager une équation plus générale
que l'équation~(1), c'est à dire
\[
\tag{$1'$}
\frac{\partial^2 u}{\partial z^2} - \pderiv{u}{t} = f(z,t). %[** PP: Added period]
\]

Les caractéristiques de l'équation~$(1')$ sont des lignes parallèles à l'axe~$z$
(voir la \hyperref[section:8.5]{leçon~\Ord{8}{ième} §~5}). % [** Xref]

%[Illustration]
\begin{wrapfigure}{l}{2in}
\Input{070a}{2in}
\end{wrapfigure}
Prenons la direction de l'axe~$t$ de la gauche
à la droite. Alors chaque caractéristique partage
le plan en deux domaines qu'on peut appeler le
domaine de gauche et celui de droite.

Il est facile de démontrer le théorème:

\textit{% [**** Not \begin{Theorem}; must accommodate illustration]
Soit $s$ une courbe ouverte dont les deux bouts $A, B$
se trouvent sur une caractéristique, et qui renferme avec
cette caractéristique une aire~$\sigma$ située à gauche de celle-ci.
Si nous connaissons $u$ sur~$s$ et~$f(z, t)$ à l'intérieur
de l'aire~$\sigma$, $u$~sera déterminée dans tous les points de~$\sigma$.
}%\end{Theorem}
%% -----File: 071.png---Folio 71-------

La démonstration est très-simple et du même type des démonstrations des
théorèmes analogues qu'on a dans les autres théories. En effet, si $u_1$ et~$u_2$ sont
des fonctions qui vérifient l'équation~$(1')$ et qui prennent les mêmes valeurs sur~$s$, %[** PP: Changed . to ,]
on calcule leur différence $u_3 = u_1 - u_2$ qui vérifiera l'équation~$(1)$ et qui sera
nulle sur~$s$.

Par les transformations bien connues des intégrales on tire de là que
\[
0 = \int_\sigma u_3
    \left(\frac{\partial^2 u_3}{\partial z^2}
          - \pderiv{u_3}{t}\right) d\sigma
  = - \frac{1}{2} \int_l u_3^2\, dl
    - \int_\sigma \left(\pderiv{u_3}{z}\right)^2 d\sigma
\]
où $l$ est la partie de la caractéristique comprise entre les points $A, B$.

C'est pourquoi $u_3$ sera nulle dans l'aire~$\sigma$ et par suite $u_1 = u_2$. Donc il n'y a %[** PP: Added a]
pas deux fonctions différentes qui satisfont aux conditions que nous avons posées,
et on a par là la démonstration du théorème que nous avons énoncé.

Il faut maintenant remarquer que les raisonnements que nous venons de faire
ne pourraient pas être répétés si l'on supposait que la courbe~$s$ était à droite de la
ligne caractéristique, et par suite il n'y a pas une symétrie des propriétés des
intégrales de l'équation différentielle des deux côtés de chaque caractéristique,
comme d'autre part il était facile de prévoir.

\Paragraph{4.} On peut donner une formule tout à fait analogue à la formule de Green
en envisageant avec l'équation~$(1')$ son adjointe
\[
\tag{4}
\frac{\partial^2 v}{\partial z^2} + \pderiv{v}{t} = g(z, t).
\]

Alors on trouve
\[
\tag{5}
- \int_\sigma (vf - ug)\, d\sigma
  = \int_s \left[\left(v \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v}{z}\right) \cos nz - uv \cos nt\right] ds
  + \int_l uv\, dl,
\]
$n$ étant la normale à la ligne~$s$ dirigée vers l'intérieur
de~$\sigma$.

%[Illustration]
\begin{wrapfigure}[10]{r}{2in}
\raisebox{0.125in}[1.75in][0pt]{\Input{071a}{2in}}% [**** Explicit height]
\end{wrapfigure}
Or la fonction qui joue le rôle principal dans
cette théorie est, comme il est bien connu, l'intégrale
suivante de l'équation~(4) où l'on suppose $g = 0$
\[
v = \frac{1}{2 \sqrt{\pi} \sqrt{t_1 - t}} e^{-\smfrac{(z-z_1)^2}{4(t_1-t)}},
\]
$t_1 > t$ et~$z_1$ étant des valeurs constantes. Le radical
est supposé positif. Prenons le point~$M_1$ de coordonnées
%% -----File: 072.png---Folio 72-------
$t_1\, z_1$ à droite de la caractéristique~$l$. Remplaçons cette valeur de~$v$ dans
l'équation où l'on suppose $g = 0$, puis faisons approcher~$M_1$ de la ligne caractéristique.

A ce point il faut rappeler un théorème bien connu d'analyse. $F(z)$ étant
une fonction continue et finie et $z'' > z'$ on a
\[
\tag{I}
\lim_{t_1=t} \int_{z'}^{z''}
  \frac{1}{\sqrt{t_1 - t}} e^{-\smfrac{(z-z_1)^2}{4(t_1-t)}} F(z)\, dz
  = \begin{cases}
    F(z_1) 2\sqrt{\pi} \\
    0
    \end{cases}\!\!\!\!\!\!. % [** PP: Explicit horizontal space]
\]

Il faut prendre le second membre égal à $2\sqrt{\pi} F(z_1)$ si~$z_1$ est comprise entre
$z'$ et~$z''$, et il faut le prendre égal~$0$ si $z_1$ n'est pas comprise entre les valeurs $z'$ et~$z''$.

On suppose que le radical qui paraît sous l'intégrale soit positif. S'il était
négatif le second membre changerait de signe.

Deux cas pourront donc se présenter. Si le point~$M_1$ s'approche d'un point~$M'$
compris entre $A$ et~$B$ on aura
\[
\lim \int_l uv\, dl
\]
égale à la valeur de la fonction~$u$ dans le point~$M'$. Si au contraire il s'approche
d'un point~$M''$ qui n'est pas compris entre $A$ et~$B$ la même limite est nulle.

On tire de là les deux formules suivantes
\begin{align*}
& -\frac{1}{2\sqrt{\pi}}
   \int_s \frac{e^{-\smfrac{(z_1-z)^2}{4(t_1-t)}}}{\sqrt{t_1-t}}
     \left\{\left[\pderiv{u}{z} - u \frac{z_1-z}{2(t_1-t)}\right]
                \cos nz - u \cos nt\right\}ds
\Trail{-} \\
%
& -\frac{1}{2\sqrt{\pi}}
   \int_\sigma \frac{e^{-\smfrac{(z_1-z)^2}{4(t_1-t)}}}
                   {\sqrt{t_1-t}} f\, d\sigma
  = \left\{\begin{matrix}
      u(z_1\, t_1) \\[2ex] %[** PP: Height must match \tag* below]
      0
    \end{matrix}\right\}
\tag*{$\begin{matrix}(6) \\[2ex] (6')\end{matrix}$}
\end{align*}
où $t = t_1$ est l'équation de la caractéristique~$l$. Le
premier cas se présente lorsque le point $z_1\, t_1$ est
compris entre $A$ et~$B$ et le second cas lorsqu'il est
externe.

Dans cette formule, comme dans toutes les formules
analogues que l'on trouve par les procédés de
Green (Cf.\ le \hyperref[section:8.3]{§~3 de la \Ord{8}{ième}~leçon}), la valeur de l'intégrale % [** Xref]
au point $z_1\, t_1$ est donnée par les valeurs de l'intégrale
même et de ses dérivées sur la ligne~$s$. Or,
comme nous avons vu (§~3), il est nécessaire de connaître
%% -----File: 073.png---Folio 73-------
les seules valeurs de~$u$ sur~$l$ pour la déterminer
dans~$\sigma$, c'est pourquoi il y a dans la formule précédente
la quantité $\pderiv{u}{z}$ qu'il faut éliminer. Elle s'élimine
d'elle-même sur toute partie $CD$ de la ligne~$s$
qui est un segment de droite parallèle à l'axe~$z$,
car sur $CD$ on a $\cos nz = 0$. Ainsi, si les points
$A, B$ s'éloignent indéfiniment dans la direction positive
et négative de~$z$ de manière que la ligne~$s$
devienne la parallèle $t = h$ à l'axe~$z$, la quantité
$\pderiv{u}{z}$ est complètement éliminée.
\begin{center}
\Input{072a}{1.75in}\hfil\Input{073a}{1.75in}
\end{center}

Alors si nous posons dans la formule~(6) $f = 0$ elle devient la formule~$(2')$ de
Poisson. En effet elle exprime la valeur de~$u$ par les valeurs de cette intégrale
pour $t = h$.

%[Illustrations]
\begin{center}
\Input{073b}{2in}\hfil\Input{073c}{2.75in}
\end{center}

\Paragraph{5.} Les valeurs de $\pderiv{u}{z}$ sur~$s$ peuvent s'éliminer aussi en d'autres cas. Nous
allons démontrer qu'elles peuvent s'éliminer sur toute partie $CD$ de~$s$ qui est un
segment de ligne droite telle que toute l'aire~$\sigma$ est située d'un côté %[** PP: Typo coté]
de cette droite.
Prenons en effet le point~$M''$ symétrique du point~$M'$ par rapport au point~$E$.
$M'$~étant interne au segment $AB$, $M''$~sera externe. C'est pourquoi, si $z_1\, t_1$ sont
les coordonnées de~$M'$ et $z_2\, t_1$ celles de~$M''$, en remplaçant dans la formule~(6) $z_1$
par $z_2$ on passe à la formule~$(6')$.

Le premier membre peut se décomposer en deux parties, l'intégrale qui est
étendue à $CD$ et toute la partie résiduelle. En appelant~$I$ cette dernière, on aura % [** PP: Put "I" in math mode]
%% -----File: 074.png---Folio 74-------
\begin{align*}
I' - \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int_{CD}
  \frac{e^{-\smfrac{(z_1-z)^2}{4(t_1-t)}}}{\sqrt{t_1-t}}
  \left\{ \left[ \pderiv{u}{z} - u \frac{z_1-z}{2(t_1-t)} \right] \cos nz - u \cos nt \right\} ds &= u(z_1\, t_1) \\
%
I'' - \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int_{CD}
  \frac{e^{-\smfrac{(z_2-z)^2}{4(t_1-t)}}}{\sqrt{t_1-t}}
  \left\{ \left[ \pderiv{u}{z} - u \frac{z_2-z}{2(t_1-t)} \right] \cos nz - u \cos nt \right\} ds &= 0
\end{align*}
où $I'$ et~$I''$ sont les valeurs de $I$ si l'on se rapporte respectivement aux points $M'$
et~$M''$. Ajoutons la première équation à la seconde après avoir multiplié celle-ci
par une quantité constante~$-e^c$. Le second membre sera $u(z_1\, t_1)$ et dans le premier
membre le coefficient de $\pderiv{u}{z}$ sous l'intégrale deviendra
\[
\biggl( e^{-\smfrac{(z_1-z)^2}{4(t_1-t)}}
      - e^{-\smfrac{(z_2-z)^2}{4(t_1-t)} + c} \biggr) \frac{\cos nz}{\sqrt{t_1-t}}\, ds.
\]

Pour éliminer $\pderiv{u}{z}$ le long de l'intégrale étendue à $CD$ il suffit d'annuler ce
coefficient. Posons donc
\[
  \frac{(z_1-z)^2}{4(t_1-t)}
= \frac{(z_2-z)^2}{4(t_1-t)} - c.
\]
On tire de là en appelant~$z_e$ la coordonnée du point $E$ et~$h$ la longueur~$M'M''$
\[
\frac{z_e - z}{t_1 - t} = \frac{2c}{h}.
\]
Mais la droite $CD$ passe par le point~$E$; c'est pourquoi son équation est
\[
\frac{z_e - z}{t_1 - t} = \alpha,
\]
$\alpha$ étant une quantité constante.

Il suffit donc de prendre
\[
c = \frac{h\alpha}{2}
\]
pour faire l'élimination de $\pderiv{u}{z}$.

%%[Illustration]
% [**** Explicit height; illus on next page in original]
\begin{wrapfigure}[10]{r}{2.5in}
\raisebox{0.25in}[2in][0pt]{\Input{075a}{2.25in}}
\end{wrapfigure}
La méthode qu'on a suivie est bien une méthode des images, car on peut appeler
le point~$M''$ l'image du point~$M'$ par rapport au point~$E$.

Si la ligne~$s$ est formée de plusieurs droites on peut appliquer dans certains
cas le principe des images successives pour éliminer $\pderiv{u}{z}$ sur toute la ligne~$s$.
%% -----File: 075.png---Folio 75-------

%[Illustration]
Soit $s$ formée par trois droites $AC$,
$CD$, $DB$ dont $CD$ est parallèle à~$z$, alors
la méthode peut servir pour tout point $M'$
d'une manière très simple. L'on trouve dans
ce cas un nombre infini d'images.

\Paragraph{6.} Ce que nous avons exposé jusqu'ici
nous prouve qu'une méthode tout à fait analogue
à celle qu'on emploie dans le cas des
équations du type hyperbolique peut être
aussi employée dans celui des équations du
type parabolique, en tenant compte des lignes
caractéristiques.

Cependant nous pouvons bien facilement
nous convaincre que par cette méthode on n'épuise pas les propriétés les plus importantes
de l'équation~$(1')$, et que la méthode même est impuissante à nous en
dévoiler les plus cachées.

En effet nous avons montré dès le \Ord{2}{ième}~§ le résultat obtenu par Poisson,
c'est à dire que l'intégrale générale de l'équation~(1) peut s'exprimer par une fonction
arbitraire ou par deux fonctions arbitraires. Or la formule~(6) peut nous
conduire à l'intégrale~(2), comme nous avons déjà vu, mais elle ne nous amène pas
à l'intégrale~(3). Même en tâchant de faire coïncider la ligne~$s$ avec l'axe des~$z$
on n'arrive pas à cette formule.

On serait conduit à cette conclusion, que les équations du type parabolique
n'offrent pas de prise aux méthodes modernes d'une manière complète, et que
par exemple les anciennes méthodes de Poisson nous disent davantage. Il
semble donc que les méthodes modernes peuvent nous donner l'explication d'un
grand nombre de faits, mais tous les faits connus semblent ne pas ressortir d'elles.

Malgré cela nous allons voir que cette impuissance n'est qu'apparente et que
nous pouvons réunir dans un ensemble unique tous les faits et par une seule formule
embrasser toutes les formules connues. Pour rejoindre le but il n'y a qu'à
aborder les nouvelles méthodes avec une conception nouvelle, c'est à dire en les
étendant aux variables complexes, ce qu'on n'avait pas fait jusqu'à présent. L'équation~$(1')$
se prête avec beaucoup de facilité à cette généralisation, car elle n'a que
deux variables $z$ et~$t$, et si nous posons $t = x + iy$ en regardant $x, y, z$ comme les
coordonnées des points de l'espace, on pourra se servir des images géométriques
dans un domaine à trois dimensions.

Envisageons une fois encore la fonction qui joue le rôle principal dans ces
recherches, c'est à dire
%% -----File: 076.png---Folio 76-------
\[
\tag{7}
\frac{e^{-\smfrac{(z_1 - z)^2}{4(t_1 - t)}}}{\sqrt{t_1 - t}}.
\]
Nous verrons dans la leçon suivante que c'est la polydromie de cette fonction
qui a l'importance la plus grande dans tous les résultats que nous allons obtenir.
Cette fonction est en effet polydrome par rapport à la variable~$t$. Or cette polydromie
ne peut pas ressortir si on n'envisage pas $t$ comme une variable complexe.
C'est pourquoi toute la théorie que nous avons développée qui était bâtie en dehors
de cette propriété était justement incomplète.


\Chapter{\Ord{11}{ième} leçon.}

\Paragraph{7.} La première question qui se pose est de voir si l'on peut étendre dans
les intégrales de l'équation~$(1')$ la variabilité de~$t$, c'est à dire si l'on peut la regarder
comme un nombre complexe. A cet effet considérons les intégrales de
l'équation~(1) qui est plus simple que l'autre. Il est facile de démontrer, et d'autre
part la chose est connue, qu'elles ne sont pas en général des fonctions analytiques
de~$t$.

Pour s'en persuader d'une manière tout à fait élémentaire prenons la fonction
\[
u(z, t) = z \int_0^t \phi(\xi) e^{-\smfrac{z^2}{4(t - \xi)}}\, (t - \xi)^{-\frac{3}{2}}\, d\xi
\]
%[Illustration]
\begin{wrapfigure}{l}{2.75in}
\Input{076a}{2.5in}
\end{wrapfigure}
où $\phi(\xi)$ est une fonction finie et intégrable.
Si $\phi(\xi)$ est définie dans le domaine $(0\, a)$ on % [** PP: Typo (o a)]
voit aisément que $u(z, t)$ est définie pour toutes
les valeurs positives de~$z$ à l'intérieur de la
bande $\Sigma_1$ limitée par l'axe~$t$, l'axe~$z$ et la
droite $t = a$.

On vérifie qu'à l'intérieur de ce domaine
$u(z, t)$ est une fonction continue, que les dérivées
$\dfrac{\partial^2 u}{\partial z^2}$ et $\pderiv{u}{t}$ sont déterminées et que l'on a
\[
\tag{1}
\frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = \pderiv{u}{t}.
\]
%% -----File: 077.png---Folio 77-------

Cela posé, si nous prolongeons $\phi(\xi)$ entre $a$ et~$2a$, alors $u(z, t)$ pourra se
prolonger à l'intérieur de la bande $\Sigma_2$ comprise entre l'axe~$t$ et les droites $t = a$,
$t = 2a$.

Dans le domaine formé par l'ensemble des points internes aux bandes $\Sigma_1$ et $\Sigma_2$
$u(z,t)$ sera continue et vérifiera l'équation~(1). Mais puisque le prolongement de
$\phi(\xi)$ peut se faire avec la seule condition qu'elle soit finie et intégrable et que
d'autre part elle est tout à fait arbitraire, il s'en suit que les valeurs de $u$ en $\Sigma_2$
pourront être changées, celles en $\Sigma_1$ restant toujours les mêmes.

Si par exemple nous prenons d'abord $\phi(\xi) = 0$ dans l'intervalle $(a, 2a)$ et
après $\phi(\xi) = 1$, les valeurs de $u(z, t)$ en $\Sigma_2$ seront changées. Cela prouve que
$u(z, t)$ n'est pas en général une fonction analytique de~$t$.

\Paragraph{8.} Il faudra donc poser comme une condition nouvelle que l'intégrale de
l'équation~(1) soit une fonction analytique de~$t$, et de même si nous envisageons
l'équation~$(1')$, il faudra poser deux conditions, c'est à dire que $f$ et $u$ soient des
fonctions analytiques de $t = x + iy$.

Supposons aussi, en ayant égard à l'équation adjointe~(4), que $g$ et $v$ soient
des fonctions analytiques de $t = x + iy$.

Nous écrirons alors
\begin{align*}
u(z, t) &= u(x, y, z) &   f(z, t) &= f(x, y, z) \\
v(z, t) &= v(x, y, z) &   g(z, t) &= g(x, y, z)
\end{align*}
et l'on regardera $x, y, z$ comme les coordonnées
des points de l'espace. Il est évident
que $u, v, f, g$ seront en général des quantités
complexes et on aura
\[
\tag{8}
\pderiv{u}{t} = \pderiv{u}{x} = -i \pderiv{u}{y},\quad
\pderiv{v}{t} = \pderiv{v}{x} = -i \pderiv{v}{y}.
\]
%[Illustration]
\begin{wrapfigure}{r}{2.25in}
\Input{077a}{2in}
\end{wrapfigure}

Posons
\[
X =        v \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v}{z},\quad
Y = i\left(v \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v}{z}\right),\quad
Z = uv
\]
et, en prenant une surface $\sigma$ ayant deux
faces distinctes et pour contour la ligne~$s$,
appliquons le théorème de Stokes (\hyperref[section:2.2]{\Ord{2}{ième}~leçon §~2}) en supposant que toutes les % [** Xref]
quantités précédentes soient finies, continues et monodromes sur la surface~$\sigma$.

On aura
%% -----File: 078.png---Folio 78-------
\[
\Lmargintag{9}
\left\{
\begin{gathered}
\int_\sigma \left\{
   \left(\pderiv{Z}{y} - \pderiv{Y}{z}\right) \cos nx
 + \left(\pderiv{X}{z} - \pderiv{Z}{x}\right) \cos ny
 + \left(\pderiv{Y}{x} - \pderiv{X}{y}\right) \cos nz \right\} d\sigma \\
= \int_s ( X\, dx + Y\, dy + Z\, dz ).
\end{gathered}
\right.
\]

Or on a bien aisément en vertu des relations~(8) et des équations $(1')$ et~(4)
\begin{align*}
%[** PP: Changed d to \partial in denominator of first term]
\pderiv{Z}{y} - \pderiv{Y}{z} &= - ivf + iug \\
\pderiv{X}{z} - \pderiv{Z}{x} &= \phantom{-}vf - ug \\
\pderiv{Y}{x} - \pderiv{X}{y} &= 0;
\end{align*}
par suite l'égalité~(9) deviendra
\[
\frac{1}{i} \int_\sigma (vf - ug) (\cos nx + i \cos ny)\, d\sigma
 = \int_s \left[ \left( v \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v}{z} \right) (dx + i dy) + uv\, dz \right],
\]
c'est à dire
\[
\tag{10}
\frac{1}{i} \int_\sigma (vf - ug) \pderiv{t}{n}\, d\sigma
  = \int_s \left[
    \left( v \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v}{z} \right) dt + uv\, dz
  \right]. %[** PP: Added period]
\]

\Paragraph{9.} Cela posé supposons que dans tout le domaine à trois dimensions que
nous envisageons $u$, $f$ soient finies, continues et monodromes. Prenons
\[
\tag{11}
v = \frac{e^{-\smfrac{(z - z_1)^2}{4(t_0 - t)}}}{\sqrt{t_0 - t}},\quad g = 0
% [** PP: comma?]
\]
étant $t_0 = x_0 + iy_0$.

%[Illustration]
\begin{wrapfigure}[13]{l}{3in} % [**** Explicit height]
\raisebox{0.25in}[2.5in][0pt]{\Input{078a}{2.75in}}
\end{wrapfigure}
Si la droite $x = x_0$, $y = y_0$ rencontre
la surface $\sigma$, la formule~(10) n'est pas
applicable, car pour $x = x_0$, $y = y_0$ la fonction
$v$ a une singularité. Mais elle n'est
pas applicable en d'autres cas où la même
droite ne rencontre pas la surface. En
effet supposons que la surface soit limitée
par deux lignes, et qu'en conséquence le contour
$s$ soit formé de deux parties, et supposons
aussi que la droite $x = x_0$, $y = y_0$ passe
au milieu du bord interne de la surface, et que par suite on puisse parcourir sur la
%% -----File: 079.png---Folio 79-------
surface un cycle fermé $c$ autour de
la droite. Même dans ce cas la formule
ne sera pas applicable, car $v$ sera
polydrome sur la surface à cause du
radical qui paraît dans le dénominateur.
En parcourant le cycle $c$ et en
prenant les valeurs de $v$ qui se suivent
avec continuité on reviendra au
point de départ avec la valeur initiale
changée de signe.

%[Illustrations]
Donc la formule~(10) n'est applicable,
en prenant $v$ donné par
la formule~(11), que si aucun cycle
fermé sur la surface %[** PP: Typo surtace]
n'entoure la
droite $x = x_0$, $y = y_0$ et si en même
temps cette droite ne rencontre pas
la surface.

Le contour étant formé par une
seule ligne continue et fermée, il suffit
évidemment de la seconde condition,
pour que la première soit aussi
satisfaite.

% [** PP: Changed x=t_1 in figure labels to x=x_1]
\begin{wrapfigure}[36]{r}{2.5in}
\Input{079a}{2.5in}\\[0.125in]
\Input{079b}{2.5in}\\[0.125in]
\Input{079c}{2.5in}
\end{wrapfigure}
\Paragraph{10.} Prenons maintenant (fig.~$a$)
un contour~$s$ formé par une seule ligne
continue, constituée par la courbe
$MNP$ et par la courbe $M'N'P'$ reliées
entre elles par les droites $PP'$
et $MM'$ parallèles à l'axe~$z$.

La ligne $MNPP'N'M'M$ sera
une ligne continue. Les flèches indiquent
comment il faut la parcourir.
Supposons que nous menions une surface
$\sigma$ ayant pour contour cette ligne, et
ensuite faisons approcher les deux
bords $MM'$ et $PP'$ d'une même droite
$HH'$ du plan $xz$ parallèle à l'axe $z$
de manière qu'ils se disposent le long
de cette droite. Mais en même temps
%% -----File: 080.png---Folio 80-------
supposons que si certaines parties des deux bords se superposent, comme il arrive
dans la fig.~$b$, les deux bords restent toujours distingués comme les bords d'une
coupure, et qu'on doive les parcourir en sens opposé. La même chose est indiquée
dans la fig.~$b'$ où les dispositions sont changées. Les flèches désignent toujours la
manière de parcourir le contour. On peut donc regarder toujours la surface $\sigma$
comme limitée par un contour formé par la ligne continue et fermée $M N P P' N' M' M$.

\iffalse
\begin{center}
\Input{079b}{0.5\textwidth}\hfil
\Input{079c}{0.5\textwidth}
\end{center}
\fi

La ligne $H H'$ ayant pour équation
\[
x=x_1,\quad y=0,
\]
menons une droite parallèle $KK'$ dans le plan $xz$ ayant pour équation
\[
x = x_0 > x_1,\quad y = y_0 = 0
\]
qui ne rencontre pas la surface $\sigma$. Alors on pourra appliquer la formule~(10), et
l'on trouvera en remarquant que $g = 0$
%[** PP: Added trailing operators]
\begin{align*}
&  \int_{MNP} \left[
     \left( v_{A_0} \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v_{A_0}}{z} \right) dt
     + uv_{A_0}\, dz \right]
\Trail{+} \\
%
&\qquad+ \int_{P'N'M'} \left[
     \left( v_{A_0} \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v_{A_0}}{z} \right) dt
     + uv_{A_0}\, dz \right]
\Trail{+} \\
%
&\qquad+ \int_{PP'} uv_{A_0}\, dz + \int_{M'M} uv_{A_0}\, dz
= \frac{1}{i} \int_\sigma v_{A_0} f\, \pderiv{t}{n}\, d\sigma,
\end{align*}
où l'on a désigné par $v_{A_0}$ la fonction
$\dfrac{e^{-\smfrac{(z-z_1)^2}{4(x_0-t)}}}{\sqrt{x_0-t}}$, $A_0$ étant le point de coordonnées
$x_0, 0, z_1$.

\Paragraph{11.} On peut maintenant distinguer deux cas. Projetons la surface $\sigma$ sur
le plan~$xy$. Dans les figures nous avons désigné la projection par l'aire hachée.
Le point $x_0, 0$ du plan $xy$ peut se trouver entouré par la projection (fig.~$b$) ou
peut ne pas être entouré par elle (fig.~$b'$).

Puisque la fonction $v$ est polydrome et qu'elle change de signe en parcourant
un cycle autour de la droite $x = x_0$, $y = 0$, les choses seront différentes dans les
deux cas. Les valeurs de $v$ dans les points de la droite $H H'$ sont réelles. Prenons
ces valeurs positives sur $P' P$, alors

dans \emph{le premier cas} les valeurs de $v$ seront négatives %** PP: Typo nègatives]
sur $MM'$

dans \emph{le second cas} les valeurs de $v$ seront positives sur $MM'$.

Or déplaçons le point $A_0$ sur $A_0 A_1$ parallèle à l'axe $x$ en l'approchant indéfiniment
du point $A_1$ sur la droite $H H'$, et supposons que la droite $K K'$ se déplace
avec $A_0$ en restant parallèle à l'axe $z$, et supposons aussi qu'en se déplaçant elle
ne rencontre jamais la surface~$\sigma$.
%% -----File: 081.png---Folio 81-------

Cherchons les limites de
\[
\int_{PP'} u v_{A_0}\, dz,\quad
\int_{M'M} u v_{A_0}\, dz.
\]

Il suffit pour cela de faire usage de la formule~(I) qu'on a déjà employée
dans le §~4. Puisque $v_{A_0}$ est positif sur $PP'$ on aura % [** Xref]
\[
%[** PP: No comma between arguments in several expressions]
\lim \int_{PP'} u v_{A_0}\, dz = \phantom{-}2 \sqrt{\pi}\, u(t_1\, z_1),
\]
si le point $A_1$ est compris entre les points $P, P'$ et si le segment $PP'$ a la direction
positive de l'axe~$z$. On aura au contraire
\[
\lim \int_{PP'} u v_{A_0}\, dz = -2 \sqrt{\pi}\, u(t_1\, z_1),%[** No comma]
\]
si le point $A_1$ est compris entre les points $P, P'$ et si le segment $PP'$ a la direction
négative de l'axe~$z$. Enfin on aura
\[
\lim \int_{PP'} u v_{A_0}\, dz = 0,
\]
si le point $A_1$ est externe au segment~$PP'$. (C'est le dernier cas qui se présente
dans les figures $b$ et~$b'$, mais on imagine tout de suite comment il faudrait dessiner
les figures pour que les autres cas se présentent.)

Les trois formules précédentes peuvent se réunir en une seule en représentant
par le symbole $(p)$ le numéro $±1$ selon que le segment $A_1P$ a la direction
positive ou négative de~$z$. On aura alors
\[
\lim \int_{PP'} u v_{A_0}\, dz
= \bigl[(p') - (p)\bigr] \sqrt{\pi}\, u(t_1\, z_1). %[** No comma]
\]

Si nous étendons la signification du symbole $(p)$, et si nous supposons qu'il représente
$0$, si $A_1$ coïncide avec $P$, alors la formule précédente nous donne la limite
de l'intégrale même dans le cas où $A_1$ coïncide avec l'un des points $P$ ou~$P'$.

Passons maintenant à
\[
\lim \int_{M'M} u v_{A_0}\, dz,
\]
si le point $x_0, 0$ est entouré par la projection (\Ord{1}{er}~cas); on a que $v_{A_0}$ est négatif
sur $MM'$, c'est pourquoi
%% -----File: 082.png---Folio 82-------
\[
\lim \int_{M'M} u v_{A_0}\, dz
  = - \bigl[(m) - (m')\bigr] \sqrt{\pi}\, u(t_1\, z_1). %[** No comma]
\]

Si le point $x_0, 0$ n'est pas entouré par la projection (\Ord{2}{ième}~cas) $v_{A_0}$ est positif
sur~$MM'$ et par suite
\[
\lim \int_{M'M} u v_{A_0}\, dz = \phantom{-} \bigl[(m) - (m')\bigr] \sqrt{\pi}\, u(t_1\, z_1). %[** No comma]
\]

Les deux formules peuvent se réunir en une seule en indiquant par le
symbole $(e)$ le numéro $±1$ selon que la projection entoure ou n'entoure pas le
point $x_0, 0$ et l'on aura
\[
\lim \int_{M'M} u v_{A_0}\, dz
  = -(e) \bigl[(m) - (m')\bigr]\sqrt{\pi} u(t_1\, z_1).
% [** PP: Added \sqrt{\pi}u, w/o comma]
\]

Donc
\[
\lim \left[ \int_{PP'} u v_{A_0}\, dz
          + \int_{M'M} u v_{A_0}\, dz \right]
  = \left\{\bigl[(p') - (p)\bigr] + (e) \bigl[(m') - (m)\bigr]\right\}
    \sqrt{\pi}\, u(t_1\, z_1)
\]
d'où l'on tire en posant

\[
\bigl[(p') - (p)\bigr] + (e) \bigl[(m') - (m)\bigr] \sqrt{\pi} = h
\]
%%
\[
\Lmargintag{II}
\left\{
\begin{aligned}
h\, u(t_1\, z_1) = \lim \left(
    \frac{1}{i} \int_\sigma v_{A_0} f\, \pderiv{t}{n}\, d\sigma \right.
    &- \int_{MNP}
    \left[ \left( v_{A_0} \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v_{A_0}}{z}\right) dt
              + u v_{A_0}\, dz \right]
\Trail{-} \\ %[** PP: Added trailing operator]
%[** PP: Explicit horizontal space]
  &\makebox[0pt][r]{$-$}\;\int_{P'N'M'} \left.
    \left[ \left( v_{A_0} \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v_{A_0}}{z} \right) dt
              + u v_{A_0}\, dz \right] \right).
\end{aligned}
\right.
\]

%[Illustration]
\begin{wrapfigure}{l}{2.5in}
\Input{082a}{2.5in}
\end{wrapfigure}
Cette formule est la plus générale
possible et comprend toutes les autres.
Il n'y a qu'à la particulariser pour déduire
toutes les formules de la théorie.

\Paragraph{12.} Supposons d'abord que le second
cas se présente. Alors on peut très bien
imaginer que les lignes $MNP$ et $M'N'P'$
appartiennent au plan $xz$ de manière que
$\sigma$ soit une partie du plan, et l'on peut
supposer que la ligne $M'N'P'$ se rétrécisse
indéfiniment de sorte qu'elle % [** PP: Typo quelle]
se réduise à
un point. Alors dans la formule~(II) l'intégrale
étendue à $M'N'P'$ s'annule, et elle %[** PP: Typo annulle]
%% -----File: 083.png---Folio 83-------
conduit aux formules (6) et~$(6')$ dont la première nous amène à la formule~$(2')$
de Poisson.

\Paragraph{13.} Soit $M'\, N'\, P'$ une courbe appartenant au plan parallèle à $xy$ mené
par $A_0$, alors on %[** PP: Typo en]
démontre facilement que la limite de l'intégrale étendue à la
ligne $M'\, N'\, P'$ dans la formule~(II) est nulle. En même temps on a $(m') = (p') = 0$
par suite la formule~(II) devient
\begin{align*}
&\bigl[(p)+(e)(m)\bigr] \sqrt{\pi}\, u(t_1\, z_1) \\
&\qquad = \lim \left\{ \int_{MNP} \left[
    \left( v_{A_0} \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v_{A_0}}{z} \right) dt + uv_{A_0}\, dz \right]
  - \frac{1}{i} \int_\sigma v_{A_0} f\, \pderiv{t}{n}\, d\sigma \right\}.
\intertext{\indent Si $M$ et $P$ coïncident on a $(m) = (p)$, donc}
&(m) \bigl[1+(e)\bigr] \sqrt{\pi}\, u(t_1\, z_1) \\
&\qquad = \lim \left\{ \int_{MNP} \left[
    \left( v_{A_0} \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v_{A_0}}{z} \right) dt + uv_{A_0}\, dz \right]
  - \frac{1}{i} \int_\sigma v_{A_0} f\, \pderiv{t}{n}\, d\sigma \right\}.
\end{align*}

Dans le second cas où $(e) = -1$ le premier membre est toujours nul.

Envisageons le second cas où $(e) = 1$. Alors
{\small
\[
2(m) \sqrt{\pi}\, u(t_1\, z_1)
  = \lim \left\{ \int_{MNP} \left[
    \left( v_{A_0} \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v_{A_0}}{z} \right) dt
  + uv_{A_0}\, dz \right]
  - \frac{1}{i} \int_\sigma v_{A_0} f\, \pderiv{t}{n}\, d\sigma \right\}.
\]
}% End of \small

Supposons maintenant que la courbe $MNP$ appartienne à un plan parallèle
à $xy$, alors $dz = 0$ sur la courbe, et l'on a
\[
2(m) \sqrt{\pi}\, u(t_1\, z_1)
  = \lim \left\{ \int_{MNP} \left[
      \left( v_{A_0} \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v_{A_0}}{z} \right) dt
    \right]
  - \frac{1}{i} \int_\sigma v_{A_0} f\, \pderiv{t}{n}\, d\sigma \right\}.
\]

Si $f = 0$ la formule se réduit encore et devient
\[
2(m) \sqrt{\pi}\, u(t_1\, z_1)
  = \lim \left\{ \int_{MNP}
    \left( v_{A_0} \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v_{A_0}}{z} \right) dt \right\}.
\]

Enfin si nous prenons pour $MNP$ un cercle ayant le centre sur l'axe $x$ la
formule précédente devient la formule~$(3')$ de Poisson.
%% -----File: 084.png---Folio 84-------

De même les formules de Schlaefli peuvent se déduire comme cas particuliers
de celles que nous avons données.

Il faut remarquer que toutes ces formules se rattachent au premier cas, c'est
à dire à celui où la projection de la surface $\sigma$ entoure le point $x_0, 0$. Or cela ne
peut arriver que si l'on suppose que la courbe $MNM'$ n'appartient pas au plan
$xz$. Il fallait donc sortir des valeurs réelles de $t$ pour trouver ces formules,
et c'est justement ce que nous avons fait. Ce n'est qu'en sortant du domaine réel
et en pénétrant dans le domaine complexe que la polydromie de la fonction~(7) a
pu jouer son rôle, car la polydromie ne ressort qu'en parcourant des cycles
autour de la droite $KK'$. Nous avons mis en lumière qu'à cette polydromie se
rattache tout le succès de la méthode nouvelle qu'on a employée.

\Paragraph{14.} Nous finirons en donnant une application de la formule de Poisson, ce
qui nous amènera à revenir sur un point auquel nous avons touché dans la
\hyperref[section:8.1]{\Ord{8}{ième} leçon (§~1)}. % [** Xref]
Nous avons dit qu'il y avait des problèmes de la théorie des ondes
qui ne ressortent pas des équations du type hyperbolique. Ce sont les problèmes
des ondes des liquides incompressibles. Si l'on envisage le cas le plus général
des petites vibrations des liquides assujettis à des forces quelconques ayant un
potentiel, on trouve que le problème se réduit à trouver une fonction $V$ harmonique
dans le domaine $S$ occupé par le liquide qui le long de la surface libre $\omega$ du liquide
vérifie l'équation $-\alpha \pderiv{V}{n}
= \dfrac{\partial^2 V}{\partial t^2}$ et sur les parois rigides $\sigma$ qui renferment le liquide
vérifie l'équation $\pderiv{V}{n} = 0$, $n$ étant la normale au contour dirigée vers l'intérieur de
l'espace $S$, $\alpha$ une quantité positive, $t$ le temps.

Le problème dépend de l'équation différentielle de Laplace
\[
\Delta^2 V = 0,
\]
car $V$ doit être harmonique. Il est donc rattaché à une équation du type elliptique.
Ce sont les conditions le long de la partie $\omega$ du contour qui déterminent
le %[** PP: Typo la]
caractère ondulatoire du mouvement.

Or on démontre que $V$ est déterminée si l'on connaît % [** PP: Typo connait]
les valeurs $V_0$ et
$\left(\pderiv{V}{t}\right)_0 = V'_0$ de $V$ et de $\pderiv{V}{t}$ sur $\omega$ pour $t=0$. On peut aussi donner une méthode
générale pour résoudre le problème. Soit $U_A(x, y, z, t)$ une fonction harmonique
régulière de $x, y, z$ dans le domaine~$S$, excepté dans le point $A$ de coordonnées
$x_1, y_1, z_1$ où l'on a
\[
U_A(x,y,z,t) = \frac{1}{r_A} + W_A(x,y,z,t),\quad
r_A =  \sqrt{(x_1 - x)^2 + (y_1 - y)^2 + (z_1 - z)^2},
\]
%% -----File: 085.png---Folio 85-------
$W_A(x, y, z, t)$ étant une fonction régulière. Si nous supposons que sur $\omega$ soit
vérifiée l'égalité
\[
- \alpha \pderiv{U_A}{n} = \dfrac{\partial^2 U_A}{\partial t^2}
\]
et sur $\sigma$
\[
\pderiv{U_A}{n} = 0
\]
et pour $t = t_1$ sur $\omega$\quad $U_A$ et $\pderiv{U_A}{t}$ soient nulles, alors on aura
\[
\tag{12}
V(x_1\, y_1\, z_1\, t_1) % [** PP: No commas]
  = - \frac{1}{4\pi} \deriv{}{t_1} \int_\omega
    \left[ (U_A)_0 \left(\pderiv{V}{t}\right)_0
          - V_0 \left(\pderiv{U_A}{t}\right)_0 \right] \frac{1}{\alpha}\, d\omega,
\]
$(U_A)_0$ et $\left(\pderiv{U_A}{t}\right)_0$ désignant les valeurs de $U_A$ et $\pderiv{U_A}{t}$ pour $t = 0$. Cette formule
sert pour reconduire le problème de déterminer $V$ à celui de trouver $U_A$, c'est
à dire à déterminer une fonction qui à certains points de vue est analogue à la
fonction de Green.

\Paragraph{15.} Mais laissons de côté la théorie générale qui nous conduirait trop loin,
et envisageons le cas où le liquide occupe un domaine sphérique et où $\omega$ est toute
la surface de la sphère. Supposons aussi que $\alpha$ soit constante de sorte que l'on
puisse prendre $\alpha = 1$. Alors sur la surface de la sphère on aura $\pderiv{V}{r} = \dfrac{\partial^2 V}{\partial t^2}$, $r$ étant
le rayon vecteur conduit par le centre de la sphère. Posons $\log r = \rho$, et supposons
que le rayon de la sphère soit égal~1. Alors l'équation précédente pourra
s'écrire
\[
\tag{13}
\pderiv{V}{\rho} = \dfrac{\partial^2 V}{\partial t^2}.
\]

Cela posé, $r, \THETA, \phi$ étant les coordonnées polaires soient $V_0(r, \THETA, \phi)$ et
$V'_0(r, \THETA, \phi)$ les fonctions harmoniques à l'intérieur %[** PP:Typo l'interieure]
de la sphère qui sur la surface
de la sphère deviennent égales aux valeurs $V_0$ et $V'_0$ données de $V$ et de $\pderiv{V}{t}$
pour $t = 0$ sur la surface même. On pourra aussi les considérer comme des fonctions
de $\rho, \THETA, \phi$, et l'on écrira $V_0(\rho, \THETA, \phi)$, $V'_0(\rho, \THETA, \phi)$. Regardons $\THETA$ et $\phi$ comme
des quantités constantes, et déterminons par la formule de Poisson l'intégrale
de l'équation~(13) qui pour $t = 0$ se réduit à $V_0(\rho, \THETA, \phi)$ et dont la dérivée par
rapport à $t$ pour $t = 0$ se réduit à $V'_0(\rho, \THETA, \phi)$. Appelons cette intégrale $V(\rho, \THETA, \phi, t)$.
On voit facilement qu'elle est la fonction qu'on veut déterminer.
%% -----File: 086.png---Folio 86-------

En effet on aura
\[
\tag{14}
\Delta^2 \pderiv{V}{\rho} = \frac{\partial^2 \Delta^2 V}{\partial t^2}.
\]

% [**** Putative mathematical corrections]
Mais
\[
%% In original:
%% \Delta^2 \pderiv{V}{\rho}
%% = \frac{1}{r^2}\, \frac{\partial^2 (r^2 \Delta^2 V)}{\partial \rho}
\Delta^2 \pderiv{V}{\rho}
  = \frac{1}{r^2}\, \pderiv{(r^2 \Delta^2 V)}{\rho}
\]
par suite l'équation~(14) s'écrit
\[
\tag{15}
%% In original:
%% \pderiv{(r^2 \Delta^2 V)}{\rho}
%% = \frac{\partial^2 (r^2 \Delta^2 V)}{\partial t^2}.
\pderiv{(r^2 \Delta^2 V)}{\rho}
  = \frac{r^2 \partial^2 (\Delta^2 V)}{\partial t^2}.
\]
Or $r^2 \Delta^2 V$ pour $t = 0$ devient $r^2 \Delta^2 V_0 = 0$ et $\pderiv{(r^2 \Delta^2 V)}{t}$ pour $t = 0$ devient $r^2 \Delta^2 V'_0 = 0$:
par suite $r^2 \Delta^2 V = 0$. Donc $V$ est harmonique, vérifie l'équation $-\pderiv{V}{n} = \dfrac{\partial^2 V}{\partial t^2}$
à la surface de la sphère et en même temps $V$ et $\pderiv{V}{t}$ pour $t = 0$ prennent à la
surface de la sphère les valeurs données, comme il fallait démontrer. Il est facile
de vérifier que $V$ est régulière au centre de la sphère. Le problème est donc
résolu.

On pourrait aussi se servir de cette méthode pour calculer la fonction $U_A$
analogue à la fonction de Green et calculer ensuite $V$ par la formule~(12).

\begin{Bibliographie}

\Bibitem{Poisson.}{Théorie mathématique de la chaleur, Chapitre VI.\ Paris 1835.}

% [** PP: Probably should be Partielle]
\Bibitem{Schlaefli.}{Über die partielle Differentialgl.\ $\pderiv{u}{t} - \dfrac{\partial^2u}{\partial x^2} = 0$. Journ.\ de Crelle T.~72.}

\Bibitem{Betti.}{Sopra la determinazione delle temperature nei corpi solidi omogenei.
Memorie delle Soc.\ Italiana della Scienza (detta % [** PP: Typo delta]
dei~XL). S.~III, T.~I. \Ord{P}{o}~II.}

\Bibitem{Appell.}{Sur l'équation $\dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2} - \pderiv{z}{y} = 0$. Journ.\ de Math.\ T.~VIII, s.~4.}

\Bibitem{Volterra.}{Sur les équations différentielles du type parabolique. Comptes rendus
des Séances de l'Ac.\ des Sciences. 5~Déc.\ 1904.}
\end{Bibliographie}

\Tb

%% -----File: 087.png---Folio 87-------

\Chapter{Note additionnelle à la \Ord{5}{ième} leçon.}

\begin{center}
Communication faite le soir du 2~Mars.
\end{center}

\Paragraph{1.} Rappelons la formule bien connue de trigonométrie
\[
\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha,
\]
on peut en tirer que si
\[
\tag{1}
\sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha = \text{const}.
\]
on doit avoir
\[
\alpha + \beta = \text{const}.
\]

Posons maintenant
\[
\alpha = \int_0^x \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\qquad
\beta  = \int_0^y \frac{dy}{\sqrt{1-y^2}}
\]
l'équation~(1) s'écrira
\[
\tag{2}
x \sqrt{1-y^2} + y \sqrt{1-x^2} = \text{const}.
\]

Donc si cette égalité est vérifiée on doit avoir
\[
\tag{3}
\int_0^x \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} + \int_0^y \frac{dy}{\sqrt{1-y^2}} = \text{const}.
\]

%[Illustration]
%[** PP: The original image is in ./images/sources/087a.png.
%        The original differs qualitatively from its equation in the text.]
\begin{wrapfigure}[6]{l}{1.25in}
\raisebox{0.125in}[1.125in][0pt]{\Input{087a}{1.25in}}
\end{wrapfigure}
Rapportons-nous à deux axes coordonnés $x, y,$ et soit
$s$ un arc de la courbe ayant pour équation~(2), $M$ un point
de la courbe, $M_1$ et $M_2$ ses projections sur les axes; alors
$OM_1$ et $OM_2$ seront les amplitudes des deux intégrales qui
paraissent dans la formule~(3).

Le théorème de trigonométrie %[** Typo trigométrie]
peut s'énoncer en disant:%
\begin{Prop}
si on déplace le point $M$ sur la courbe $s$ la somme des intégrales
\[
\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}},\qquad \int \frac{dy}{\sqrt{1-y^2}}
\]
étendues respectivement à $OM_1$ et $OM_2$ est constante.
\end{Prop}

\Paragraph{2.} Passons à une extension de ce théorème au cas de trois variables.

\begin{Theorem}
Envisageons les trois intégrales
\[
\Lmargintag{4} % [** PP: Typo (2)]
\iint_{\sigma_1} \frac{dy\, dz}{\sqrt{\dfrac{b_2}{\lambda} z^2 - \dfrac{b_3}{\lambda} y^2 + \beta_1}},\quad
\iint_{\sigma_2} \frac{dz\, dx}{\sqrt{\dfrac{b_3}{\mu}     x^2 - \dfrac{b_1}{\mu}     z^2 + \beta_2}},\quad
\iint_{\sigma_3} \frac{dx\, dy}{\sqrt{\dfrac{b_1}{\nu}     y^2 - \dfrac{b_2}{\nu}     x^2 + \beta_3}}
\]
% [** PP: Changed \sigma_2 to \sigma_3 in third integral]
%% -----File: 088.png---Folio 88-------
où $b_1, b_2, b_3$; $\beta_1, \beta_2, \beta_3$; $\lambda, \mu, \nu$ sont des quantités constantes et $\lambda + \mu + \nu = 0$. Prenons
la surface algébrique ayant pour équation par rapport aux axes coordonnés $x, y, z$
\end{Theorem}
\[
\Lmargintag{5}
\lambda x \sqrt{\dfrac{b_2}{\lambda} z^2 - \dfrac{b_3}{\lambda} y^2 + \beta_1}
  + \mu y \sqrt{\dfrac{b_3}{\mu}     x^2 - \dfrac{b_1}{\mu}     z^2 + \beta_2}
  + \nu z \sqrt{\dfrac{b_1}{\nu}     y^2 - \dfrac{b_2}{\nu}     x^2 + \beta_3}
  = \text{\upshape const}.
\]
%[Illustration]
\begin{wrapfigure}{l}{2.75in}
\Input{088a}{2.5in}
\end{wrapfigure}
\textit{et menons une ligne quelconque %[** PP: Typo quelqonque]
$s$ fermée
sur cette surface. Soient $s_1, s_2, s_3$
les projections de cette ligne sur les plans
coordonnés, et supposons que nous étendions
les trois intégrales~{\upshape(4)} aux aires $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$
renfermées dans ces projections. Alors la
somme des trois intégrales~{\upshape(4)} ne changera
pas en déplaçant et en déformant
la ligne $s$ sur la surface~{\upshape(5)}.}


La démonstration de ce théorème
ne présente pas de difficultés. Il donne
évidemment une extension du théorème
élémentaire de trigonométrie par l'emploi
des fonctions de lignes. La remarque
la plus intéressante à faire est que la
surface algébrique constitue une liaison
algébrique entre les trois lignes dont dépendent les trois intégrales. Ce théorème
peut bien se généraliser.

\Tb

Voir Volterra: Un teorema sugli integrali multipli. Att.\ della R. Accad.\
di Torino, 1897.
\vspace*{1in}
\begin{center}
\includegraphics[height=12pt]{./images/decoration.pdf}
\end{center}
%% -----File: 089.png---Folio 89-------

%% Contents
\cleardoublepage

\phantomsection
\pdfbookmark[0]{Table des Matières}{Table}

\begin{center}
\textbf{\Large Table.}
\end{center}

\null\hfill{\footnotesize{Page}}

\ToCline{Première leçon}{pgchapter:1}
\ToCline{Deuxième leçon}{pgchapter:2}
\ToCline{Troisième leçon}{pgchapter:3}
\ToCline{Quatrième leçon}{pgchapter:4}
\ToCline{Cinquième leçon}{pgchapter:5}
\ToCline{Sixième leçon}{pgchapter:6}
\ToCline{Septième leçon}{pgchapter:7}
\ToCline{Huitième leçon}{pgchapter:8}
\ToCline{Neuvième leçon}{pgchapter:9}
\ToCline{Dixième leçon}{pgchapter:10}
\ToCline{Onzième leçon}{pgchapter:11}
\ToCline{Note}{pgchapter:12}

%% License
\cleardoublepage

\phantomsection
\label{License}
\pdfbookmark[0]{PG License.}{License}

\begin{PGtext}
End of the Project Gutenberg EBook of Leçons sur l'intégration des Équations
Différentielles aux Dérivées Partielles, by Vito Volterra

*** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ***

***** This file should be named 29783-pdf.pdf or 29783-pdf.zip *****
This and all associated files of various formats will be found in:
        http://www.gutenberg.org/2/9/7/8/29783/

Produced by Laura Wisewell, Andrew D. Hwang, and the Online
Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (The
original copy of this book was generously made available
for scanning by the Department of Mathematics at the
University of Glasgow.)


Updated editions will replace the previous one--the old editions
will be renamed.

Creating the works from public domain print editions means that no
one owns a United States copyright in these works, so the Foundation
(and you!) can copy and distribute it in the United States without
permission and without paying copyright royalties.  Special rules,
set forth in the General Terms of Use part of this license, apply to
copying and distributing Project Gutenberg-tm electronic works to
protect the PROJECT GUTENBERG-tm concept and trademark.  Project
Gutenberg is a registered trademark, and may not be used if you
charge for the eBooks, unless you receive specific permission.  If you
do not charge anything for copies of this eBook, complying with the
rules is very easy.  You may use this eBook for nearly any purpose
such as creation of derivative works, reports, performances and
research.  They may be modified and printed and given away--you may do
practically ANYTHING with public domain eBooks.  Redistribution is
subject to the trademark license, especially commercial
redistribution.



*** START: FULL LICENSE ***

THE FULL PROJECT GUTENBERG LICENSE
PLEASE READ THIS BEFORE YOU DISTRIBUTE OR USE THIS WORK

To protect the Project Gutenberg-tm mission of promoting the free
distribution of electronic works, by using or distributing this work
(or any other work associated in any way with the phrase "Project
Gutenberg"), you agree to comply with all the terms of the Full Project
Gutenberg-tm License (available with this file or online at
http://gutenberg.org/license).


Section 1.  General Terms of Use and Redistributing Project Gutenberg-tm
electronic works

1.A.  By reading or using any part of this Project Gutenberg-tm
electronic work, you indicate that you have read, understand, agree to
and accept all the terms of this license and intellectual property
(trademark/copyright) agreement.  If you do not agree to abide by all
the terms of this agreement, you must cease using and return or destroy
all copies of Project Gutenberg-tm electronic works in your possession.
If you paid a fee for obtaining a copy of or access to a Project
Gutenberg-tm electronic work and you do not agree to be bound by the
terms of this agreement, you may obtain a refund from the person or
entity to whom you paid the fee as set forth in paragraph 1.E.8.

1.B.  "Project Gutenberg" is a registered trademark.  It may only be
used on or associated in any way with an electronic work by people who
agree to be bound by the terms of this agreement.  There are a few
things that you can do with most Project Gutenberg-tm electronic works
even without complying with the full terms of this agreement.  See
paragraph 1.C below.  There are a lot of things you can do with Project
Gutenberg-tm electronic works if you follow the terms of this agreement
and help preserve free future access to Project Gutenberg-tm electronic
works.  See paragraph 1.E below.

1.C.  The Project Gutenberg Literary Archive Foundation ("the Foundation"
or PGLAF), owns a compilation copyright in the collection of Project
Gutenberg-tm electronic works.  Nearly all the individual works in the
collection are in the public domain in the United States.  If an
individual work is in the public domain in the United States and you are
located in the United States, we do not claim a right to prevent you from
copying, distributing, performing, displaying or creating derivative
works based on the work as long as all references to Project Gutenberg
are removed.  Of course, we hope that you will support the Project
Gutenberg-tm mission of promoting free access to electronic works by
freely sharing Project Gutenberg-tm works in compliance with the terms of
this agreement for keeping the Project Gutenberg-tm name associated with
the work.  You can easily comply with the terms of this agreement by
keeping this work in the same format with its attached full Project
Gutenberg-tm License when you share it without charge with others.

1.D.  The copyright laws of the place where you are located also govern
what you can do with this work.  Copyright laws in most countries are in
a constant state of change.  If you are outside the United States, check
the laws of your country in addition to the terms of this agreement
before downloading, copying, displaying, performing, distributing or
creating derivative works based on this work or any other Project
Gutenberg-tm work.  The Foundation makes no representations concerning
the copyright status of any work in any country outside the United
States.

1.E.  Unless you have removed all references to Project Gutenberg:

1.E.1.  The following sentence, with active links to, or other immediate
access to, the full Project Gutenberg-tm License must appear prominently
whenever any copy of a Project Gutenberg-tm work (any work on which the
phrase "Project Gutenberg" appears, or with which the phrase "Project
Gutenberg" is associated) is accessed, displayed, performed, viewed,
copied or distributed:

This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with
almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or
re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included
with this eBook or online at www.gutenberg.org

1.E.2.  If an individual Project Gutenberg-tm electronic work is derived
from the public domain (does not contain a notice indicating that it is
posted with permission of the copyright holder), the work can be copied
and distributed to anyone in the United States without paying any fees
or charges.  If you are redistributing or providing access to a work
with the phrase "Project Gutenberg" associated with or appearing on the
work, you must comply either with the requirements of paragraphs 1.E.1
through 1.E.7 or obtain permission for the use of the work and the
Project Gutenberg-tm trademark as set forth in paragraphs 1.E.8 or
1.E.9.

1.E.3.  If an individual Project Gutenberg-tm electronic work is posted
with the permission of the copyright holder, your use and distribution
must comply with both paragraphs 1.E.1 through 1.E.7 and any additional
terms imposed by the copyright holder.  Additional terms will be linked
to the Project Gutenberg-tm License for all works posted with the
permission of the copyright holder found at the beginning of this work.

1.E.4.  Do not unlink or detach or remove the full Project Gutenberg-tm
License terms from this work, or any files containing a part of this
work or any other work associated with Project Gutenberg-tm.

1.E.5.  Do not copy, display, perform, distribute or redistribute this
electronic work, or any part of this electronic work, without
prominently displaying the sentence set forth in paragraph 1.E.1 with
active links or immediate access to the full terms of the Project
Gutenberg-tm License.

1.E.6.  You may convert to and distribute this work in any binary,
compressed, marked up, nonproprietary or proprietary form, including any
word processing or hypertext form.  However, if you provide access to or
distribute copies of a Project Gutenberg-tm work in a format other than
"Plain Vanilla ASCII" or other format used in the official version
posted on the official Project Gutenberg-tm web site (www.gutenberg.org),
you must, at no additional cost, fee or expense to the user, provide a
copy, a means of exporting a copy, or a means of obtaining a copy upon
request, of the work in its original "Plain Vanilla ASCII" or other
form.  Any alternate format must include the full Project Gutenberg-tm
License as specified in paragraph 1.E.1.

1.E.7.  Do not charge a fee for access to, viewing, displaying,
performing, copying or distributing any Project Gutenberg-tm works
unless you comply with paragraph 1.E.8 or 1.E.9.

1.E.8.  You may charge a reasonable fee for copies of or providing
access to or distributing Project Gutenberg-tm electronic works provided
that

- You pay a royalty fee of 20% of the gross profits you derive from
     the use of Project Gutenberg-tm works calculated using the method
     you already use to calculate your applicable taxes.  The fee is
     owed to the owner of the Project Gutenberg-tm trademark, but he
     has agreed to donate royalties under this paragraph to the
     Project Gutenberg Literary Archive Foundation.  Royalty payments
     must be paid within 60 days following each date on which you
     prepare (or are legally required to prepare) your periodic tax
     returns.  Royalty payments should be clearly marked as such and
     sent to the Project Gutenberg Literary Archive Foundation at the
     address specified in Section 4, "Information about donations to
     the Project Gutenberg Literary Archive Foundation."

- You provide a full refund of any money paid by a user who notifies
     you in writing (or by e-mail) within 30 days of receipt that s/he
     does not agree to the terms of the full Project Gutenberg-tm
     License.  You must require such a user to return or
     destroy all copies of the works possessed in a physical medium
     and discontinue all use of and all access to other copies of
     Project Gutenberg-tm works.

- You provide, in accordance with paragraph 1.F.3, a full refund of any
     money paid for a work or a replacement copy, if a defect in the
     electronic work is discovered and reported to you within 90 days
     of receipt of the work.

- You comply with all other terms of this agreement for free
     distribution of Project Gutenberg-tm works.

1.E.9.  If you wish to charge a fee or distribute a Project Gutenberg-tm
electronic work or group of works on different terms than are set
forth in this agreement, you must obtain permission in writing from
both the Project Gutenberg Literary Archive Foundation and Michael
Hart, the owner of the Project Gutenberg-tm trademark.  Contact the
Foundation as set forth in Section 3 below.

1.F.

1.F.1.  Project Gutenberg volunteers and employees expend considerable
effort to identify, do copyright research on, transcribe and proofread
public domain works in creating the Project Gutenberg-tm
collection.  Despite these efforts, Project Gutenberg-tm electronic
works, and the medium on which they may be stored, may contain
"Defects," such as, but not limited to, incomplete, inaccurate or
corrupt data, transcription errors, a copyright or other intellectual
property infringement, a defective or damaged disk or other medium, a
computer virus, or computer codes that damage or cannot be read by
your equipment.

1.F.2.  LIMITED WARRANTY, DISCLAIMER OF DAMAGES - Except for the "Right
of Replacement or Refund" described in paragraph 1.F.3, the Project
Gutenberg Literary Archive Foundation, the owner of the Project
Gutenberg-tm trademark, and any other party distributing a Project
Gutenberg-tm electronic work under this agreement, disclaim all
liability to you for damages, costs and expenses, including legal
fees.  YOU AGREE THAT YOU HAVE NO REMEDIES FOR NEGLIGENCE, STRICT
LIABILITY, BREACH OF WARRANTY OR BREACH OF CONTRACT EXCEPT THOSE
PROVIDED IN PARAGRAPH F3.  YOU AGREE THAT THE FOUNDATION, THE
TRADEMARK OWNER, AND ANY DISTRIBUTOR UNDER THIS AGREEMENT WILL NOT BE
LIABLE TO YOU FOR ACTUAL, DIRECT, INDIRECT, CONSEQUENTIAL, PUNITIVE OR
INCIDENTAL DAMAGES EVEN IF YOU GIVE NOTICE OF THE POSSIBILITY OF SUCH
DAMAGE.

1.F.3.  LIMITED RIGHT OF REPLACEMENT OR REFUND - If you discover a
defect in this electronic work within 90 days of receiving it, you can
receive a refund of the money (if any) you paid for it by sending a
written explanation to the person you received the work from.  If you
received the work on a physical medium, you must return the medium with
your written explanation.  The person or entity that provided you with
the defective work may elect to provide a replacement copy in lieu of a
refund.  If you received the work electronically, the person or entity
providing it to you may choose to give you a second opportunity to
receive the work electronically in lieu of a refund.  If the second copy
is also defective, you may demand a refund in writing without further
opportunities to fix the problem.

1.F.4.  Except for the limited right of replacement or refund set forth
in paragraph 1.F.3, this work is provided to you 'AS-IS' WITH NO OTHER
WARRANTIES OF ANY KIND, EXPRESS OR IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO
WARRANTIES OF MERCHANTIBILITY OR FITNESS FOR ANY PURPOSE.

1.F.5.  Some states do not allow disclaimers of certain implied
warranties or the exclusion or limitation of certain types of damages.
If any disclaimer or limitation set forth in this agreement violates the
law of the state applicable to this agreement, the agreement shall be
interpreted to make the maximum disclaimer or limitation permitted by
the applicable state law.  The invalidity or unenforceability of any
provision of this agreement shall not void the remaining provisions.

1.F.6.  INDEMNITY - You agree to indemnify and hold the Foundation, the
trademark owner, any agent or employee of the Foundation, anyone
providing copies of Project Gutenberg-tm electronic works in accordance
with this agreement, and any volunteers associated with the production,
promotion and distribution of Project Gutenberg-tm electronic works,
harmless from all liability, costs and expenses, including legal fees,
that arise directly or indirectly from any of the following which you do
or cause to occur: (a) distribution of this or any Project Gutenberg-tm
work, (b) alteration, modification, or additions or deletions to any
Project Gutenberg-tm work, and (c) any Defect you cause.


Section  2.  Information about the Mission of Project Gutenberg-tm

Project Gutenberg-tm is synonymous with the free distribution of
electronic works in formats readable by the widest variety of computers
including obsolete, old, middle-aged and new computers.  It exists
because of the efforts of hundreds of volunteers and donations from
people in all walks of life.

Volunteers and financial support to provide volunteers with the
assistance they need, are critical to reaching Project Gutenberg-tm's
goals and ensuring that the Project Gutenberg-tm collection will
remain freely available for generations to come.  In 2001, the Project
Gutenberg Literary Archive Foundation was created to provide a secure
and permanent future for Project Gutenberg-tm and future generations.
To learn more about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation
and how your efforts and donations can help, see Sections 3 and 4
and the Foundation web page at http://www.pglaf.org.


Section 3.  Information about the Project Gutenberg Literary Archive
Foundation

The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit
501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the
state of Mississippi and granted tax exempt status by the Internal
Revenue Service.  The Foundation's EIN or federal tax identification
number is 64-6221541.  Its 501(c)(3) letter is posted at
http://pglaf.org/fundraising.  Contributions to the Project Gutenberg
Literary Archive Foundation are tax deductible to the full extent
permitted by U.S. federal laws and your state's laws.

The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr. S.
Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered
throughout numerous locations.  Its business office is located at
809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887, email
business@pglaf.org.  Email contact links and up to date contact
information can be found at the Foundation's web site and official
page at http://pglaf.org

For additional contact information:
     Dr. Gregory B. Newby
     Chief Executive and Director
     gbnewby@pglaf.org


Section 4.  Information about Donations to the Project Gutenberg
Literary Archive Foundation

Project Gutenberg-tm depends upon and cannot survive without wide
spread public support and donations to carry out its mission of
increasing the number of public domain and licensed works that can be
freely distributed in machine readable form accessible by the widest
array of equipment including outdated equipment.  Many small donations
($1 to $5,000) are particularly important to maintaining tax exempt
status with the IRS.

The Foundation is committed to complying with the laws regulating
charities and charitable donations in all 50 states of the United
States.  Compliance requirements are not uniform and it takes a
considerable effort, much paperwork and many fees to meet and keep up
with these requirements.  We do not solicit donations in locations
where we have not received written confirmation of compliance.  To
SEND DONATIONS or determine the status of compliance for any
particular state visit http://pglaf.org

While we cannot and do not solicit contributions from states where we
have not met the solicitation requirements, we know of no prohibition
against accepting unsolicited donations from donors in such states who
approach us with offers to donate.

International donations are gratefully accepted, but we cannot make
any statements concerning tax treatment of donations received from
outside the United States.  U.S. laws alone swamp our small staff.

Please check the Project Gutenberg Web pages for current donation
methods and addresses.  Donations are accepted in a number of other
ways including checks, online payments and credit card donations.
To donate, please visit: http://pglaf.org/donate


Section 5.  General Information About Project Gutenberg-tm electronic
works.

Professor Michael S. Hart is the originator of the Project Gutenberg-tm
concept of a library of electronic works that could be freely shared
with anyone.  For thirty years, he produced and distributed Project
Gutenberg-tm eBooks with only a loose network of volunteer support.


Project Gutenberg-tm eBooks are often created from several printed
editions, all of which are confirmed as Public Domain in the U.S.
unless a copyright notice is included.  Thus, we do not necessarily
keep eBooks in compliance with any particular paper edition.


Most people start at our Web site which has the main PG search facility:

     http://www.gutenberg.org

This Web site includes information about Project Gutenberg-tm,
including how to make donations to the Project Gutenberg Literary
Archive Foundation, how to help produce our new eBooks, and how to
subscribe to our email newsletter to hear about new eBooks.
\end{PGtext}

\vfill

% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
%                                                                         %
% End of the Project Gutenberg EBook of Leçons sur l'intégration des Équations
% Différentielles aux Dérivées Partielles, by Vito Volterra               %
%                                                                         %
% *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ***   %
%                                                                         %
% ***** This file should be named 29783-t.tex or 29783-t.zip *****        %
% This and all associated files of various formats will be found in:      %
%         http://www.gutenberg.org/2/9/7/8/29783/                         %
%                                                                         %
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %

\end{document}

### lprep configuration
@ControlwordReplace = (
  ['\\Mme', "Mme"],
  ['\\sameauthor', "---"],
  ['\\TransNote', "\n\nNotes sur la transcription.\n"],
  ['\Tb',""]
  );
@ControlwordArguments = (
  ['\\Bibitem', 1, 1, '', ' ', 1, 1, '', ''],
  ['\\Chapter', 1, 1, '\n\n', '\n\n'],
  ['\\Input', 1, 0, '\n<ILLUSTRATION>', '\n', 1, 0, '', ''],
  ['\\Ord', 1, 1, '', '', 1, 1, '', ' '],
  ['\\PageLabel', 1, 0, '', ''],
  ['\\Paragraph', 1, 1, '', ''],
  ['\\Preface', 1, 1, '\n\n', '\n\n'],
  ['\\ToCline', 1, 1, '', ' ', 1, 0, '', ' (xx)']
  );

###
This is pdfTeXk, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6) (format=pdflatex 2009.6.29)  24 AUG 2009 12:43
entering extended mode
 %&-line parsing enabled.
**29783-t.tex
(./29783-t.tex
LaTeX2e <2005/12/01>
Babel <v3.8h> and hyphenation patterns for english, usenglishmax, dumylang, noh
yphenation, loaded.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/book.cls
Document Class: book 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/leqno.clo
File: leqno.clo 1998/08/17 v1.1c Standard LaTeX option (left equation numbers)
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/bk12.clo
File: bk12.clo 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option)
)
\c@part=\count79
\c@chapter=\count80
\c@section=\count81
\c@subsection=\count82
\c@subsubsection=\count83
\c@paragraph=\count84
\c@subparagraph=\count85
\c@figure=\count86
\c@table=\count87
\abovecaptionskip=\skip41
\belowcaptionskip=\skip42
\bibindent=\dimen102
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/inputenc.sty
Package: inputenc 2006/05/05 v1.1b Input encoding file
\inpenc@prehook=\toks14
\inpenc@posthook=\toks15
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/latin1.def
File: latin1.def 2006/05/05 v1.1b Input encoding file
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/fontenc.sty
Package: fontenc 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX package
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/t1enc.def
File: t1enc.def 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX file
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding T1 on input line 43.
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.sty
Package: babel 2005/11/23 v3.8h The Babel package
(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/frenchb.ldf
Language: french 2005/02/06 v1.6g French support from the babel system
(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.def
File: babel.def 2005/11/23 v3.8h Babel common definitions
\babel@savecnt=\count88
\U@D=\dimen103
)

Package babel Warning: No hyphenation patterns were loaded for
(babel)                the language `French'
(babel)                I will use the patterns loaded for \language=0 instead.

\l@french = a dialect from \language0
Package babel Info: Making : an active character on input line 219.
Package babel Info: Making ; an active character on input line 220.
Package babel Info: Making ! an active character on input line 221.
Package babel Info: Making ? an active character on input line 222.
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding T1 on input line 299.
\parindentFFN=\dimen104
\std@mcc=\count89
\dec@mcc=\count90
*************************************
* Local config file frenchb.cfg used
*
(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/frenchb.cfg))) (/usr/share/texmf-te
xlive/tex/latex/base/textcomp.sty
Package: textcomp 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX package
Package textcomp Info: Sub-encoding information:
(textcomp)               5 = only ISO-Adobe without \textcurrency
(textcomp)               4 = 5 + \texteuro
(textcomp)               3 = 4 + \textohm
(textcomp)               2 = 3 + \textestimated + \textcurrency
(textcomp)               1 = TS1 - \textcircled - \t
(textcomp)               0 = TS1 (full)
(textcomp)             Font families with sub-encoding setting implement
(textcomp)             only a restricted character set as indicated.
(textcomp)             Family '?' is the default used for unknown fonts.
(textcomp)             See the documentation for details.
Package textcomp Info: Setting ? sub-encoding to TS1/1 on input line 71.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/ts1enc.def
File: ts1enc.def 2001/06/05 v3.0e (jk/car/fm) Standard LaTeX file
)
LaTeX Info: Redefining \oldstylenums on input line 266.
Package textcomp Info: Setting cmr sub-encoding to TS1/0 on input line 281.
Package textcomp Info: Setting cmss sub-encoding to TS1/0 on input line 282.
Package textcomp Info: Setting cmtt sub-encoding to TS1/0 on input line 283.
Package textcomp Info: Setting cmvtt sub-encoding to TS1/0 on input line 284.
Package textcomp Info: Setting cmbr sub-encoding to TS1/0 on input line 285.
Package textcomp Info: Setting cmtl sub-encoding to TS1/0 on input line 286.
Package textcomp Info: Setting ccr sub-encoding to TS1/0 on input line 287.
Package textcomp Info: Setting ptm sub-encoding to TS1/4 on input line 288.
Package textcomp Info: Setting pcr sub-encoding to TS1/4 on input line 289.
Package textcomp Info: Setting phv sub-encoding to TS1/4 on input line 290.
Package textcomp Info: Setting ppl sub-encoding to TS1/3 on input line 291.
Package textcomp Info: Setting pag sub-encoding to TS1/4 on input line 292.
Package textcomp Info: Setting pbk sub-encoding to TS1/4 on input line 293.
Package textcomp Info: Setting pnc sub-encoding to TS1/4 on input line 294.
Package textcomp Info: Setting pzc sub-encoding to TS1/4 on input line 295.
Package textcomp Info: Setting bch sub-encoding to TS1/4 on input line 296.
Package textcomp Info: Setting put sub-encoding to TS1/5 on input line 297.
Package textcomp Info: Setting uag sub-encoding to TS1/5 on input line 298.
Package textcomp Info: Setting ugq sub-encoding to TS1/5 on input line 299.
Package textcomp Info: Setting ul8 sub-encoding to TS1/4 on input line 300.
Package textcomp Info: Setting ul9 sub-encoding to TS1/4 on input line 301.
Package textcomp Info: Setting augie sub-encoding to TS1/5 on input line 302.
Package textcomp Info: Setting dayrom sub-encoding to TS1/3 on input line 303.
Package textcomp Info: Setting dayroms sub-encoding to TS1/3 on input line 304.

Package textcomp Info: Setting pxr sub-encoding to TS1/0 on input line 305.
Package textcomp Info: Setting pxss sub-encoding to TS1/0 on input line 306.
Package textcomp Info: Setting pxtt sub-encoding to TS1/0 on input line 307.
Package textcomp Info: Setting txr sub-encoding to TS1/0 on input line 308.
Package textcomp Info: Setting txss sub-encoding to TS1/0 on input line 309.
Package textcomp Info: Setting txtt sub-encoding to TS1/0 on input line 310.
Package textcomp Info: Setting futs sub-encoding to TS1/4 on input line 311.
Package textcomp Info: Setting futx sub-encoding to TS1/4 on input line 312.
Package textcomp Info: Setting futj sub-encoding to TS1/4 on input line 313.
Package textcomp Info: Setting hlh sub-encoding to TS1/3 on input line 314.
Package textcomp Info: Setting hls sub-encoding to TS1/3 on input line 315.
Package textcomp Info: Setting hlst sub-encoding to TS1/3 on input line 316.
Package textcomp Info: Setting hlct sub-encoding to TS1/5 on input line 317.
Package textcomp Info: Setting hlx sub-encoding to TS1/5 on input line 318.
Package textcomp Info: Setting hlce sub-encoding to TS1/5 on input line 319.
Package textcomp Info: Setting hlcn sub-encoding to TS1/5 on input line 320.
Package textcomp Info: Setting hlcw sub-encoding to TS1/5 on input line 321.
Package textcomp Info: Setting hlcf sub-encoding to TS1/5 on input line 322.
Package textcomp Info: Setting pplx sub-encoding to TS1/3 on input line 323.
Package textcomp Info: Setting pplj sub-encoding to TS1/3 on input line 324.
Package textcomp Info: Setting ptmx sub-encoding to TS1/4 on input line 325.
Package textcomp Info: Setting ptmj sub-encoding to TS1/4 on input line 326.
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/ifthen.sty
Package: ifthen 2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC)
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
Package: amsmath 2000/07/18 v2.13 AMS math features
\@mathmargin=\skip43
For additional information on amsmath, use the `?' option.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amstext.sty
Package: amstext 2000/06/29 v2.01
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsgen.sty
File: amsgen.sty 1999/11/30 v2.0
\@emptytoks=\toks16
\ex@=\dimen105
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty
Package: amsbsy 1999/11/29 v1.2d
\pmbraise@=\dimen106
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsopn.sty
Package: amsopn 1999/12/14 v2.01 operator names
)
\inf@bad=\count91
LaTeX Info: Redefining \frac on input line 211.
\uproot@=\count92
\leftroot@=\count93
LaTeX Info: Redefining \overline on input line 307.
\classnum@=\count94
\DOTSCASE@=\count95
LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 379.
LaTeX Info: Redefining \dots on input line 382.
LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 467.
\Mathstrutbox@=\box26
\strutbox@=\box27
\big@size=\dimen107
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OML on input line 567.
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OMS on input line 568.
\macc@depth=\count96
\c@MaxMatrixCols=\count97
\dotsspace@=\muskip10
\c@parentequation=\count98
\dspbrk@lvl=\count99
\tag@help=\toks17
\row@=\count100
\column@=\count101
\maxfields@=\count102
\andhelp@=\toks18
\eqnshift@=\dimen108
\alignsep@=\dimen109
\tagshift@=\dimen110
\tagwidth@=\dimen111
\totwidth@=\dimen112
\lineht@=\dimen113
\@envbody=\toks19
\multlinegap=\skip44
\multlinetaggap=\skip45
\mathdisplay@stack=\toks20
LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2666.
LaTeX Info: Redefining \] on input line 2667.
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty
Package: amssymb 2002/01/22 v2.2d
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty
Package: amsfonts 2001/10/25 v2.2f
\symAMSa=\mathgroup4
\symAMSb=\mathgroup5
LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathfrak' in version `bold'
(Font)                  U/euf/m/n --> U/euf/b/n on input line 132.
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/alltt.sty
Package: alltt 1997/06/16 v2.0g defines alltt environment
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphicx.sty
Package: graphicx 1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/keyval.sty
Package: keyval 1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC)
\KV@toks@=\toks21
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphics.sty
Package: graphics 2006/02/20 v1.0o Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/trig.sty
Package: trig 1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC)
) (/etc/texmf/tex/latex/config/graphics.cfg
File: graphics.cfg 2007/01/18 v1.5 graphics configuration of teTeX/TeXLive
)
Package graphics Info: Driver file: pdftex.def on input line 90.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pdftex-def/pdftex.def
File: pdftex.def 2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX
\Gread@gobject=\count103
))
\Gin@req@height=\dimen114
\Gin@req@width=\dimen115
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/wrapfig/wrapfig.sty
\wrapoverhang=\dimen116
\WF@size=\dimen117
\c@WF@wrappedlines=\count104
\WF@box=\box28
\WF@everypar=\toks22
Package: wrapfig 2003/01/31  v 3.6
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/fancyhdr/fancyhdr.sty
\fancy@headwidth=\skip46
\f@ncyO@elh=\skip47
\f@ncyO@erh=\skip48
\f@ncyO@olh=\skip49
\f@ncyO@orh=\skip50
\f@ncyO@elf=\skip51
\f@ncyO@erf=\skip52
\f@ncyO@olf=\skip53
\f@ncyO@orf=\skip54
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/geometry/geometry.sty
Package: geometry 2002/07/08 v3.2 Page Geometry
\Gm@cnth=\count105
\Gm@cntv=\count106
\c@Gm@tempcnt=\count107
\Gm@bindingoffset=\dimen118
\Gm@wd@mp=\dimen119
\Gm@odd@mp=\dimen120
\Gm@even@mp=\dimen121
\Gm@dimlist=\toks23
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/hyperref.sty
Package: hyperref 2007/02/07 v6.75r Hypertext links for LaTeX
\@linkdim=\dimen122
\Hy@linkcounter=\count108
\Hy@pagecounter=\count109
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/pd1enc.def
File: pd1enc.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO)
) (/etc/texmf/tex/latex/config/hyperref.cfg
File: hyperref.cfg 2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/kvoptions.sty
Package: kvoptions 2006/08/22 v2.4 Connects package keyval with LaTeX options (
HO)
)
Package hyperref Info: Option `hyperfootnotes' set `false' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `bookmarks' set `true' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `linktocpage' set `false' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `pdfdisplaydoctitle' set `true' on input line 223
8.
Package hyperref Info: Option `pdfpagelabels' set `true' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `bookmarksopen' set `true' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `colorlinks' set `true' on input line 2238.
Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 2288.
Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 2293.
Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 2296.
Package hyperref Info: Plain pages OFF on input line 2303.
Package hyperref Info: Backreferencing OFF on input line 2308.
Implicit mode ON; LaTeX internals redefined
Package hyperref Info: Bookmarks ON on input line 2444.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ltxmisc/url.sty
\Urlmuskip=\muskip11
Package: url 2005/06/27  ver 3.2  Verb mode for urls, etc.
)
LaTeX Info: Redefining \url on input line 2599.
\Fld@menulength=\count110
\Field@Width=\dimen123
\Fld@charsize=\dimen124
\Choice@toks=\toks24
\Field@toks=\toks25
Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 3102.
Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 3107.
Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 3110.
Package hyperref Info: backreferencing OFF on input line 3117.
Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 3120.
\Hy@abspage=\count111
\c@Item=\count112
)
*hyperref using driver hpdftex*
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/hpdftex.def
File: hpdftex.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX
\Fld@listcount=\count113
)
\c@Parno=\count114
\c@Chapter=\count115
(./29783-t.aux)
\openout1 = `29783-t.aux'.

LaTeX Font Info:    Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 408.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 408.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for T1/lmr/m/n on input line 408.
LaTeX Font Info:    Try loading font information for T1+lmr on input line 408.
(/usr/share/texmf/tex/latex/lm/t1lmr.fd
File: t1lmr.fd 2007/01/14 v1.3 Font defs for Latin Modern
)
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 408.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 408.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 408.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 408.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 408.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 408.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 408.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 408.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 408.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for TS1/cmr/m/n on input line 408.
LaTeX Font Info:    Try loading font information for TS1+cmr on input line 408.

(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/ts1cmr.fd
File: ts1cmr.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
)
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 408.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for PD1/pdf/m/n on input line 408.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 408.
LaTeX Info: Redefining \dots on input line 408.
-------------------- Geometry parameters
paper: class default
landscape: --
twocolumn: --
twoside: true
asymmetric: --
h-parts: 79.49698pt, 415.55249pt, 119.24553pt
v-parts: 86.724pt, 578.15999pt, 130.086pt
hmarginratio: 2:3
vmarginratio: 2:3
lines: --
heightrounded: --
bindingoffset: 0.0pt
truedimen: --
includehead: --
includefoot: --
includemp: --
driver: pdftex
-------------------- Page layout dimensions and switches
\paperwidth  614.295pt
\paperheight 794.96999pt
\textwidth  415.55249pt
\textheight 578.15999pt
\oddsidemargin  7.22699pt
\evensidemargin 46.97554pt
\topmargin  -17.41978pt
\headheight 12.0pt
\headsep    19.8738pt
\footskip   30.0pt
\marginparwidth 98.0pt
\marginparsep   7.0pt
\columnsep  10.0pt
\skip\footins  10.8pt plus 4.0pt minus 2.0pt
\hoffset 0.0pt
\voffset 0.0pt
\mag 1000
\@twosidetrue \@mparswitchtrue 
(1in=72.27pt, 1cm=28.45pt)
-----------------------
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/color.sty
Package: color 2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC)
(/etc/texmf/tex/latex/config/color.cfg
File: color.cfg 2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive
)
Package color Info: Driver file: pdftex.def on input line 130.
)
Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 408.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/nameref.sty
Package: nameref 2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/refcount.sty
Package: refcount 2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO)
)
\c@section@level=\count116
)
LaTeX Info: Redefining \ref on input line 408.
LaTeX Info: Redefining \pageref on input line 408.
(./29783-t.out) (./29783-t.out)
\@outlinefile=\write3
\openout3 = `29783-t.out'.

LaTeX Font Info:    Try loading font information for T1+cmtt on input line 421.

(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/t1cmtt.fd
File: t1cmtt.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
)
LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+msa on input line 444.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsa.fd
File: umsa.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
)
LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+msb on input line 444.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsb.fd
File: umsb.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
) [1

{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] [2

] [1

] [2

] [1] [2] [3] [4] <./images/007a.pdf, id=490, 146.5475pt x 145.54375pt>
File: ./images/007a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/007a.pdf> <./images/007b.pdf, id=491, 146.5475pt x 145.54375pt>
File: ./images/007b.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/007b.pdf> [1

 <./images/007a.pdf> <./images/007b.pdf>] [2]
Overfull \hbox (13.85364pt too wide) detected at line 841
\OT1/cmr/m/n/12 (1)  []  (2)  []
 []

[3] <./images/010a.pdf, id=540, 160.6pt x 145.54375pt>
File: ./images/010a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/010a.pdf>
File: ./images/010a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/010a.pdf> <./images/011b.pdf, id=541, 160.6pt x 146.5475pt>
File: ./images/011b.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/011b.pdf> [4 <./images/010a.pdf>] [5 <./images/011b.pdf>]
Overfull \hbox (0.77466pt too wide) in paragraph at lines 1086--1086
[] 
 []


Overfull \hbox (46.51907pt too wide) in paragraph at lines 1128--1128
[] 
 []


Overfull \hbox (23.02481pt too wide) in paragraph at lines 1101--1133
| $[]$ 
 []

[6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] <./images/021a.pdf, id=634, 110.4125pt x 110.412
5pt>
File: ./images/021a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/021a.pdf> [13]
Underfull \hbox (badness 2529) in paragraph at lines 1565--1582
\T1/cmr/m/n/12 tranche ra-di-ale, et soudons les deux bouts. On
 []

<./images/021b.pdf, id=641, 154.5775pt x 128.48pt>
File: ./images/021b.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/021b.pdf> [14 <./images/021a.pdf> <./images/021b.pdf>] <./images/
022a.pdf, id=660, 114.4275pt x 152.57pt>
File: ./images/022a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/022a.pdf> [15 <./images/022a.pdf>] <./images/023a.pdf, id=668, 82
.3075pt x 199.74625pt>
File: ./images/023a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/023a.pdf> <./images/023b.pdf, id=669, 89.33376pt x 191.71625pt>
File: ./images/023b.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/023b.pdf> <./images/023c.pdf, id=670, 160.6pt x 123.46124pt>
File: ./images/023c.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/023c.pdf> [16 <./images/023a.pdf> <./images/023b.pdf> <./images/0
23c.pdf>] <./images/024a.pdf, id=686, 189.70876pt x 201.75375pt>
File: ./images/024a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/024a.pdf> <./images/024b.pdf, id=687, 112.42pt x 126.4725pt>
File: ./images/024b.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/024b.pdf> [17 <./images/024a.pdf> <./images/024b.pdf>] [18] [19] 
<./images/027a.pdf, id=719, 110.4125pt x 110.4125pt>
File: ./images/027a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/027a.pdf> [20 <./images/027a.pdf>] [21] <./images/029a.pdf, id=75
1, 173.64874pt x 95.35625pt>
File: ./images/029a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/029a.pdf>
Underfull \hbox (badness 1533) in paragraph at lines 2000--2012
[][]\T1/cmr/m/n/12 Celle que nous avons trou-vée n'est
 []

<./images/030a.pdf, id=752, 141.52875pt x 147.55125pt>
File: ./images/030a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/030a.pdf> [22 <./images/029a.pdf> <./images/030a.pdf>]
Overfull \hbox (6.04103pt too wide) in paragraph at lines 2055--2057
[]\T1/cmr/m/n/12 Supposons main-tenant que la sur-face $\OT1/cmr/m/n/12 ^^F$ \T
1/cmr/m/n/12 en décrois-sant in-fin-i-ment d'une manière
 []

[23]
Underfull \vbox (badness 1609) has occurred while \output is active []

[24] <./images/033a.pdf, id=793, 143.53625pt x 128.48pt>
File: ./images/033a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/033a.pdf> [25 <./images/033a.pdf>] <./images/033b.pdf, id=815, 13
0.4875pt x 56.21pt>
File: ./images/033b.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/033b.pdf> <./images/034a.pdf, id=816, 102.3825pt x 110.4125pt>
File: ./images/034a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/034a.pdf> <./images/034b.pdf, id=817, 102.3825pt x 110.4125pt>
File: ./images/034b.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/034b.pdf> <./images/034c.pdf, id=818, 110.4125pt x 110.4125pt>
File: ./images/034c.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/034c.pdf> [26 <./images/033b.pdf> <./images/034a.pdf> <./images/0
34b.pdf>] [27 <./images/034c.pdf>] [28] <./images/038a.pdf, id=867, 103.38625pt
 x 44.165pt>
File: ./images/038a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/038a.pdf>
Underfull \vbox (badness 4531) has occurred while \output is active []

[29] [30 <./images/038a.pdf>] [31] [32] [33]
Overfull \hbox (0.23227pt too wide) in paragraph at lines 2663--2667
[]\T1/cmr/m/n/12 La dé-com-po-si-tion de $\OML/cmm/m/it/12 F$ \T1/cmr/m/n/12 en
 ses di-viseurs peut se faire d'une in-finité de manières.
 []

[34] [35] [36]
Overfull \hbox (1.79791pt too wide) detected at line 2796
[] []
 []


Overfull \hbox (6.14494pt too wide) detected at line 2838
[] []
 []

[37]
Overfull \hbox (15.3391pt too wide) detected at line 2872
[][]     \OT1/cmr/m/n/10.95 = [][] \OML/cmm/m/it/10.95 ;  [][]     \OT1/cmr/m/n
/10.95 = [][] \OML/cmm/m/it/10.95 ;  [][]     \OT1/cmr/m/n/10.95 = [][] []  \OM
L/cmm/m/it/10.95 :
 []

[38] [39] [40] [41] <./images/050a.pdf, id=986, 128.48pt x 128.48pt>
File: ./images/050a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/050a.pdf> <./images/051a.pdf, id=987, 144.54pt x 152.57pt>
File: ./images/051a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/051a.pdf> <./images/051b.pdf, id=988, 144.54pt x 156.585pt>
File: ./images/051b.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/051b.pdf> [42 <./images/050a.pdf>]
Underfull \hbox (badness 1331) in paragraph at lines 3188--3202
\T1/cmr/m/n/12 et ap-pelons $\OML/cmm/m/it/12 ^^[[]$ \T1/cmr/m/n/12 une sur-fac
e
 []


Underfull \hbox (badness 1303) in paragraph at lines 3188--3202
\T1/cmr/m/n/12 par le cône et ayant pour
 []

[43 <./images/051a.pdf> <./images/051b.pdf>] <./images/053a.pdf, id=1043, 185.6
9376pt x 120.45pt>
File: ./images/053a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/053a.pdf> <./images/053b.pdf, id=1044, 185.69376pt x 120.45pt>
File: ./images/053b.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/053b.pdf> [44 <./images/053a.pdf>]
Overfull \hbox (12.7762pt too wide) detected at line 3341
[] []
 []

[45 <./images/053b.pdf>] <./images/055a.pdf, id=1084, 201.75375pt x 122.4575pt>
File: ./images/055a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/055a.pdf>
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[46 <./images/055a.pdf>]
Overfull \hbox (16.81837pt too wide) detected at line 3515
[] []
 []

[47]
Overfull \hbox (6.16205pt too wide) detected at line 3576
[] []
 []

<./images/057a.pdf, id=1108, 146.5475pt x 109.40875pt>
File: ./images/057a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/057a.pdf> [48]
Overfull \hbox (28.96294pt too wide) detected at line 3634
[]\OML/cmm/m/it/10.95 v\OT1/cmr/m/n/10.95 (\OML/cmm/m/it/10.95 x[] y[] z[]\OT1/
cmr/m/n/10.95 ) = [] [][] \OML/cmm/m/it/10.95 ds [] ;
 []

<./images/057b.pdf, id=1118, 218.8175pt x 162.6075pt>
File: ./images/057b.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/057b.pdf> <./images/058a.pdf, id=1119, 218.8175pt x 160.6pt>
File: ./images/058a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/058a.pdf> [49 <./images/057a.pdf> <./images/057b.pdf> <./images/0
58a.pdf>] <./images/058b.pdf, id=1159, 248.93pt x 182.6825pt>
File: ./images/058b.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/058b.pdf>
Overfull \hbox (4.00078pt too wide) detected at line 3704
[] []
 []

<./images/059a.pdf, id=1160, 192.72pt x 104.39pt>
File: ./images/059a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/059a.pdf> [50 <./images/058b.pdf>] <./images/060a.pdf, id=1183, 3
54.32375pt x 127.47626pt>
File: ./images/060a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/060a.pdf> [51 <./images/059a.pdf> <./images/060a.pdf>]
Overfull \hbox (1.88567pt too wide) in paragraph at lines 3863--3863
[] 
 []

<./images/061a.pdf, id=1208, 256.96pt x 140.525pt>
File: ./images/061a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/061a.pdf> [52 <./images/061a.pdf>] [53] [54]
Overfull \hbox (11.59103pt too wide) detected at line 4053
[] []
 []

[55] [56]
Overfull \hbox (19.2471pt too wide) in paragraph at lines 4145--4161
[]\T1/cmr/m/n/12 Je pos-sé-dais en 1892 ce théorème lorsque j'é-tu-di-ais le mé
-moire de M$[]$ Kowalewski
 []

[57] [58] [59] [60] <./images/070a.pdf, id=1290, 161.60374pt x 151.56625pt>
File: ./images/070a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/070a.pdf> [61 <./images/070a.pdf>] <./images/071a.pdf, id=1303, 1
61.60374pt x 151.56625pt>
File: ./images/071a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/071a.pdf> [62 <./images/071a.pdf>] <./images/072a.pdf, id=1325, 1
43.53625pt x 133.49875pt>
File: ./images/072a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/072a.pdf> <./images/073a.pdf, id=1326, 136.51pt x 130.4875pt>
File: ./images/073a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/073a.pdf> [63 <./images/072a.pdf> <./images/073a.pdf>] <./images/
073b.pdf, id=1352, 161.60374pt x 218.8175pt>
File: ./images/073b.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/073b.pdf> <./images/073c.pdf, id=1353, 215.80624pt x 208.78pt>
File: ./images/073c.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/073c.pdf> [64 <./images/073b.pdf> <./images/073c.pdf>] <./images/
075a.pdf, id=1384, 179.67125pt x 167.62625pt>
File: ./images/075a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/075a.pdf> [65 <./images/075a.pdf>]
Underfull \vbox (badness 3281) has occurred while \output is active []

[66] <./images/076a.pdf, id=1407, 204.765pt x 195.73125pt>
File: ./images/076a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/076a.pdf> [67 <./images/076a.pdf>] <./images/077a.pdf, id=1427, 1
18.4425pt x 98.3675pt>
File: ./images/077a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/077a.pdf>
Overfull \hbox (18.20973pt too wide) detected at line 4731
\OML/cmm/m/it/12 X \OT1/cmr/m/n/12 = \OML/cmm/m/it/12 v[] \OMS/cmsy/m/n/12 ^^@ 
\OML/cmm/m/it/12 u[];  Y \OT1/cmr/m/n/12 = \OML/cmm/m/it/12 i [] ;  Z \OT1/cmr/
m/n/12 = \OML/cmm/m/it/12 uv
 []

[68 <./images/077a.pdf>] <./images/078a.pdf, id=1439, 199.74625pt x 175.65625pt
>
File: ./images/078a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/078a.pdf> <./images/079a.pdf, id=1440, 204.765pt x 187.70125pt>
File: ./images/079a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/079a.pdf> <./images/079b.pdf, id=1441, 201.75375pt x 219.82124pt>
File: ./images/079b.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/079b.pdf> <./images/079c.pdf, id=1442, 216.81pt x 225.84375pt>
File: ./images/079c.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/079c.pdf> [69 <./images/078a.pdf>]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[70 <./images/079a.pdf> <./images/079b.pdf> <./images/079c.pdf>] [71]
Overfull \hbox (0.63164pt too wide) detected at line 4984
[] [] \OT1/cmr/m/n/12 = [] [] \OML/cmm/m/it/12 u\OT1/cmr/m/n/12 (\OML/cmm/m/it/
12 t[] z[]\OT1/cmr/m/n/12 )
 []


Overfull \hbox (7.81781pt too wide) detected at line 5007
[] []
 []

[72] <./images/082a.pdf, id=1536, 184.69pt x 163.61125pt>
File: ./images/082a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/082a.pdf>
Overfull \hbox (0.716pt too wide) detected at line 5059
\OT1/cmr/m/n/10.95 2(\OML/cmm/m/it/10.95 m\OT1/cmr/m/n/10.95 )[] \OML/cmm/m/it/
10.95 u\OT1/cmr/m/n/10.95 (\OML/cmm/m/it/10.95 t[] z[]\OT1/cmr/m/n/10.95 ) = []
 [] \OML/cmm/m/it/10.95 :
 []

[73 <./images/082a.pdf>] [74]
Overfull \hbox (4.93651pt too wide) in paragraph at lines 5119--5125
[]\T1/cmr/m/n/12 Or on dé-mon-tre que $\OML/cmm/m/it/12 V$ \T1/cmr/m/n/12 est d
éter-minée si l'on con-naît les valeurs $\OML/cmm/m/it/12 V[]$ \T1/cmr/m/n/12 e
t $[][] \OT1/cmr/m/n/12 =
 []

[75] [76] <./images/087a.pdf, id=1581, 118.4425pt x 113.42375pt>
File: ./images/087a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/087a.pdf> [77]
Overfull \hbox (3.34244pt too wide) detected at line 5299
[] [] [][] []\OML/cmm/m/it/12 ;  [] [][] [];  [] [][] []
 []

<./images/088a.pdf, id=1595, 173.64874pt x 164.615pt>
File: ./images/088a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/088a.pdf> [78 <./images/087a.pdf> <./images/088a.pdf>] <./images/
decoration.pdf, id=1618, 469.755pt x 40.15pt>
File: ./images/decoration.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/decoration.pdf> [79 <./images/decoration.pdf>] [80

]
Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5360--5372

 []

[81] [82

]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[83]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[84]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[85]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[86]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[87]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[88] [89] (./29783-t.aux)

 *File List*
    book.cls    2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class
   leqno.clo    1998/08/17 v1.1c Standard LaTeX option (left equation numbers)
    bk12.clo    2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option)
inputenc.sty    2006/05/05 v1.1b Input encoding file
  latin1.def    2006/05/05 v1.1b Input encoding file
 fontenc.sty
   t1enc.def    2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX file
   babel.sty    2005/11/23 v3.8h The Babel package
 frenchb.ldf
 frenchb.cfg
textcomp.sty    2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX package
  ts1enc.def    2001/06/05 v3.0e (jk/car/fm) Standard LaTeX file
  ifthen.sty    2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC)
 amsmath.sty    2000/07/18 v2.13 AMS math features
 amstext.sty    2000/06/29 v2.01
  amsgen.sty    1999/11/30 v2.0
  amsbsy.sty    1999/11/29 v1.2d
  amsopn.sty    1999/12/14 v2.01 operator names
 amssymb.sty    2002/01/22 v2.2d
amsfonts.sty    2001/10/25 v2.2f
   alltt.sty    1997/06/16 v2.0g defines alltt environment
graphicx.sty    1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
  keyval.sty    1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC)
graphics.sty    2006/02/20 v1.0o Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
    trig.sty    1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC)
graphics.cfg    2007/01/18 v1.5 graphics configuration of teTeX/TeXLive
  pdftex.def    2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX
 wrapfig.sty    2003/01/31  v 3.6
fancyhdr.sty    
geometry.sty    2002/07/08 v3.2 Page Geometry
hyperref.sty    2007/02/07 v6.75r Hypertext links for LaTeX
  pd1enc.def    2007/02/07 v6.75r Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO)
hyperref.cfg    2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive
kvoptions.sty    2006/08/22 v2.4 Connects package keyval with LaTeX options (HO
)
     url.sty    2005/06/27  ver 3.2  Verb mode for urls, etc.
 hpdftex.def    2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX
   t1lmr.fd    2007/01/14 v1.3 Font defs for Latin Modern
  ts1cmr.fd    1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
   color.sty    2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC)
   color.cfg    2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive
 nameref.sty    2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section
refcount.sty    2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO)
 29783-t.out
 29783-t.out
  t1cmtt.fd    1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
    umsa.fd    2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
    umsb.fd    2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
./images/007a.pdf
./images/007b.pdf
./images/010a.pdf
./images/010a.pdf
./images/011b.pdf
./images/021a.pdf
./images/021b.pdf
./images/022a.pdf
./images/023a.pdf
./images/023b.pdf
./images/023c.pdf
./images/024a.pdf
./images/024b.pdf
./images/027a.pdf
./images/029a.pdf
./images/030a.pdf
./images/033a.pdf
./images/033b.pdf
./images/034a.pdf
./images/034b.pdf
./images/034c.pdf
./images/038a.pdf
./images/050a.pdf
./images/051a.pdf
./images/051b.pdf
./images/053a.pdf
./images/053b.pdf
./images/055a.pdf
./images/057a.pdf
./images/057b.pdf
./images/058a.pdf
./images/058b.pdf
./images/059a.pdf
./images/060a.pdf
./images/061a.pdf
./images/070a.pdf
./images/071a.pdf
./images/072a.pdf
./images/073a.pdf
./images/073b.pdf
./images/073c.pdf
./images/075a.pdf
./images/076a.pdf
./images/077a.pdf
./images/078a.pdf
./images/079a.pdf
./images/079b.pdf
./images/079c.pdf
./images/082a.pdf
./images/087a.pdf
./images/088a.pdf
./images/decoration.pdf
 ***********

 ) 
Here is how much of TeX's memory you used:
 6206 strings out of 95086
 81941 string characters out of 1183255
 143218 words of memory out of 1500000
 8733 multiletter control sequences out of 10000+50000
 24994 words of font info for 70 fonts, out of 1200000 for 2000
 28 hyphenation exceptions out of 8191
 27i,15n,43p,258b,488s stack positions out of 5000i,500n,6000p,200000b,5000s
 </home/widger/.texmf-var/fonts/pk/ljfour/jknappen/ec/ecrm1000.600pk> </home/
widger/.texmf-var/fonts/pk/ljfour/jknappen/ec/tcrm1200.600pk> </home/widger/.te
xmf-var/fonts/pk/ljfour/jknappen/ec/eccc1200.600pk> </home/widger/.texmf-var/fo
nts/pk/ljfour/jknappen/ec/ecti1200.600pk> </home/widger/.texmf-var/fonts/pk/ljf
our/jknappen/ec/ecbx1095.600pk> </home/widger/.texmf-var/fonts/pk/ljfour/jknapp
en/ec/ecbx1200.600pk> </home/widger/.texmf-var/fonts/pk/ljfour/jknappen/ec/ecbx
1728.600pk> </home/widger/.texmf-var/fonts/pk/ljfour/jknappen/ec/tcrm1095.600pk
> </home/widger/.texmf-var/fonts/pk/ljfour/jknappen/ec/ecrm1200.600pk> </home/w
idger/.texmf-var/fonts/pk/ljfour/jknappen/ec/ecbx2488.600pk> </home/widger/.tex
mf-var/fonts/pk/ljfour/jknappen/ec/ecrm0800.600pk> </home/widger/.texmf-var/fon
ts/pk/ljfour/jknappen/ec/ecrm1095.600pk> </home/widger/.texmf-var/fonts/pk/ljfo
ur/jknappen/ec/ecbx1440.600pk> </home/widger/.texmf-var/fonts/pk/ljfour/jknappe
n/ec/ectt0900.600pk></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmex10.pfb
></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi10.pfb></usr/share/texmf-
texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi12.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1
/bluesky/cm/cmmi6.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi7.pf
b></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi8.pfb></usr/share/texmf-
texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/
bluesky/cm/cmr12.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr6.pfb>
</usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr7.pfb></usr/share/texmf-tex
live/fonts/type1/bluesky/cm/cmr8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/blue
sky/cm/cmsy10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy6.pfb></
usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy7.pfb></usr/share/texmf-texl
ive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy8.pfb>
Output written on 29783-t.pdf (97 pages, 1079383 bytes).
PDF statistics:
 2335 PDF objects out of 2487 (max. 8388607)
 495 named destinations out of 1000 (max. 131072)
 1104 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000)

