% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
%                                                                         %
% The Project Gutenberg EBook of Abrégé de la Théorie des Fonctions       %
% Elliptiques, by Charles Henry                                           %
%                                                                         %
% This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with        %
% almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or    %
% re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included     %
% with this eBook or online at www.gutenberg.org                          %
%                                                                         %
%                                                                         %
% Title: Abrégé de la Théorie des Fonctions Elliptiques                   %
%        A l'Usage des Candidats a la Licence ès Sciences Mathématiques   %
%                                                                         %
% Author: Charles Henry                                                   %
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% Release Date: June 1, 2010 [EBook #32643]                               %
%                                                                         %
% Language: French                                                        %
%                                                                         %
% Character set encoding: ISO-8859-1                                      %
%                                                                         %
% *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK FONCTIONS ELLIPTIQUES ***     %
%                                                                         %
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %

\def\ebook{32643}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%                                                                  %%
%% Packages and substitutions:                                      %%
%%                                                                  %%
%% book:     Required.                                              %%
%% inputenc: Standard DP encoding. Required.                        %%
%% fontenc:  For boldface small-caps. Required.                     %%
%% babel:    For Greek snippets. Required.                          %%
%%                                                                  %%
%% calc:     Infix arithmetic. Required.                            %%
%%                                                                  %%
%% textcomp: Better ditto marks. Optional.                          %%
%% fix-cm:   For larger title page fonts. Optional.                 %%
%% ifthen:   Logical conditionals. Required.                        %%
%%                                                                  %%
%% amsmath:  AMS mathematics enhancements. Required.                %%
%% amssymb:  Additional mathematical symbols. Required.             %%
%% mathrsfs: AMS Script fonts. Optional.                            %%
%%                                                                  %%
%% alltt:    Fixed-width font environment. Required.                %%
%% array:    Enhanced tabular features. Required.                   %%
%%                                                                  %%
%% indentfirst: Optional.                                           %%
%% textcase: Apply \MakeUppercase (et al.) only to text, not math.  %%
%%           Required.                                              %%
%%                                                                  %%
%% footmisc: Extended footnote capabilities. Required.              %%
%%                                                                  %%
%% fancyhdr: Enhanced running headers and footers. Required.        %%
%%                                                                  %%
%% graphicx: Standard interface for graphics inclusion. Required.   %%
%% wrapfig:  Illustrations surrounded by text. Required.            %%
%%                                                                  %%
%% geometry: Enhanced page layout package. Required.                %%
%% hyperref: Hypertext embellishments for pdf output. Required.     %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% Producer's Comments:                                             %%
%%                                                                  %%
%%   Minor spelling and punctuation corrections are marked with     %%
%%   \DPtypo{original}{corrected}. Other changes are [** TN: noted] %%
%%   in the file.                                                   %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% Compilation Flags:                                               %%
%%                                                                  %%
%%   The following behavior may be controlled with a boolean flag.  %%
%%                                                                  %%
%%   ForPrinting (false by default):                                %%
%%   Compile a print-optimized PDF file. Set to false for screen-   %%
%%   optimized file (pages cropped, one-sided, blue hyperlinks).    %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% Things to Check:                                                 %%
%%                                                                  %%
%% Spellcheck: .................................. OK                %%
%% Smoothreading pool: ......................... yes                %%
%%                                                                  %%
%% lacheck: ..................................... OK                %%
%%   About 40 false positives                                       %%
%%                                                                  %%
%% PDF pages: 129 (if ForPrinting set to false)                     %%
%% PDF page size: 5.25 x 8in (non-standard)                         %%
%% PDF bookmarks: created, point to chapters and sections           %%
%% PDF document info: filled in                                     %%
%% 13 illustrations (pdf files)                                     %%
%%                                                                  %%
%% Summary of log file:                                             %%
%% * One overfull hbox (largest ~4.6pt).                            %%
%% * One underfull hbox.                                            %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% Compile History:                                                 %%
%%                                                                  %%
%% May, 2010: adhere (Andrew D. Hwang)                              %%
%%              texlive2007, GNU/Linux                              %%
%%                                                                  %%
%% Command block:                                                   %%
%%                                                                  %%
%%     pdflatex x3                                                  %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% June 2010: pglatex.                                              %%
%%   Compile this project with:                                     %%
%%   pdflatex 32643-t.tex ..... THREE times                         %%
%%                                                                  %%
%%   pdfTeXk, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6)                 %%
%%                                                                  %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\listfiles
\documentclass[12pt,leqno]{book}[2005/09/16]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% PACKAGES %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\usepackage[latin1]{inputenc}[2006/05/05] %% DP standard encoding
\usepackage[T1]{fontenc}[2005/09/27]

\usepackage[french]{babel}    % the language

\usepackage{calc}[2005/08/06]

\IfFileExists{textcomp.sty}{%    %% For ditto marks
\usepackage{textcomp}[2005/09/27]%
}{}


\usepackage{ifthen}[2001/05/26]  %% Logical conditionals

\usepackage{amsmath}[2000/07/18] %% Displayed equations
\usepackage{amssymb}[2002/01/22] %% and additional symbols

\IfFileExists{mathrsfs.sty}{%
  \usepackage{mathrsfs}
  \newcommand{\R}{\mathscr{R}}%
}{% else
  \newcommand{\R}{\mathcal{R}}%
}

\usepackage{alltt}[1997/06/16]   %% boilerplate, credits, license

\usepackage{array}[2005/08/23]   %% extended array/tabular features

\IfFileExists{indentfirst.sty}{%
\usepackage{indentfirst}[1995/11/23]
}{}
\usepackage{textcase}[2004/10/07]

                                 %% extended footnote capabilities
\usepackage[perpage]{footmisc}[2005/03/17]

\usepackage{graphicx}[1999/02/16]%% For a diagram,
\usepackage{wrapfig}[2003/01/31] %% wrapping text around it,

% for running heads; no package date available
\usepackage{fancyhdr}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%             Conditional compilation switches            %%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%        Set up PRINTING (default) or SCREEN VIEWING      %%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% ForPrinting=true (default)           false
% Letterpaper                          Cropped pages
% Asymmetric margins                   Symmetric margins
% Black hyperlinks                     Blue hyperlinks
\newboolean{ForPrinting}

%% COMMENT the next line for a SCREEN-OPTIMIZED VERSION of the text %%
%\setboolean{ForPrinting}{true}

%% Initialize values to ForPrinting=false
\newcommand{\Margins}{hmarginratio=1:1}     % Symmetric margins
\newcommand{\HLinkColor}{blue}              % Hyperlink color
\newcommand{\PDFPageLayout}{SinglePage}
\newcommand{\TransNote}{Notes sur la transcription}
\newcommand{\TransNoteText}{%
  Ce livre a été préparé à l'aide d'images fournies par la Cornell
  University Library: Historical Mathematics Monographs collection.
  \bigskip

  Ce fichier est optimisé pour être lu sur un écran, mais peut être
  aisément reformaté pour être imprimé. Veuillez consulter le
  préambule du fichier \LaTeX\ source pour les instructions.
}

%% Re-set if ForPrinting=true
\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{%
  \renewcommand{\Margins}{hmarginratio=2:3} % Asymmetric margins
  \renewcommand{\HLinkColor}{black}         % Hyperlink color
  \renewcommand{\PDFPageLayout}{TwoPageRight}
  \renewcommand{\TransNoteText}{%
    Ce livre a été préparé à l'aide d'images fournies par la Cornell
    University Library: Historical Mathematics Monographs collection.
    \bigskip

    Ce fichier est optimisée pour imprimer, mais peut être aisément
    reformater pour être lu sur un écran. Veuillez consulter le
    préambule du fichier \LaTeX\ source pour les instructions.
  }
}{% If ForPrinting=false, don't skip to recto
  \renewcommand{\cleardoublepage}{\clearpage}
}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%  End of PRINTING/SCREEN VIEWING code; back to packages  %%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{%
  \setlength{\paperwidth}{8.5in}%
  \setlength{\paperheight}{11in}%
  \usepackage[body={5in,6.66in},\Margins]{geometry}[2002/07/08]
}{%
  \setlength{\paperwidth}{5.25in}%
  \setlength{\paperheight}{8in}%
  \raggedbottom
  \usepackage[body={5in,6.66in},\Margins,includeheadfoot]{geometry}[2002/07/08]
}

\providecommand{\ebook}{00000}    % Overridden during white-washing
\usepackage[pdftex,
  hyperref,
  hyperfootnotes=false,
  pdftitle={The Project Gutenberg eBook \#\ebook: Abrege de la Theorie des Fonctions Elliptiques},
  pdfauthor={Charles Henry},
  pdfkeywords={Andrew D. Hwang, Joshua Hutchinson,
               Project Gutenberg Online Distributed Proofreading Team,
               Cornell University Library: Historical Mathematics Monographs},
  pdfstartview=Fit,    % default value
  pdfstartpage=1,      % default value
  pdfpagemode=UseNone, % default value
  bookmarks=true,      % default value
  linktocpage=false,   % default value
  pdfpagelayout=\PDFPageLayout,
  pdfdisplaydoctitle,
  pdfpagelabels=true,
  bookmarksopen=true,
  bookmarksopenlevel=0,
  colorlinks=true,
  linkcolor=\HLinkColor]{hyperref}[2007/02/07]

%%%% Re-crop, squash screen-formatted version, omit blank verso pages
\ifthenelse{\not\boolean{ForPrinting}}{%
  \hypersetup{pdfpagescrop= 0 30 378 566}%
  \raggedbottom%
  \renewcommand{\cleardoublepage}{\clearpage}
}{}% Else do nothing


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% COMMANDS %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%% Fixed-width environment to format PG boilerplate %%%%
% 9.2pt leaves no overfull hbox at 80 char line width
\newenvironment{PGtext}{%
\begin{alltt}
\fontsize{9.2}{10.5}\ttfamily\selectfont}%
{\end{alltt}}


%% Surround footnote markers with upright parentheses
\makeatletter
\renewcommand\@makefnmark%
  {\mbox{\small\,\upshape(\@textsuperscript{\normalfont\@thefnmark})}}

\renewcommand\@makefntext[1]%
  {\noindent\makebox[2.4em][r]{\@makefnmark\,}#1}
\makeatother


%%%% Table of contents %%%%
\newcommand{\TableofContents}{%
  \cleardoublepage
  \phantomsection
  \pdfbookmark[-1]{Matière Subsidiaire}{Matière Subsidiaire}
  \pdfbookmark[0]{Table des Matières}{Contents}
  \fancyhead[C]{\CtrHeading{Table des Matières}}
  \footnotesize
  \tableofcontents
}

\newcommand{\ToCAnchor}{}% Used for internal bookkeeping
\AtBeginDocument{%
  \renewcommand{\contentsname}{\protect\ChapterHead{TABLE DES MATIÈRES}}
}

\newcommand{\ToCPart}[2]{%
  \section*{\normalfont\centering\small\MakeTextUppercase{#1}}
%[** TN: Regularize dots following Part subtitles]
  \subsection*{\normalfont\centering\footnotesize\bfseries #2.}
}

\newlength{\ToCLen}
\newcommand{\ToCLine}[2]{%
  \settowidth{\TmpLen}{999}%
  \settowidth{\ToCLen}{\textsc{Chapitre }VII.\ ---\ 999}%
  \noindent\parbox[b]{\linewidth - \TmpLen}{%
    \hangindent \ToCLen #2\dotfill}\hfill\pageref{#1}\medskip%
}

\newcommand{\ToCBox}[1]{%
  \ifthenelse{\equal{#1}{I}}{%
    \textsc{Chapitre }\PadTxt[l]{VII.}{#1.}\ ---\ %
  }{%
    \PadTxt{\textsc{Chapitre }}{---}\PadTxt[l]{VII.}{#1.}\ ---\ %
  }%
}

% Ensure the word "page" is printed at the top of the
% page number column in the ToC.
%
% A \ToCLine puts down a label and gets the \pageref. If this has
% changed, the column heading is written and the
% \ToCAnchor command is updated.
\newcommand{\ToCChap}[2]{%
  \label{toc:#1}%
  \ifthenelse{\not\equal{\pageref{toc:#1}}{\ToCAnchor}}{%
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% Preface
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  \clearpage

  \section*{\ChapterHead{ADDITIONS}}

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  \medskip\par%
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\newenvironment{Theorem}[1]{%
  \Paragraph[\textsc]{#1}{Théorème.}\itshape}{\normalfont}


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%[**** Boldface?]
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%% Book's notation for hyperbolic trig functions
\DeclareMathOperator{\Cosh}{cos\,h}
\DeclareMathOperator{\Tanh}{tang\,h}

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% wide as Size, with optional alignment (a = c, l, or r).
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% START OF DOCUMENT %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}

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\pagenumbering{alph}
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\pdfbookmark[-1]{Matière Préliminaire}{Front Matter}

%%%% PG BOILERPLATE %%%%
\phantomsection
\pdfbookmark[0]{PG Boilerplate}{Project Gutenberg Boilerplate}

\begin{center}
\begin{minipage}{\textwidth}
\small
\begin{PGtext}
The Project Gutenberg EBook of Abrégé de la Théorie des Fonctions
Elliptiques, by Charles Henry

This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with
almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or
re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included
with this eBook or online at www.gutenberg.org


Title: Abrégé de la Théorie des Fonctions Elliptiques
       A l'Usage des Candidats a la Licence ès Sciences Mathématiques

Author: Charles Henry

Release Date: June 1, 2010 [EBook #32643]

Language: French

Character set encoding: ISO-8859-1

*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK FONCTIONS ELLIPTIQUES ***
\end{PGtext}
\end{minipage}
\end{center}

\clearpage


%%%% Credits and transcriber's note %%%%
\begin{center}
\begin{minipage}{\textwidth}
\begin{PGtext}
Produced by Andrew D. Hwang, Joshua Hutchinson, and the
Online Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net
(This file was produced from images from the Cornell
University Library: Historical Mathematics Monographs
collection.)
\end{PGtext}
\end{minipage}
\end{center}
\vfill

\begin{minipage}{0.85\textwidth}
\small
\pdfbookmark[0]{Notes sur la transcription}{Notes sur la transcription}
\subsection*{\centering\normalfont\scshape%
\normalsize\MakeLowercase{\TransNote}}%

\raggedright
\TransNoteText
\end{minipage}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% FRONT MATTER %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\frontmatter

\pagenumbering{roman}
\pagestyle{empty}

%% -----File: 001.png---Folio xx-------

\iffalse
Production Note

Cornell University Library
produced this volume to replace
the irreparably deteriorated
original. It was scanned using
Xerox software and equipment at
600 dots per inch resolution
and compressed prior to storage
using CCITT Group 4
compression. The digital data
were used to create Cornell's
replacement volume on paper
that meets the ANSI Standard
Z39.48-1984. The production of
this volume was supported in
part by the Commission on
Preservation and Access and the
Xerox Corporation. 1990.
\fi

%% -----File: 002.png---Folio xx-------
% [Blank Page]
%% -----File: 003.png---Folio xx-------

\iffalse
Cornell University Library

BOUGHT WITH THE INCOME
FROM THE

SAGE ENDOWMENT FUND

THE GIFT OF

Henry W. Sage

1891
\fi

%% -----File: 004.png---Folio xx-------
% [Blank Page]
%% -----File: 005.png---Folio xx-------

\setlength{\TmpLen}{24pt}%

\null\vfil\vfil
\begin{center}
\Large ABRÉGÉ \\[\TmpLen]
\scriptsize DE LA \\[\TmpLen]
\makebox[0pt][c]{\Large THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES}
\end{center}
\vfil\vfil\vfil
\cleardoublepage

%% -----File: 006.png---Folio xx-------
% [Blank Page]
%% -----File: 007.png---Folio xx-------
% Title page
\setlength{\TmpLen}{20pt}%

{\titlestretch%
\begin{center}
\Large \textbf{ABRÉGÉ} \\[\TmpLen]
\normalsize DE  LA  THÉORIE \\[\TmpLen]
\scriptsize DES \\[\TmpLen]
\makebox[0pt][c]{\Huge \textbf{FONCTIONS ELLIPTIQUES}} \\[\TmpLen]
\footnotesize%
A L'USAGE DES CANDIDATS  \\
A LA LICENCE ÈS SCIENCES MATHÉMATIQUES \\[\TmpLen]
\scriptsize PAR \\[\TmpLen]
\textbf{\footnotesize\scshape Charles HENRY} \\[0.5\TmpLen]
Maître de Conférences a l'Ecole pratique des hautes études  \\
Bibliothécaire à la Sorbonne \\
Membre de la Société mathématique de France \\
\vspace*{2\TmpLen}
\tb

\vspace*{3\TmpLen}
\Large PARIS

\normalsize LIBRAIRIE NONY \& C\textsuperscript{ie}

17, {\scriptsize RUE DES ÉCOLES}, 17

1895
\end{center}}
\cleardoublepage

%% -----File: 008.png---Folio xx-------
% [Blank Page]
%% -----File: 009.png---Folio 5-------

\stretchyspace%

\Preface

En lisant la dernière édition du \textit{Cours d'analyse} de
M.~Camille Jordan, j'ai été frappé de la façon magistrale
dont y est exposée la théorie des fonctions elliptiques. Afin
de mieux m'assimiler cette partie importante d'un ouvrage
où tout est à méditer, j'en ai fait à mon usage un abrégé où
je ne me suis pas interdit de faire entrer par ci par là des
souvenirs d'autres lectures et aussi quelques idées personnelles.
Ce travail achevé, il m'a semblé que d'autres que
moi pourraient en tirer profit; de là ce petit livre, où, ne
cherchant pas à dissimuler la source à laquelle j'ai si largement
puisé, j'ai conservé toutes les notations qu'a employées
M.~Jordan.

L'étudiant qui pour la première fois ouvre un traité des
fonctions elliptiques est souvent rebuté par la multiplicité
des formules et l'abondance des calculs, dont il n'aperçoit
pas toujours le but. Mettre en relief les idées principales,
signaler nettement l'objet qu'on se propose, éviter les
longues transformations algébriques qui ne servent qu'à le
masquer, telle est la pensée qui a présidé à la composition
de cet opuscule d'ailleurs purement didactique.

Pour en alléger le plus possible le contenu, je n'ai pas
%% -----File: 010.png---Folio 6-------
hésité à sacrifier certains développements de la théorie,
intéressants mais non indispensables pour la faire comprendre.
Mon désir est d'être lu non seulement avec fruit,
mais sans fatigue, par les candidats à la licence ès sciences
mathématiques, à qui je m'adresse plus particulièrement.

\null\hfill
\Ord{1}{er}~Octobre 1894.\qquad

\vfil
\ctb
\vfil\vfil
\clearpage

%% -----File: 011.png---Folio 7-------

\mainmatter

\Part[Généralités sur les fonctions elliptiques]%
{Première Partie}{Généralités\break\normalsize
concernant les fonctions elliptiques}

%% -----File: 012.png---Folio 8-------
% [Blank Page]
%% -----File: 013.png---Folio 9-------


\Chapter{I}{Des périodes}

Dans tout ce qui suit, nous supposons connus les principes
de la théorie des fonctions d'une variable complexe,
principes dont nous aurons soin, d'ailleurs, de rappeler
l'énoncé d'une manière suffisamment nette chaque fois que
le besoin s'en fera sentir.

\Paragraph{1.}{Définitions.} --- On dit qu'une fonction~$f(u)$ est \emph{périodique}
et admet la période~$2\omega$, si elle satisfait à la relation
\[
f(u + 2\omega) = f(u).
\]

On peut se demander s'il existe des fonctions admettant
un nombre \emph{quelconque} de périodes. Nous allons voir qu'une
fonction \emph{analytique uniforme} ne peut admettre plus de \emph{deux}
périodes \emph{distinctes}. De là l'intérêt qui s'attache à l'étude des
fonctions doublement périodiques.

Nous appelons \textsc{fonction elliptique} \emph{toute fonction analytique
uniforme doublement périodique, n'ayant pas d'autres
singularités que des pôles}.

Une fonction elliptique~$f(u)$ n'a donc, dans le plan de la
variable complexe~$u$, aucun point essentiel à distance finie
de l'origine.

Expliquons le terme de \emph{périodes distinctes} dont nous venons
de nous servir. Si $f(u)$~admet plusieurs périodes $2\omega, 2\omega', \dotsc$,
%% -----File: 014.png---Folio 10-------
elle admet évidemment pour période toute quantité
\[
2m\omega + 2m'\omega' + \dotsb,
\]
où $m, m', \dotsc$ sont des entiers quelconques, positifs ou négatifs.

Si toutes ces quantités sont différentes, on dit que les périodes
$2\omega, 2\omega', \dotsc$ sont \emph{distinctes}. Quand les périodes ne
sont pas distinctes, il existe entre elles une relation linéaire
et homogène à coefficients entiers, puisque pour deux systèmes
au moins de valeurs $m_{1}, m'_{1}, \dotsc$; $m_{2}, m'_{2}, \dotsc$ attribuées
aux entiers $m, m', \dotsc$, on doit, par hypothèse, avoir
\[
  2m_{1}\omega + 2m'_{1}\omega'+ \dotsb
= 2m_{2}\omega + 2m'_{2}\omega'+ \dotsb.
\]


\begin{Theorem}{2.} --- Une fonction analytique uniforme ne peut
avoir plus de deux périodes distinctes, à moins de se réduire à
une constante.
\end{Theorem}

Supposons que la fonction~$f(u)$ ait trois périodes distinctes
\[
2\omega  = \alpha   + \beta  i,  \qquad
2\omega' = \alpha'  + \beta' i,  \qquad
2\omega''= \alpha'' + \beta''i.
\]

Toute quantité
\begin{align*}
\Omega
  &= 2m\omega + 2m'\omega' + 2m''\omega'' \\
  &= m\alpha + m'\alpha' + m''\alpha'' + (m\beta + m'\beta' + m''\beta'')i
\end{align*}
est une période de~$f(u)$.

Figurons, dans le plan de la variable complexe~$u$, le
point dont l'affixe est~$\Omega$. Ce point a pour abscisse
$m\alpha + m'\alpha' + m''\alpha''$ et pour ordonnée $m\beta + m'\beta' + m''\beta''$.

En donnant à chacun des entiers $m, m', m''$ la suite des
valeurs $0, 1, \dotsc, k$, on obtient évidemment $(k+1)^{3}$
périodes~$\Omega$. Chacun des %[Illustration]
\begin{wrapfigure}{l}{2.25in}%[** TN: Width-dependent break]
  \Input[2.25in]{015a}
\end{wrapfigure}
points correspondants a une abscisse
et une ordonnée moindres en valeur absolue que
\[
kM + kM + kM = 3kM,
\]
$M$~étant une limite supérieure des six quantités $\alpha, \alpha', \alpha''$,
$\beta, \beta', \beta''$.
%% -----File: 015.png---Folio 11-------

Les $(k+1)^3$ points~$\Omega$ sont donc tous compris à l'intérieur
d'un carré dont le centre est à l'origine et dont les
côtés, parallèles aux axes, ont pour longueur~$6kM$\@.

Donnons à~$k$ la valeur~$n^2-1$.  Les points~$\Omega$ sont au
nombre de~$n^6$.  Ils sont tous
contenus dans un carré de
côté~$6(n^2-1)M$\@.  On peut,
par des parallèles aux axes,
diviser ce carré en $n^6$ autres
de côté~$\dfrac{6(n^2-1)M}{n^3}$.

Cela posé, si les périodes
sont distinctes, les $n^6$~points
$\Omega$ le sont aussi. Dès lors ou
bien deux d'entre eux, au
moins, tombent dans une même case; ou bien il n'y a
qu'un point par case, mais alors toutes les cases sont occupées.

Dans tous les cas, il y aura deux de ces points, $\Omega', \Omega''$, dont
la distance est moindre, comme on le voit immédiatement,
que le triple du côté de chaque petit carré, c'est-à-dire
moindre que $\dfrac{18(n^2-1)M}{n^3}$, quantité qu'on peut rendre
aussi petite qu'on veut en faisant croître~$n$.

Mais la différence $\Omega' - \Omega''$ est une période, et elle a
précisément pour module la distance des deux points $\Omega', \Omega''$.
La fonction~$f(u)$ admet donc une période infiniment petite.
Ainsi, dans toute région, les points pour lesquels la
fonction analytique uniforme~$f(u)$ reprend la même valeur
ne seraient point isolés, ce qui est impossible (à moins que
$f(u)$~ne se réduise à une constante).

\begin{Theorem}{3.} --- Une fonction analytique uniforme ne peut
avoir deux périodes distinctes dont le rapport~$\tau$ soit réel, à
moins qu'elle ne se réduise à une constante.
\end{Theorem}

%% -----File: 016.png---Folio 12-------

Figurons dans le plan de la variable~$u$ les deux segments
$2\omega_1, 2\omega_2$,
% [Illustration]
\begin{wrapfigure}[8]{l}{2in}%[** TN: Width-dependent break]
  \Input[2in]{016a}
\end{wrapfigure}
qui représentent les périodes.
Puisque le rapport $\dfrac{2\omega_2}{2\omega_1} = \tau$
est réel, les segments ont la même
direction~$OU$ ou sont dans le prolongement
l'un de l'autre. On peut
toujours supposer $\tau$~positif, sans
quoi l'on prendrait pour période
$2\omega_1$~et~$-2\omega_2$ (qui est aussi une période),
et l'on serait ramené à ce cas.

Les points $2\omega_1, 2\omega_2$ sont alors d'un même côté de l'origine~$O$.

La différence $2\omega_1 - 2\omega_2 = 2\omega_3$ est une période;
nous supposons que le terme soustractif~$2\omega_2$ a le plus petit
module; sinon nous ferions la différence en sens inverse.
Le point~$2\omega_3$ est alors situé sur la direction~$OU$.

Supposons $\Mod 2\omega_3 > \Mod 2\omega_2$; on fera la différence
$2\omega_3 - 2\omega_2 = 2\omega_4$; c'est une période, et le point~$2\omega_4$ tombe
encore sur la direction~$OU$\@.

En opérant toujours de la même manière, on obtient une
suite de points, tous situés sur la droite~$OU$ entre l'origine
et le point~$2\omega_1$.

Si ces points, où la fonction~$f(u)$ reprend la même valeur,
sont en nombre indéfini, $f(u)$~admet une période infiniment
petite; il faut donc qu'elle se réduise à une constante.

S'ils sont en nombre limité, c'est que l'une des périodes~$2\DPtypo{\omega_{n'}}{\omega_n'}$
à laquelle on arrive se confond avec une période déjà
obtenue~$2\omega_n$. Mais il est évident, d'après la manière dont
on les a formées, que ces deux périodes sont des fonctions
linéaires, homogènes, à coefficients entiers, de $2\omega_1, 2\omega_2$. Ces
deux-ci ne seraient donc pas distinctes, ce qui va contre
l'hypothèse.
%% -----File: 017.png---Folio 13-------

\Paragraph{4.}{Parallélogramme des périodes.} --- La question se pose
maintenant
% [Illustration]
\begin{wrapfigure}{l}{1.5in}%[** TN: Width-dependent break]
  \Input[1.5in]{017a}
\end{wrapfigure}
de diviser le plan de la variable
complexe~$u$ en régions telles
que, lorsque $u$~décrit l'une de ces régions,
la fonction doublement périodique~$f(u)$
prend toutes les valeurs
qu'elle peut acquérir.

A partir d'un point~$O'$ (qui peut être
ou ne pas être l'origine~$O$ des coordonnées) portons deux
droites représentant en grandeur
et en direction les deux périodes
$2\omega_1, 2\omega_2$.\ --- Ces deux droites font
un angle qui n'est pas nul, d'après
le théorème précédent. On
peut donc sur ces deux droites
construire un parallélogramme~$O'ACB$;
ce sera le \emph{parallélogramme
des périodes}.

Ce parallélogramme est la région cherchée. Construisons
% [Illustration]
\begin{wrapfigure}{l}{1.75in}%[** TN: Width-dependent break]
  \Input[1.5in]{017b}\hfill
\end{wrapfigure}
en effet le réseau complet des parallélogrammes égaux à
celui-là, de manière à en recouvrir tout le plan. Les sommets
de ce réseau seront les points
\[
O' + 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2.
\]

Un point quelconque~$U$ a pour homologue dans le parallélogramme
$O'ACB$ un point~$u$ tel que
\[
U = u + 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2.
\]
On a donc $f(U) = f(u)$, ce qui prouve bien que toutes les
valeurs que peut prendre~$f(u)$ se trouvent dans le seul parallélogramme
$O'ACB$\@.

Les éléments les plus intéressants du parallélogramme
des périodes sont fournis par l'étude du rapport
\[
\tau
  = \frac{2\omega_2}{2\omega_1}
  = \frac{\alpha_2 + \beta_2 i}{\alpha_1 + \beta_1 i}
  = \frac{\alpha_1\alpha_2 + \beta_1 \beta_2}{\alpha_1^2 + \beta_1^2}
  + \frac{\alpha_1\beta_2 - \alpha_2\beta_1}{\alpha_1^2 + \beta_1^2}i
  = r + si.
\]
%% -----File: 018.png---Folio 14-------

Le signe de la partie imaginaire~$s$ de ce rapport, signe
qui d'ailleurs est celui de $\alpha_1\beta_2 - \alpha_2\beta_1$, va décider d'une
question dont nous apprécierons par la suite toute l'importance:
Quand on fait le tour du parallélogramme en
s'éloignant du point~$O'$ suivant la ligne~$2\omega_1$, la circulation
aura-t-elle lieu dans le sens direct ou dans le sens rétrograde?

L'argument du quotient de deux quantités complexes
étant égal à l'excès de l'argument du dividende sur l'argument
du diviseur, l'argument de~$\tau$ sera égal à l'angle~$\varphi$
des deux directions $2\omega_1, 2\omega_2$, angle qu'on obtient par la rotation
dans le sens \emph{direct} d'une droite couchée d'abord sur~$2\omega_1$
et venant ensuite s'appliquer sur~$2\omega_2$.
%[Illustration]
\begin{center}
  \Input{018a}
\end{center}

Quand l'angle~$\varphi$ est plus petit que~$\pi$, il est clair, comme
le montre la première des deux figures ci-dessus, que la
circulation autour du parallélogramme s'opère dans le sens
direct; elle se fait dans le sens rétrograde (\Ord{2}{e}~figure), lorsque
$\varphi$~est plus grand que~$\pi$.

Or si l'on appelle~$\rho$ le module de~$\tau$, on a
\[
\tau = \rho(\cos \varphi + i \sin \varphi) = r + si,
\]
d'où l'on conclut: $\rho \sin \varphi = s$; c'est-à-dire que $\sin \varphi$
a le signe de~$s$. Donc, quand on suit le contour dans le
sens direct, $\varphi$~étant plus petit que~$\pi$, $s$~est positif; dans le
sens rétrograde, $s$~est négatif.

Remarquons encore la signification intéressante du numérateur
de
\[
s = \frac{\alpha_1\beta_2 - \alpha_2\beta_1}
         {\alpha_1^2 + \beta_1^2 }.
\]
%% -----File: 019.png---Folio 15-------

Si nous portons notre attention sur le triangle~$O'AB$, qui
est la moitié du parallélogramme des périodes, nous voyons
que ses sommets $O', A, B$ ont respectivement pour coordonnées
(si l'on place l'origine en~$O'$)
\[
0,0; \qquad  \alpha_1, \beta_1; \qquad  \alpha_2, \beta_2.
\]

Donc la surface de ce triangle a pour mesure
\[
\frac{1}{2} \lvert \alpha_1 \beta_2 - \alpha_2 \beta_1 \rvert.
\]
Par conséquent $\lvert \alpha_1 \beta_2 - \alpha_2 \beta_1 \rvert$
représente l'aire du parallélogramme
des périodes.

\Paragraph{5.}{Réseau des périodes équivalentes.} --- En considérant le
réseau de parallélogrammes construit sur les deux périodes
$2\omega_1, 2\omega_2$, on est amené à se demander si on ne pourrait pas
construire sur d'autres périodes un réseau ayant exactement
les mêmes sommets que celui-là.

Le problème consiste à chercher ces nouvelles périodes
$2\omega'_1, 2\omega'_2$, \emph{équivalentes} aux périodes données.

Il y a une infinité de couples de périodes équivalentes.
On obtient tous ces couples de la manière suivante.

Posons
\[
2\omega'_1 = 2a \omega_1 + 2b \omega_2,
\]
$a$~et~$b$ étant deux entiers quelconques premiers entre
eux, et déterminons deux nouveaux entiers $c$~et~$d$ (nécessairement
premiers entre eux) par la condition
\[
ad - bc = ± 1
\]
(il y a une infinité de nombres $c, d$ répondant à la question);
puis posons
\[
2\omega'_2 = 2c \omega_1 + 2d \omega_2.
\]

Je dis que $(2\omega'_1, 2\DPtypo{\omega_2}{\omega'_2})$ est un couple de périodes équivalentes
à~$2\omega_1, 2\omega_2$. En effet les formules
\[
2\omega'_1 = 2a \omega_1 + 2b \omega_2, \qquad
2\omega'_2 = 2c \omega_1 + 2d \omega_2
\]
montrent manifestement que \emph{tous} les sommets du réseau~$R'$
%% -----File: 020.png---Folio 16-------
des périodes $2\omega'_1, 2\omega'_2$ se trouvent \emph{parmi} les sommets du
réseau~$R$ des périodes $2\omega_1, 2\omega_2$.

Mais ces équations, résolues par rapport à $2\omega_1, 2\omega_2$, donnent,
si l'on tient compte de ce que le déterminant
$ad - bc$ est égal à~$± 1$,
\[
2\omega_1 = ±( 2d \omega'_1 - 2b \omega'_2),  \qquad
2\omega_2 = ±(-2c \omega'_1 + 2a \omega'_2).
\]

Ces nouvelles formules, où les coefficients de $\omega'_1, \omega'_2$ sont
des \emph{entiers}, prouvent que \emph{tous} les sommets du réseau~$R$ se
trouvent parmi les sommets de~$R'$.

Les deux réseaux ont donc exactement les mêmes sommets,
\cqfd

\Subparagraph{L'aire de chaque parallélogramme du nouveau réseau est
égale à l'aire de chaque parallélogramme de l'ancien.}

En effet si l'on pose
\begin{align*}
  2\omega_1  &= \alpha_1 + \beta_1 i, & 2\omega_2 &= \alpha_2 + \beta_2 i,
\\
  2\omega'_1 &= \alpha'_1 + \beta'_1 i, & 2\omega'_2 &= \alpha'_2 + \beta'_2 i,
\end{align*}
l'aire du parallélogramme des nouvelles périodes est
égale à
\begin{align*}
\lvert \alpha'_1 \beta'_2 - \alpha'_2 \beta'_1 \rvert
  &= \lvert (a \alpha_1 + b \alpha_2) (c \beta_1 + d \beta_2)
          - (c \alpha_1 + d \alpha_2) (a \beta_1 + b \beta_2) \rvert
\\
  &= \lvert (ad - bc) (\alpha_1 \beta_2 - \beta_1 \alpha_2) \rvert
   = \lvert            \alpha_1 \beta_2 - \beta_1 \alpha_2  \rvert,
\end{align*}
ce qui démontre bien que les mailles des deux réseaux
sont équivalentes.

\ctb
%% -----File: 021.png---Folio 17-------

\Chapter[Transformation des fonctions elliptiques]%
{II}{Transformation des fonctions elliptiques\protect\footnotemark}
\footnotetext{On peut, dans une première lecture, sauter ce chapitre, dont la
  place naturelle nous a semblé être immédiatement après l'étude des
  périodes et des réseaux.}

\Paragraph{6.}{Enoncé du problème de la transformation.} --- Une fonction
elliptique $f(u, \omega_1, \omega_2)$ aux périodes $2\omega_1, 2\omega_2$ est connue
en tout point du plan si l'on connaît la succession des valeurs
qu'elle prend dans l'un des parallélogrammes construits
sur ces deux périodes, par exemple, pour fixer les
idées, dans celui qui contient l'origine. La succession de
ces valeurs elle-même est complètement déterminée quand
on se donne certains éléments en nombre fini.

Ainsi $f(u, \omega_1, \omega_2)$ est déterminée quand on se donne, à
l'intérieur du parallélogramme en question, ses pôles, ses
zéros, leur ordre de multiplicité, et de plus la valeur~$f_0$ de
la fonction pour $u = 0$ (si cette fonction est finie à l'origine)
ou, si l'origine est un pôle, la valeur~$C$ du terme constant
dans le développement de la partie infinie (voir plus
loin, \Ord{1}{re}~partie, ch.~III, 13). %[xref]

Si la position des zéros et des pôles ainsi que la valeur~$f_0$
(ou~$C$) sont des fonctions données des périodes, on peut se demander
quelle relation existe entre $f(u, \omega_1, \omega_2)$ et la fonction
$f(u, \omega'_1, \omega'_2)$ aux périodes $2\omega'_1, 2\omega'_2$ liées à $2\omega_1, 2\omega_2$ par
les relations à coefficients entiers
\[
2\omega_1 = 2a \omega'_1 + 2b \omega'_2,  \qquad
2\omega_2 = 2c \omega'_1 + 2d \omega'_2.
\]

C'est dans la recherche de cette relation que consiste le
%% -----File: 022.png---Folio 18-------
problème de la \emph{transformation des fonctions elliptiques}.
Nous verrons plus loin (\Ord{2}{e}~partie, ch.~IV, 39) que $f(u_1,\omega_1,\omega_2)$ %[xref]
est liée à sa transformée $f(u_1,\omega'_1,\omega'_2)$ par une équation
algébrique.

\Paragraph{6}{bis. Transformation du premier degré.} --- Lorsque le
déterminant $ad - bc$ a pour valeur~$±1$, c'est-à-dire
lorsque la substitution d'un couple de périodes à l'autre
conserve les sommets du réseau, la transformation est du
\emph{premier degré}.

Il y a des fonctions elliptiques que n'altère pas la transformation
du premier degré. Telle est celle que Weierstrass
a nommée~$\wp u$. Cette fonction~$\wp u$ a, à l'origine, un pôle double,
sans résidu, avec l'unité pour coefficient du terme de
degré~$-2$; elle n'a pas d'autre pôle à l'intérieur du
parallélogramme des périodes qui contient l'origine, enfin
la différence $\wp u - \dfrac{1}{u^2}$ s'annule avec~$u$. Ces conditions,
comme nous le verrons, suffisent pour déterminer~$\wp u$. Or
$\wp u$~conserve sa valeur au point~$u$ lorsqu'on change les périodes
en gardant les sommets du réseau. C'est une propriété
dont ne jouissent pas les fonctions elliptiques autrefois
introduites dans la science par Abel et Jacobi, et c'est
là un des avantages de la fonction~$\wp u$ sur ces anciennes
fonctions.

\Paragraph{7.}{Transformations d'un degré quelconque.} --- Lorsque
le déterminant $ad - bc$ est égal, en valeur absolue, à un
entier~$n$, on dit que la transformation est \emph{de degré~$n$}. Quand
$n$~est plus grand que~$1$, le problème de la transformation
peut être simplifié: au lieu d'effectuer d'un coup la transformation
la plus générale du degré~$n$, on obtient le même
résultat en effectuant successivement quatre transformations
beaucoup plus faciles.

La première de ces quatre transformations consiste à
conserver l'une des périodes et à remplacer l'autre par la
%% -----File: 023.png---Folio 19-------
$\theta$\ieme~partie de sa valeur, $\theta$~étant le plus grand commun diviseur
de~$a$ et de~$b$.

La deuxième transformation est du premier degré.

La troisième aussi.

La quatrième consiste à remplacer l'une des périodes
par la $n'$\ieme~partie de sa valeur $\left(n' = \dfrac{n}{\theta}\right)$ en conservant
l'autre période.

Démontrons tout ceci.

Si $a', b'$ sont les quotients (nécessairement premiers
entre eux) de $a, b$ par leur plus grand commun diviseur~$\theta$,
la transformation proposée pourra être mise sous la forme
\[
\left\{
\begin{aligned}
  \omega_1
  &= \theta a' \centerdot \omega'_1 + \theta b' \centerdot \omega'_2,\\
  \omega_2
  &= c\omega'_1 + d\omega'_2,
\end{aligned}
\right.
\]
et, si l'on pose $\dfrac{\omega_1}{\theta} = \Omega_1$, $\omega_2 = \Omega_2$, celle-ci pourra être
remplacée par les deux suivantes effectuées l'une après
l'autre
\[
(1)\quad
\left\{
\begin{aligned}
\omega_1 &= \DPtypo{\theta_{\Omega_1}}{\theta\Omega_1},\\
\omega_2 &= \Omega_2,
\end{aligned}
\right.
\qquad \text{et} \qquad
(1')\quad
\left\{
\begin{aligned}
\Omega_1 &= a'\omega_1' + b'\omega_2',\\
\Omega_2 &= c \omega_1' + d \DPtypo{\omega'}{\omega'_2}.
\end{aligned}
\right.
\]

La transformation~\Eqref{(1)} est la première des quatre transformations
annoncées; on y conserve la période~$\omega_2$ et l'on
y remplace~$\omega_1$ par~$\dfrac{\omega_1}{\theta}$.

II nous faut maintenant décomposer en trois autres la
transformation~\Eqref{(1')} au déterminant
\[
a'd -b'c = \frac{ad - bc}{\theta} = \frac{n}{\theta} = n'.
\]

\emph{Tous} les sommets du réseau~$\R$ des périodes $2\Omega_1, 2\Omega_2$ se
trouvent \emph{parmi} les sommets plus nombreux du réseau~$R'$
des périodes $2\omega'_1, 2\omega'_2$. Mais nous allons montrer que, sur
la direction~$2\Omega_1$, ne se trouve aucun sommet de~$R'$
%% -----File: 024.png---Folio 20-------
autre que ceux qui appartiennent déjà à~$\R$\@. Ce fait important
résulte de ce que $a'$~et~$b'$ sont premiers entre eux.

En effet, si l'un des sommets du réseau~$R'$ est à l'origine
(ce qu'on peut toujours supposer), tous les autres sont
compris dans l'expression $2\alpha\omega'_1 + 2\beta\omega'_2$ où $\alpha$~et~$\beta$ sont
des entiers. S'il y avait $q$~de ces sommets sur la direction~$2\Omega_1$
entre deux sommets consécutifs du réseau~$\R$, l'expression
de tous ces sommets serait $\dfrac{p}{q}\,2\Omega_1$, et comme
$\Omega_1 = a'\omega'_1 + b'\omega'_2$, il existerait des valeurs entières $\alpha, \beta$
pour lesquelles on aurait
\[
\alpha\omega'_1 + \beta\omega'_2
  = \frac{pa'}{q}\, \omega'_1 + \frac{pb'}{q}\, \omega'_2.
\]
Or ceci est impossible, car si l'on prend $p$~premier avec~$q$,
comme $a'$~et~$b'$ sont premiers entre eux, les nombres
$\dfrac{pa'}{q}, \dfrac{pb'}{q}$ ne peuvent être l'un et
l'autre des entiers.

Ce point acquis, conservons la période~$2\Omega_1$, que nous appellerons~$2O_1$,
et associons-lui une nouvelle période~$2O_2$ de
façon à conserver les sommets du réseau~$\R$\@. Les formules
de transformation devront être
\[
\Tag{(2)}
\left\{
\begin{aligned}
\Omega_1 &= O_1, \\
\Omega_2 &= \mu O_1 + O_2,
\end{aligned}
\right.
\]
pour que le déterminant de la transformation soit égal à~$1$.

Cherchons maintenant à déterminer la direction~$O_2$ de
telle façon que, si nous substituons à $2\omega'_1, 2\omega'_2$ deux nouvelles
périodes $2O'_1, 2O'_2$ ayant respectivement les mêmes
directions que $2O_1, 2O_2$, les sommets du réseau~$R'$ soient
conservés. Les formules de transformation seront
\[
\Tag{(3)}
\left\{
\begin{aligned}
O'_1 &= a'\omega'_1 + b'\omega'_2,\\
O'_2 &=  p\omega'_1 + q\omega'_2,
\end{aligned}
\right.
\qquad a'q - b'p = 1.
\]

La première de ces relations résulte de ce que, les deux
%% -----File: 025.png---Folio 21-------
réseaux $\R$~et~$R'$ ayant les mêmes sommets sur la direction~$2O_1$,
on doit avoir $2O'_1 = 2O_1$. Or
\[
O_1 = \Omega_1 = a'\omega' + b'\omega'.
\]

Enfin la coïncidence des deux directions $2O_1$~et~$2O'_1$ et
celle des deux directions $2O_2, 2O'_2$ s'exprimeront par les
équations
\[
\Tag{(4)}
\left\{
\begin{aligned}
  O_1 &= O'_1, \\
  O_2 &= \lambda O'_2.
\end{aligned}
\right.
\]

Tout ceci entraîne des équations de condition entre les
inconnues $\mu, p, q, \lambda$, et ces équations devront pouvoir
être résolues en nombres entiers par rapport à ces quatre
lettres.

Par la seconde des formules~\Eqref{(3)}, $O'_2$~se trouve exprimé
en fonction de $\omega'_1, \omega'_2$.

Exprimons $O_2$ au moyen des mêmes périodes. Des relations
\Eqref{(2)}~et~\Eqref{(1')} nous tirons
\[
O_2 = \Omega_2 - \mu\Omega_1
  = (c\omega'_1 + d\omega'_2) - \mu(a'\omega'_1 + b'\omega'_2).
\]

Substituant dans la dernière formule~\Eqref{(4)} ces expressions
de $O_2, O'_2$, on a
\[
(c\omega'_1 + d\omega'_2) - \mu(a'\omega'_1 + b'\omega'_2)
  = \lambda(p\omega'_1 + q\omega'_2).
\]

Les périodes $2\omega'_1, 2\omega'_2$ ne pouvant être liées par une relation
linéaire et homogène à coefficients entiers, il faut que
l'on ait
\[
\begin{aligned}
  c - \mu a' &= \lambda p, \\
  d - \mu b' &= \lambda q,
\end{aligned}
\qquad \text{avec} \qquad a'q - b'p = 1.
\]

Ce sont là trois équations qui doivent livrer des valeurs
entières pour $\lambda, \mu, p, q$. Éliminant~$\mu$ entre les deux
premières, on trouve
\[
\lambda(aq - bp) = a'd - b'c,
\]
c'est-à-dire~$\lambda = n'$.

La première équation donne alors
%% -----File: 026.png---Folio 22-------
\begin{align*}
\mu = \frac{c - n'p}{a'} = \frac{c - (a'd - b'c)p}{a'}
  &=   \frac{c(1 + b'p)}{a'} - pd  \\
  &= c \frac{a'q}{a'} - pd = cq - dp.
\end{align*}

On trouve bien pour $\mu$ une valeur entière.

Enfin $p$~et~$q$ ne sont assujettis qu'à la condition
\[
a'q - b'p = 1
\]
vérifiée par une infinité de nombres entiers.

Résumons-nous et concluons.

On veut effectuer sur la fonction elliptique~$f(u)$ la transformation
générale du degré~$n$
\[
\left\{
\begin{aligned}
\omega_1 &= a\omega'_1 + b\omega'_2, \\
\omega_2 &= c\omega'_1 + d\omega'_2,
\end{aligned}
\right.
\]
c'est-à-dire qu'on cherche la relation entre $f(u,\omega_1,\omega_2)$ et
$f(u,\omega'_1,\omega'_2)$.

On commencera par faire la transformation particulière
de degré~$\theta$
\[
\Tag{(1)}
\left\{
\begin{aligned}
\omega_1 &= \theta\Omega_1, \\
\omega_2 &= \Omega_2,
\end{aligned}
\right.
\]
c'est-à-dire qu'on cherchera la relation entre $f(u,\omega_1,\omega_2)$ et
$f(u,\Omega_1,\Omega_2) = f\left(u,\dfrac{\omega_1}{\theta},\omega_2\right)$; $\theta$~est le plus grand commun
diviseur de $a$~et~$b$. On déterminera les quotients $a', b'$ de
$a, b$ par~$\theta$; on prendra deux nombres $p, q$ assujettis à la
condition
\[
a'q - b'p = 1,
\]
et l'on calculera le nombre $\mu = cq - dp$.

Cela fait, on effectuera la transformation du premier degré
\[
\Tag{(2)}
\left\{
\begin{aligned}
\DPtypo{\Omega}{\Omega_1} &= O_1, \\
\Omega_2 &= \mu O_1 + O_2,
\end{aligned}
\right.
\]
qui donnera la relation entre $f(u,\Omega_1,\Omega_2)$ et $f(u,O_1,O_2)$.
%% -----File: 027.png---Folio 23-------

D'autre part, on fera la transformation du premier degré
\[
\Tag{(3)}
\left\{
\begin{aligned}
O'_1 &= a'\omega'_1 + b'\omega'_2, \\
O'_2 &= p \omega'_1 + q \omega'_2.
\end{aligned}
\right.
\]
On aura ainsi la relation entre $f(u,\omega'_1,\omega'_2)$ et $f(u,O'_1,O'_2)$.

Enfin, on réalisera la transformation particulière de
degré~$n'$
\[
\Tag{(4)}
\left\{
\begin{aligned}
O_1 &=   O'_1, \\
O_2 &= n'O'_2,
\end{aligned}
\right.
\]
qui fournit la relation entre $f(u,O_1,O_2)$ et
\[
f(u, O'_1, O'_2)
  = f\left(u, O_1, \frac{O_2}{n'} \right).
\]

En rapprochant les résultats de ces opérations, on aura
la relation cherchée entre $f(u,\omega_1,\omega_2)$ et $f(u,\omega'_1,\omega'_2)$.

Ainsi se trouve justifié tout ce que nous avions annoncé.

Le problème est particulièrement simple pour la fonction~$\wp u$.
Nous avons dit en effet qu'une transformation du premier degré ne
change pas la valeur de cette fonction. On a donc
\begin{align*}
\wp(u,\Omega_1, \Omega_2)  &= \wp(u,O_1, O_2), \\
\wp(u,\omega'_1,\omega'_2) &= \wp(u,O'_1,O'_2).
\end{align*}

Nous établirons dans la suite que, si l'on divise une des périodes
par un entier~$\nu$, la nouvelle fonction~$\wp u$ est une fonction
rationnelle~$R_\nu$ de degré~$\nu$ de l'ancienne. Par conséquent,
\begin{align*}
\wp(u,\Omega_1,\Omega_2)
  &= \wp\left(u,\frac{\omega_1}{\theta},\omega_2 \right)
   = R_\theta\bigl[\wp(u,\omega_1,\omega_2)\bigr], \\
\wp(u,O'_1,\DPtypo{O_2}{O'_2})
  &= \wp\left(u,O_1,\frac{O_2}{n'} \right)
   = R_{n'}\bigl[\wp(u,O_1,O_2)\bigr];
\end{align*}
c'est-à-dire, en vertu des relations qui précèdent,
\begin{align*}
\wp(u,O_1,O_2) &= R_\theta\bigl[\wp(u,\omega_1,\omega_2)\bigr], \\
\wp(u,\omega'_1,\omega'_2) &= R_{n'}\bigl[\wp(u,O_1,O_2)\bigr];
\end{align*}
%% -----File: 028.png---Folio 24-------
d'où résulte manifestement que $\wp(u,\omega'_1,\omega'_2)$ est une \emph{fonction
rationnelle} du degré $n'\theta = n$ de~$\wp(u,\omega_1,\omega_2)$.

Nous avons donc réduit le problème général de la transformation
de la fonction~$\wp u$ au problème de la \emph{division des
périodes} de cette fonction, problème que la suite de la
théorie nous enseignera à résoudre.

\ctb
%% -----File: 029.png---Folio 25-------


\Chapter{III}{Théorèmes généraux sur les fonctions elliptiques}

\begin{Theorem}{8.} --- Une fonction elliptique entière se réduit
à une constante.
\end{Theorem}

Car son module reste fini dans un parallélogramme des
périodes et, à cause de la périodicité, dans tout le plan. Or
une fonction analytique uniforme dont le module reste partout
fini se réduit nécessairement à une constante.

\begin{Theorem}{9.} --- La somme des résidus d'une fonction elliptique~$f(u)$
par rapport aux pôles situés dans un parallélogramme
des périodes est égale à zéro.
\end{Theorem}

Car cette somme est, d'après un théorème général
de Cauchy, égale à l'intégrale $\displaystyle\frac{1}{2\pi{i}}\int f(u)\,du$ prise dans le
sens direct autour du parallélogramme. Or cette intégrale
est nulle, car deux éléments différentiels $f(u)\, du$, qui correspondent
à deux points homologues sur deux côtés opposés,
sont égaux et de signe contraire.

\Paragraph{10.}{Ordre d'une fonction elliptique.} --- L'\emph{ordre} d'une fonction
elliptique est le nombre des pôles qu'elle possède dans
un parallélogramme des périodes, un pôle multiple comptant
pour autant de pôles qu'il y a d'unités dans son degré
de multiplicité.

\Subparagraph{Cet ordre est au moins égal à~$2$.} --- Car si la fonction
n'avait qu'un pôle simple, le résidu correspondant à ce
%% -----File: 030.png---Folio 26-------
pôle étant différent de zéro, la somme des résidus ne serait pas
nulle.

\begin{Theorem}{11.} --- Si une fonction elliptique~$f(u)$ est d'ordre~$n$,
l'équation $f(u) = c$, où $c$~est une constante quelconque, a,
dans le parallélogramme des périodes, $n$~racines (égales ou
inégales).
\end{Theorem}

Car les pôles de la fonction $f(u) - c$, étant les mêmes
que ceux de~$f(u)$, sont au nombre de~$n$. D'autre part, si $m$~désigne
le nombre des racines de l'équation
\[
f(u) - c = 0,
\]
la différence $m - n$ est égale, comme nous l'apprend un
théorème de Cauchy, à l'intégrale
\[
\frac{1}{2\pi i} \int\frac{f'(u)}{f(u) - c}\, du
\]
prise dans le sens direct autour du parallélogramme. La
fonction $\dfrac{f'(u)}{f(u) - c}$ étant périodique comme~$f(u)$, cette intégrale
est nulle. Donc $m = n$, \cqfd

\begin{Theorem}{12.} --- Dans un parallélogramme des périodes,
la somme des zéros d'une fonction elliptique est égale à celle
de ses pôles, augmentée d'une période convenable.
\end{Theorem}

Car la différence entre la somme $\beta_1 + \beta_2 + \dots$ de ces
zéros et la somme $\alpha_1 + \alpha_2 + \dots$ de ces pôles est donnée
(Cauchy) par l'intégrale
\[
\beta_1 + \beta_2 + \dots - (\alpha_1 + \alpha_2 + \dots)
  = \frac{1}{2\pi i}\int \frac{uf'(u)}{f(u)}\,du
\]
% [Ilustration:]
\begin{wrapfigure}{l}{2in}
  \Input[2in]{030a}
\end{wrapfigure}
prise dans le sens direct autour
du parallélogramme.

Si pour un instant on désigne
$\dfrac{uf'(u)}{f(u)}$ par~$F(u)$ et que
dans l'intégrale~$\int F(u)\, du$ on groupe deux par deux les
éléments
%% -----File: 031.png---Folio 27-------
correspondants sur les côtés opposés, on aura
\[
\int F(u)\, du
  = \int_{O'A} \bigl[F(u) - F(u + 2\omega_2)\bigr]\, du
  - \int_{O'B} \bigl[F(u) - F(u + 2\omega_1)\DPtypo{}{\bigl]}\,du\DPtypo{\bigl]}{}.
\]

Or
\begin{align*}
F(u) - F(u + 2\omega_2)
  &= u\,\frac{f'(u)}{f(u)}
     - (u + 2\omega_2)\, \frac{f'(u + 2\omega_2)}{f(u + 2\omega_2)}
   = -2\omega_2\, \frac{f'(u)}{f(u)}, \\
F(u) - F(u + 2\omega_1)
  &= u\,\frac{f'(u)}{f(u)}
     - (u + 2\omega_1)\, \frac{f'(u + 2\omega_1)}{f(u + 2\omega_1)}
   = -2\omega_1\, \frac{f'(u)}{f(u)}.
\end{align*}

Il en résulte
\[
\int F(u)\, du
  = -2\omega_2 \int_{O'}^{O' + 2\omega_1} \frac{f'(u)}{f(u)}\, du
   + 2\omega_1 \int_{O'}^{O' + 2\omega_2} \frac{f'(u)}{f(u)}\, du.
\]
Mais, $\dfrac{f'(u)}{f(u)}$ reprenant la même valeur aux deux limites $O',
O' + 2\omega_1$ (ou $O', O' + 2\omega_2$), $\log f(u)$, qui représente l'intégrale
$\displaystyle\int \frac{f'(u)}{f(u)}\,du$, doit ou bien avoir repris la même valeur ou
s'être accrû d'un multiple de~$2\pi i$. Par suite
\[
\int F(u)\, du
  = -2\omega_2 \centerdot 2m_2\pi i + 2\omega_1\centerdot 2m_1\pi i.
\]

Cette valeur de $\int F(u)\, du$, c'est-à-dire de $\displaystyle\int \frac{uf'(u)}{f(u)}\,du$, substituée
dans la formule qui exprime la différence
\[
\beta_1 + \beta_2 + \dots - (\alpha_1 + \alpha_2 + \dots)
\]
donne finalement
\[
\beta_1 + \beta_2 + \dots - (\alpha_1 + \alpha_2 + \dots)
  = 2m_1\omega_1 - 2m_2\omega_2,
\]
ce qui démontre notre proposition.

\begin{Theorem}{13.} --- Une fonction elliptique est déterminée à
un facteur constant près par ses périodes, ses pôles et ses
zéros donnés avec leur degré de multiplicité.
\end{Theorem}

Car si deux fonctions elliptiques $f(u)$~et~$\varphi(u)$ ont les
mêmes périodes, les mêmes pôles et les mêmes zéros, leur
quotient~$\dfrac{f(u)}{\varphi(u)}$, étant nécessairement une fonction elliptique
%% -----File: 032.png---Folio 28-------
entière, se réduit à une constante~$C$. On a donc
\[
f(u) = C\varphi(u).
\]

\begin{Theorem}{14.} --- Une fonction elliptique est déterminée à
une constante additive près quand on donne ses périodes, ses
pôles et le développement de sa partie infinie autour de chacun
d'eux.
\end{Theorem}

Car si $f(u)$~et~$\varphi(u)$ sont deux fonctions elliptiques ayant
mêmes périodes, mêmes pôles et même partie infinie autour
de chaque pôle, la différence $f(u) - \varphi(u)$, qui est une
fonction elliptique entière, doit se réduire à une constante~$C$.
On a donc
\[
f(u) = \varphi(u) + C.
\]

Jusqu'ici nous avons admis l'existence des fonctions elliptiques.
Il nous reste à prouver cette existence, et nous
ne pouvons le faire qu'en construisant de pareilles fonctions.

\ctb
%% -----File: 033.png---Folio 29-------


\Part{Deuxième Partie}{La fonction $\wp u$}

%% -----File: 034.png---Folio 30-------
% [Blank Page]
%% -----File: 035.png---Folio 31-------


\Chapter{I}{Construction et propriétés de la fonction $\wp u$}

\Paragraph{15.}{Construction de $\wp u$.} --- La plus simple de toutes les
fonctions elliptiques a été réalisée par Weierstrass. Elle est
du second ordre; elle a un pôle double sans résidu à l'origine
et par conséquent en tous les points
\[
w = 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2,
\]
$2\omega_1, 2\omega_2$ désignant les périodes données; dans le voisinage
du pôle~$w$, sa partie infinie se réduit à~$\dfrac{1}{(u-w)^2}$. Nous
savons maintenant que ces conditions déterminent la fonction
cherchée~$\wp u$ à une constante additive près. On réalise
cette fonction au moyen de la série à double entrée
\[
\wp u = \frac{1}{u^2}
  + \sum \left[ \frac{1}{(u - w)^2} - \frac{1}{w^2} \right],
\]
où la sommation s'étend à tous les systèmes de valeurs entières
attribuées à~$m_1$ et à~$m_2$, le seul système $m_1 = m_2 = 0$
excepté.

Les termes constants~$\dfrac{1}{w^2}$ ont été retranchés des termes
$\dfrac{1}{(u-w)^2}$ pour rendre la série convergente, comme nous
allons le montrer.

Admettant provisoirement cette convergence, nous
voyons que le développement admet les deux périodes $2\omega_1$~et~$2\omega_2$,
%% -----File: 036.png---Folio 32-------
car le changement de~$u$ en $u + 2\omega_1$ ou $u + 2\omega_2$
n'a d'autre effet que d'en permuter les termes.

La série qui définit~$\wp u$ est absolument et uniformément
convergente dans toute région du plan qui ne contient aucun
des points $w = 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2$. En effet le terme
général peut être écrit
\[
\frac{1}{(u - w)^2} - \frac{1}{w^2}
  = \frac{2uw - u^2}{w^2(u - w)^2}
  = \frac{2u - \dfrac{u^2}{w}}{\left(1 - \dfrac{u}{w}\right)^2}
    · \frac{1}{w^3}.
\]

Le terme qui multiplie~$\dfrac{1}{w^3}$ a un module fini en tous les
points autres que les points~$w$. Il suffit donc d'établir la
convergence absolue de la série~$\displaystyle\sum \frac{1}{w^3}$ ou plus généralement
de
\[
\sum \frac{1}{w^\lambda}
  = \sum \frac{1}{(2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2)^\lambda},
\]
lorsque $\lambda$~est un nombre réel plus grand que~$2$.

Or la série des modules des différents termes a pour
terme général
\[
\frac{1}{\bigl[(\alpha_1m_1 + \alpha_2m_2)^2
             + (\beta_1m_1 + \beta_2m_2)^2 \bigr]^{\frac{\lambda}{2}}},
\]
$\alpha_1, \alpha_2$ désignant les parties réelles et $\beta_1, \beta_2$ les parties imaginaires
de~$2\omega_1, 2\omega_2$.

Celle-ci sera convergente en même temps que la série
plus simple
\[
S = \sum \frac{1}{[m_1^2 + m_2^2]^\frac{\lambda}{2}},
\]
car, si l'on pose $\dfrac{m_2}{m_1} = \mu$, le rapport des termes correspondants
ne dépend que de~$\mu$ et ce rapport
\[
\left[\frac{(\alpha_1 + \alpha_2\mu)^2 + (\beta_1 + \beta_2\mu)^2}
           {1 + \mu^2} \right]^\frac{\lambda}{2}
\]
ne devient jamais, quel que soit~$\mu$, ni nul ni infini.
%% -----File: 037.png---Folio 33-------

Nous sommes donc ramenés à étudier la série double~$S$\@.
En laissant de côté les valeurs négatives de $m_1, m_2$, nous
pouvons la considérer comme la somme de quatre autres:
la première, simple, comprenant tous les termes où
$m_1 = 0$; la deuxième, simple aussi, formée de tous les termes
où $m_2=0$; la troisième, double, formée de tous les
termes où $m_2\geq m_1$; la quatrième, double, formée de tous
les termes où $m_1\geq m_2$; en sorte que
\begin{multline*}
S = \sum_1^{+\infty}\frac{1}{m_1^\lambda}
  + \sum_1^{+\infty}\frac{1}{m_2^\lambda}
  + \sum_{m_1=1}^{m_1=\infty}\sum_{m_2=m_1}^{m_2=\infty}
      \frac{1}{(m_1^2 + m_2^2)^\frac{\lambda}{2}} \\
  + \sum_{m_2=1}^{m_2=\infty}\sum_{m_1=m_2}^{m_1=\infty}
      \frac{1}{(m_1^2 + m_2^2)^\frac{\lambda}{2}}.
\end{multline*}

Par raison de symétrie la première et la seconde de ces
quatre séries sont égales entre elles, la troisième et la quatrième
aussi égales entre elles.

D'ailleurs la première série est, on le sait, convergente
pour~$\lambda>1$.

Nous n'avons plus à étudier que la troisième série, qui
est double. Occupons-nous d'abord de la série simple
\[
\sum_{m_2=m_1}^{m_2=\infty} \frac{1}{(m_1^2 + m_2^2)^\frac{\lambda}{2}},
\]
où $m_1$~est fixe. Son terme général est inférieur à~$\dfrac{1}{m_2^\lambda}$. Or
la série dont le terme de rang~$m_2 - m_1$ est $\dfrac{1}{m_2^\lambda}$~a une somme
de même ordre que l'intégrale $\displaystyle\int_{m_1}^{\infty}\frac{dx}{x^\lambda}$ (règle de Cauchy).
Comme $\lambda$~doit être plus grand que~$1$, cette intégrale a pour
valeur $\dfrac{1}{\lambda-1}\,\dfrac{1}{m_1^{\lambda-1}}$. On peut donc écrire, $K$~étant un nombre
%% -----File: 038.png---Folio 34-------
fini,
\[
\sum_{m_2=m_1}^{m_2=\infty} \frac{1}{(m_1^2 + m_2^2)^\lambda}
  < K\, \frac{1}{m_1^{\lambda-1}}.
\]

Il faut maintenant donner à~$m_1$ toutes les valeurs entières
de $1$~à~l'infini, et faire la somme des quantités ainsi
obtenues; on aura
\[
\sum_{m_1=1}^{m_1=\infty} \sum_{m_2=m_1}^{m_2=\infty}
  \frac{1}{(m_1^2 + m_2^2)^\lambda}
  < K \sum_{m_1=\DPtypo{\infty}{1}}^{m_1=\infty} \frac{1}{m_1^{\lambda-1}}.
\]

Mais la série qui figure au second membre converge
pour $\lambda-1 > 1$, c'est-à-dire pour $\lambda>2$,~\cqfd

La convergence absolue de la série~$\wp u$ en tout point~$u$
qui ne coïncide pas avec un des points~$w$ se trouve ainsi
établie. La série est de plus uniformément convergente, car
nous avons ramené la question de sa convergence à celle
de la convergence de la série~$\displaystyle\sum\frac{1}{w^3}$, laquelle a ses termes indépendants
de~$u$.

\Paragraph{16.}{Double périodicité de $\wp u$.\ --- Parité.\ --- Homogénéité.\
--- Invariance dans toutes les transformations du premier
degré.} --- \primo Nous avons déjà mis en évidence la double périodicité
de~$\wp u$. Les deux périodes sont $2\omega_1, 2\omega_2$.

\secundo \textit{La fonction~$\wp u$ est paire.} Car, dans la série qui la représente,
nous avons le droit d'écrire~$-w$ au lieu de~$w$,
ce qui ne fait qu'échanger les termes deux à deux. Si alors
nous changeons~$u$ en~$-u$, nous obtenons
\[
\wp(-u) = \frac{1}{(-u)^2}
  + \sum \left[\frac{1}{(-u + w)^2} - \frac{1}{(-w)^2}\right],
\]
expression visiblement identique à~$\wp u$.

\tertio Considérée comme fonction des trois quantités $u, 2\omega_1,
2\omega_2$, $\wp u$~est homogène et de degré~$-2$.
%% -----File: 039.png---Folio 35-------

\quarto Construisons deux fonctions~$\wp u$: l'une $\wp(u, \omega_1, \omega_2)$
aux périodes $2\omega_1, 2\omega_2$; l'autre $\wp(u, \omega'_1, \omega'_2)$ aux périodes
$2\omega'_1, 2\omega'_2$ liées aux précédentes par les relations
\[
2\omega'_1 = a \centerdot 2\omega_1 + b \centerdot 2\omega_2, \qquad
2\omega'_2 = c \centerdot 2\omega_1 + d \centerdot 2\omega_2,
\]
où le déterminant $ad - bc$ est supposé égal à~$±1$.
Nous avons vu (\Ord{1}{re}~partie, ch.~I,~5) que le réseau des périodes %[xrefs]
$2\omega'_1, 2\omega'_2$ a exactement les mêmes sommets que celui
des périodes $2\omega_1, 2\omega_2$. Or il est évident que la valeur de
la série~$\wp u$ en un point~$u$ du plan ne dépend que des sommets
du réseau; car si l'on change les périodes en conservant
les sommets, les quantités~$w$ ne font que se permuter;
donc
\[
\wp(u, \omega'_1, \omega'_2) = \wp(u, \omega_1, \omega_2).
\]

Ainsi se trouve établi l'important résultat que nous avons
annoncé (\Ord{1}{re}~partie, ch.~II,~6): \emph{$\wp u$~reste invariable pour toute
transformation de degré~$1$.}

\Paragraph{17.}{Développement de~$\wp u$ suivant les puissances de~$u$.} ---
Les pôles de~$\wp u$ sont les points
\[
u = w = 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2.
\]
Ils sont doubles. Aux environs de $u = 0$, on a
\[
\frac{1}{(u - w)^2} - \frac{1}{w^2}
  = \frac{1}{w^2} \left(1 - \frac{u}{w}\right)^{-2} - \frac{1}{w^2}
  = \frac{2u}{w^3} + \frac{3u^2}{w^4} + \frac{4u^3}{w^5} + \dots\DPtypo{}{.}
\]

Faisons la somme pour toutes les valeurs de~$w$; remarquons
que les puissances impaires de~$u$ doivent se détruire;
enfin, posons pour abréger
\[
c_1 = 3\sum\frac{1}{w^4},\qquad c_2 = 5\sum\frac{1}{w^6},\qquad \dots;
\]
nous obtiendrons l'important développement
\[
\wp u = \frac{1}{u^2} + c_1u^2 + c_2u^4 + \dots
\]
valable pour tout point~$u$ compris dans tout cercle ayant
%% -----File: 040.png---Folio 36-------
l'origine pour centre et un rayon moindre que la distance
de ce centre au pôle le plus voisin.

Observons que ce développement manque de terme
constant. Dans le voisinage d'un pôle quelconque~$w$, le développement
de~$\wp u$ est
\[
\wp u = \frac{1}{(u - w)^2} + c_1(u - w)^2 + c_2(u - w)^4 + \dots\DPtypo{}{.}
\]

Cette nouvelle forme donnée à la fonction~$\wp u$ montre immédiatement
que c'est une fonction analytique.

\Paragraph{18.}{Équation algébrique entre $\wp u$~et sa dérivée.} --- Nous
avons
\begin{align*}
\wp u &= \frac{1}{u^2}  +  c_1u^2 +  c_2u^4 + \dots, \\
\wp'u &= \frac{-2}{u^3} + 2c_1u   + 4c_2u^3 + \dots\DPtypo{}{.}
\end{align*}

On voit que la fonction elliptique
\[
\wp'^2u - 4\wp^3u = -20c_1\, \frac{1}{u^2} - 28c_2 + \dots
\]
a un pôle double, sans résidu, à l'origine; elle ne peut
d'ailleurs en avoir d'autre dans le parallélogramme
des périodes qui contient l'origine. Par conséquent
$\wp'^2u - 4\wp^3u + 20c_1\wp u$ est une fonction entière, et comme
c'est une fonction elliptique, elle se réduit à une constante~$-28c_2$
(qu'on obtient en y faisant $u = 0$). Finalement
on a
\[
\wp'^2u - 4\wp^3u + 20c_1\wp u + 28c_2 = 0.
\]

Telle est l'équation algébrique qui lie $\wp u$~à sa dérivée,
et à laquelle on donne une forme plus commode pour les
calculs, en posant
\begin{align*}
g_2 &= 20c_1 = 60 \sum\frac{1}{w^4}, \\
g_3 &= 28c_2 = 140\sum\frac{1}{w^6},
\end{align*}
%% -----File: 041.png---Folio 37-------
ce qui permet d'écrire
\[
{\wp'}_u^2 = 4\wp_u^3 - g_2 \wp u - g_3.
\]

Tout ce qui va suivre nous montrera l'importance de
cette relation.

\Paragraph{19.}{Calcul des coefficients du développement de~$\wp u$.} --- La
différentiation par rapport à~$u$ des deux membres de
l'équation précédente donne, après suppression du facteur~$2\wp'u$,
\[
\wp''_u = 6\wp - \frac{1}{2}\, g_2.
\]

Si l'on substitue dans cette dernière relation le développement
\[
\wp u = \frac{1}{u^2} + c_1 u^2 + c_2 u^4 + \dots,
\]
l'identification des termes en~$u^{2n-2}$ donnera
\[
c_n = \frac{6}{n(2n-1) - 6}\, (c_1 c_{n-2} + c_2 c_{n-3} + \dots),
\]
le dernier terme entre parenthèses étant $c_{\frac{n}{2}-1} c_{\frac{n}{2}}$ ou $\dfrac{1}{2} c^2_{\frac{n-1}{2}}$
suivant que $n$~est pair ou impair. Cette formule récurrente
permet d'exprimer $c_3, c_4, \dots$ par des polynômes entiers
en~$c_1, c_2$.

\emph{Tous les coefficients du développement de~$\wp u$ sont donc des
polynômes entiers en~$g_2, g_3$.}

\Paragraph{20.}{Les trois racines $e_1, e_2, e_3$.} --- Une raison de symétrie
nous amène à introduire une troisième période~$2\omega_3$ liée
aux deux périodes $2\omega_1, 2\omega_2$ par la relation
\[
\omega_1 + \omega_2 + \omega_3 = 0.
\]

Posons
\[
\wp\omega_1 = e_1, \qquad
\wp\omega_2 = e_2, \qquad
\wp\omega_3 = e_3.
\]

Ces trois nombres $e_1, e_2, e_3$ sont les racines de l'équation
du \Ord{3}{e}~degré
\[
4\wp^3 - g_2 \wp - g_3 = 0.
\]

Pour le prouver, il suffit de faire voir qu'ils annulent~$\wp'u$.
Or $\wp'u$~étant doublement périodique et impaire, puisque
%% -----File: 042.png---Folio 38-------
$\wp u$~est paire, on aura par exemple
\[
\wp'\omega_1 =  \wp'(\omega_1 - 2\omega_1) = \wp'(-\omega_1)
  = -\wp'\omega_1 = 0,
\]
\null\hfill\cqfd\pagebreak[3]

Les trois racines $e_1, e_2, e_3$ sont distinctes, si, comme nous
le supposons, $\omega_1, \omega_2$ et par suite~$\omega_3$ ne sont pas des
périodes. Car si $e_3$~par exemple était égal à~$e_1$, on aurait
$\wp\omega_3 = \wp\omega_1$, d'où
\[
\omega_3 = ±\omega_1 + \text{période}
\qquad\text{ou}\qquad
\omega_3 \mp \omega_1 = \text{période},
\]
ce qui n'est pas, car $\omega_3 + \omega_1 = -\omega_2$, et $\omega_3 - \omega_1 = -2\omega_1 - \omega_2$;
or $-\omega_2$~et~$-2\omega_1 - \omega_2$ ne sont ni l'une ni l'autre des
périodes.

Les quantités $e_1, e_2, e_3$, d'après les relations qui les définissent
\[
\wp\omega_1
  = \frac{1}{\omega_1^2}
  + \sum\left[ \frac{1}{(\omega_1 - w)^2} - \frac{1}{w^2} \right],
  \quad \wp\omega_2 = \dots, \quad \wp\omega_3 = \dots,
\]
sont homogènes et du degré~$-2$ par rapport aux périodes.

Elles satisfont aux relations
\[
e_1 + e_2 + e_3 = 0,  \quad
e_1 e_2 + e_3 e_2 + e_3 e_1 = -\frac{1}{4}\, g_2,  \quad
e_1 e_2 e_3 = \frac{1}{4}\, g_3.
\]

\Paragraph{21.}{Invariants de~$\wp u$.} --- Lorsqu'on change les périodes
en conservant les sommets du réseau, les coefficients $g_2, g_3$,
d'après leur définition (ci-dessus,~18), conservent leur valeur. %[xref]
Ce sont des \emph{invariants} du réseau dans toute transformation
du premier degré.

Deux autres invariants sont à considérer:

\primo Le discriminant
\[
\Delta = 16 (e_1 - e_2)^2 (e_2 - e_3)^2 (e_3 - e_1)^2
  = g_2^3 - 27 g_3^2.
\]
Il n'est jamais nul puisque les racines $e_1, e_2, e_3$ sont distinctes.
Il est d'ordre~$-12$ par rapport aux périodes;

\secundo L'invariant absolu
\[
J = \frac{g_2^3}{\Delta}.
\]
%% -----File: 043.png---Folio 39-------

Il est d'ordre zéro, et par suite il ne dépend que du rapport
$\tau = \dfrac{\omega_2}{\omega_1}$ des périodes. Il reste invariable si l'on
change $\tau$~en $\dfrac{a + b\tau}{c + d\tau}$ ($ad-bc = ±1$).

\ctb
%% -----File: 044.png---Folio 40-------


\Chapter{II}{La fonction $\wp u$ définie par une équation différentielle}

\Paragraph{22.}{Position du problème.} --- Nous avons vu que la fonction~$\wp u$
satisfait à une équation différentielle
\[
\left(\frac{d\wp}{du}\right)^2 = 4\wp^3 - g_2\wp - g_3,
\]
dont les coefficients constants $g_2, g_3$, qui vérifient l'inégalité
\[
\Delta = g^3_2 - 27g^2_3 \neq 0,
\]
peuvent être calculés au moyen des périodes $2\omega_1, 2\omega_2$.

Inversement, donnons-nous \textit{a~priori} l'équation différentielle
\[
\left(\frac{dz}{du}\right)^2 = 4z^3 - g_2z - g_3.
\]

Nous allons montrer qu'elle admet pour intégrale particulière
une fonction~$\wp u$ dont nous déterminerons une période
en fonction de $g_2, g_3$.

Figurons dans le plan de la variable complexe~$z$ les trois
racines $e_1, e_2, e_3$ de l'équation
\[
Z = 4z^3 - g_2z - g_3 = 0.
\]
Elles sont distinctes, car nous supposons
\[
g_2^3 - 27g_3^2 \neq 0.
\]
%% -----File: 045.png---Folio 41-------

% [Ilustration]
\begin{wrapfigure}{l}{1.25in}
  \Input[1.25in]{045a}
\end{wrapfigure}
Nous les avons numérotées dans l'ordre
où on les rencontre en tournant dans le
sens direct autour du triangle $e_1e_2e_3$.

Partons d'un point quelconque~$z_0$. En
ce point le radical a deux valeurs égales
et de signe contraire $+\sqrt{Z_0}$~et~$-\sqrt{Z_0}$.

D'après le théorème fondamental de la
théorie des équations différentielles, il existe une fonction
analytique~$z$ de~$u$ qui satisfait à l'équation
\[
\frac{dz}{du} = \sqrt{Z}
\]
et qui pour $u = u_0$ se réduit à~$z_0$, le radical~$\sqrt{Z}$ prenant
en même temps la détermination~$+\sqrt{Z_0}$ par exemple
($u_0$~est donné arbitrairement).

% [Ilustration]
\begin{wrapfigure}{l}{1.5in}
  \Input[1.5in]{045b}
\end{wrapfigure}
Si l'on marque le point~$u_0$ dans le plan
de la variable complexe~$u$, la fonction~$z$
de~$u$ sera uniforme et continue dans un
cercle décrit du centre~$u_0$ avec un rayon~$\rho_0$
que la théorie enseigne à calculer.

On peut déterminer de proche en proche
la valeur que prendra cette fonction~$z$
en un point quelconque~$u'$ joint au point~$u_0$
par un chemin~$L$. Il suffit de calculer la valeur~$z'_0$ que
prend~$z$ en un point~$u'_0$ situé à la fois sur~$L$ et dans le
cercle de rayon~$\rho_0$. Le théorème fondamental que nous venons
de rappeler prouve l'existence d'une fonction~$z$ se
réduisant à~$z'_0$ pour $u = u'_0$, uniforme et continue dans
un cercle de centre~$u'_0$ et de rayon~$\rho'_0$. Il est clair qu'en
procédant ainsi de proche en proche, on arrivera jusqu'au
point~$u'$ avec une valeur bien déterminée~$z'$ de la fonction.

Le raisonnement tomberait en défaut si les rayons
$\rho_0, \rho'_0, \dots$ tendaient vers zéro, auquel cas on aboutirait à
un point limite~$u_1$ situé sur le chemin~$L$ entre $u_0$~et~$u'$,
et qu'on ne pourrait plus dépasser.
%% -----File: 046.png---Folio 42-------

Mais la théorie nous renseigne sur la grandeur du rayon~$\rho_0$
du cercle de centre~$u_0$ où l'on peut affirmer l'existence
et l'uniformité de l'intégrale d'une équation différentielle
\[
\frac{dz}{du} = f(u,z)
\]
dont le second membre est une fonction uniforme et continue
de~$z$, $u$~dans le voisinage de $u=u_0$, $z=z_0$.
Ce rayon n'est très petit que si le module de~$f(u, z)$ est très
grand dans ce voisinage et que si les valeurs $u$,~$z$ critiques
pour~$f(u, z)$ sont très rapprochées de $u_0$,~$\DPtypo{v_0}{z_0}$.

Or, dans le cas actuel, $f(u, z) = \sqrt{Z}$ ne peut évidemment
tendre vers l'infini que si $z$~y tend lui-même. Les
points~$u_1$ où le prolongement de la fonction~$z$ pourrait
être arrêté sont donc ceux où $z$~devient infini et ceux où $z$~prend
une des valeurs $e_1, e_2, e_3$, critiques pour~$\sqrt{Z}$.

Nous allons prouver: \primo que les premiers sont isolés
(on pourra donc toujours les éviter); \secundo que les derniers
ne sont pas des points critiques pour~$z$. Rien n'empêchera
donc de prolonger la fonction dans tout le plan des~$u$.

\Paragraph{23.}{La fonction~$z$ de~$u$ est uniforme et fractionnaire.} ---
Supposons donc que, pour $u = u_1$, $z$~devienne infini.
Posons $z = \dfrac{1}{t^2}$; l'équation différentielle devient
\[
-\frac{2\, dt}{du} = \sqrt{4 - g_2t^4 - g_3t^6}.
\]

Le radical ne s'annule pas pour $t = 0$; la détermination
que l'on considère est donc une fonction de~$t$ uniforme
et continue dans le voisinage de $t=0$. Par conséquent
l'équation différentielle ci-dessus définit une fonction~$t$ de~$u$
elle-même uniforme et continue dans un cercle de rayon
fini décrit du point~$u_1$ comme centre. Or, d'après un théorème
connu, la fonction analytique~$t$ ne peut reprendre
dans ce cercle une infinité de fois la valeur~$0$, c'est-à-dire
que $z$~n'y peut prendre qu'un nombre limité de fois une
%% -----File: 047.png---Folio 43-------
valeur infinie. Les infinis de~$z$ sont donc isolés dans le
plan des~$u$.

Nous allons prouver que ce sont des pôles.

Pour cela, développons en série le second membre de
l'équation précédente; il viendra
\[
du = ±\left(1 - \frac{g_2t^4 + g_3t^6}{4}\right)^{-\frac{1}{2}}dt
= ±\left(1 + \frac{g_2}{8}\, t^4 + \frac{g_3}{8}\, t^6 + \dots\right)dt;
\]
d'où, en intégrant et tenant compte de ce que $t$~doit être
nul pour $u=u_1$,
\[
u - u_1
  = ±t\left(1 + \frac{g_2}{40}\, t^4 + \frac{g_3}{56}\, t^6 + \dots \right)
\]
et, en résolvant par rapport à~$t$,
\[
t = ±(u-u_1)\left[1 - \frac{g_2}{40}\,(u - u_1)^4 + \dots \right];
\]
d'où
\[
z = \frac{1}{t^2}
  = \frac{1}{(u - u_1)^2} + \frac{g_2}{20}\, (u-u_1)^2 + \dots.
\]

Ainsi $z$~est uniforme aux environs du point~$u_1$, et ce
point~$u_1$ \emph{est un pôle}.

Reste à savoir si les points critiques $e_1, e_2, e_3$ de~$\sqrt{Z}$ dans
le plan des~$z$ correspondent à des points $u_1, u_2, u_3$ du
plan des~$u$ qui soient critiques pour la fonction~$z$.

Posons $z = e_1 + t^2$. L'équation différentielle
\[
\frac{dz}{du} = \sqrt{Z} = \sqrt{4(z - e_1)(z - e_2)(z - e_3)}
\]
se transforme en
\[
\frac{dt}{du} = \sqrt{(e_1 - e_2 + t^2)(e_1 - e_3 + t^2)}.
\]

La valeur $t = 0$ n'étant pas un point critique pour le
nouveau radical, $u_1$~sera un point ordinaire pour la fonction~$t$
de~$u$ et par conséquent pour $z = e_1 + t^2$.

De tout ceci résulte que \emph{$z$~est une fonction analytique
uniforme et fractionnaire de~$u$}.
%% -----File: 048.png---Folio 44-------

\Paragraph{24.}{La fonction~$z$ de~$u$ est doublement périodique.} --- A une
même valeur~$z'$ de~$z$ l'équation différentielle, qu'on peut
écrire
\[
du = \frac{dz}{\sqrt{Z}},
\]
fait correspondre une infinité de valeurs de~$u$. Cherchons-les.

L'équation intégrée donne
\[
u = u_0 + \int_{z_0}^{z'} \frac{dz}{\sqrt{Z}},
\]
le signe de~$\sqrt{Z}$ étant déterminé par la condition que, pour
$z = z_0$, $\sqrt{Z}$~se réduise à~$+\sqrt{Z_0}$.

II faut chercher les diverses valeurs que peut prendre
cette intégrale %[Ilustration]
\begin{wrapfigure}[9]{l}{1.75in}%[** TN: Width-dependent break]
  \Input[1.75in]{048a}
\end{wrapfigure}
lorsqu'on fait
varier le fil d'intégration suivi
de~$z_0$ à~$z'$. Menons une ligne
déterminée~$L$ entre $z_0$~et~$z'$.
Puis joignons~$z_0$ aux points
$e_1, e_2, e_3$ par des \emph{lacets} $L_1, L_2, L_3$
composés chacun d'une
droite, d'un petit cercle et de
la même droite parcourue en
sens inverse.

\Subparagraph{Tout chemin $z_0MNPz'$ amènera la même valeur de~$u$ que le
chemin déterminé~$L$ précédé d'un certain nombre de lacets.}

Pour le prouver, observons que nous pouvons adjoindre
au chemin $z_0MNPz'$ les lignes (pointillées) $\dddot{z_0M}$, $\dddot{z_0N}$, $\dddot{z_0P}$ à
condition de les parcourir deux fois en sens inverse, et sans
interposer d'autre trajet entre ces deux parcours, qui évidemment
donneront une valeur nulle pour l'intégrale $\displaystyle\int\frac{dz}{\sqrt{Z}}$.

Rappelons-nous d'autre part que l'intégrale d'une fonction
analytique~$f(z)$ a même valeur le long de deux chemins ayant
même point de départ et même point d'arrivée, ne passant
ni l'un ni l'autre par des points critiques de~$f(z)$, et dont le
%% -----File: 049.png---Folio 45-------
second peut être obtenu en déformant le premier sans
jamais le faire passer par aucun de ces points critiques.
Deux pareils chemins sont dits \emph{équivalents}.

Cela posé, le chemin $z_0MNPz'$ peut manifestement être
remplacé par ces trois-ci parcourus consécutivement:
\[
\dddot{z_0M}, MN, \dddot{Nz_0}; \qquad
\dddot{z_0N}, NP, \dddot{Pz_0}; \qquad
\dddot{z_0P}, Pz'.
\]

Or d'après la définition des chemins équivalents, il est
facile de voir que le premier équivaut à un lacet~$L_2$, le
second à un lacet~$L_1$, le troisième au chemin~$L$.

L'intégrale suivant le lacet~$L_1$ se compose des intégrales
suivant la droite~$z_0e_1$, suivant le petit cercle de centre~$e_1$, et
suivant la ligne de retour~$e_1z_0$.

Or, lorsque le point~$z$ a fait une circulation complète
autour de~$e_1$, le radical~$\sqrt{Z}$ a simplement changé de signe.
Comme $dz$~change de signe également dans le retour, le
quotient~$\dfrac{dz}{\sqrt{Z}}$ reprend exactement la même valeur quand
$z$~repasse par les mêmes points; il en résulte que
\[
\int_{z_0}^{e_1}\frac{dz}{\sqrt{Z}} = \int_{e_1}^{z_0}\frac{dz}{\sqrt{Z}}.
\]

Quant à l'intégrale le long du petit cercle, elle est nulle;
car cette intégrale $\displaystyle\int\frac{dz}{\sqrt{Z}}$ a son module du même ordre de
grandeur que celui de $\displaystyle\int\frac{dz}{\sqrt{z - e_1}}$, lequel est inférieur à
\[
\int \frac{\Mod dz}{\Mod \sqrt{z - e_1}} = \int\frac{ds}{\sqrt{\rho}},
\]
$\rho$~désignant le rayon de la petite circonférence et $ds$~l'élément
d'arc. Or
\[
\int \frac{ds}{\sqrt{\rho}}
  = \frac{1}{\sqrt{\rho}} \int ds
  = \frac{1}{\sqrt{\rho}}\, 2\pi\rho
  = 2\pi\sqrt{\rho},
\]
quantité qui tend vers zéro en même temps que~$\rho$.
%% -----File: 050.png---Folio 46-------

De tout ceci résulte que l'intégrale suivant le lacet~$L_1$ se
réduit à $2\displaystyle\int_{z_0}^{e_1}\frac{dz}{\sqrt{Z}}$. Posons
\[
A_1 = \int_{z_0}^{e_1} \frac{dz}{\sqrt{Z}}, \qquad
A_2 = \int_{z_0}^{e_2} \frac{dz}{\sqrt{Z}}, \qquad
A_3 = \int_{z_0}^{e_3} \frac{dz}{\sqrt{Z}},
\]
le signe du radical~$\sqrt{Z}$ étant déterminé par l'obligation imposée
à ce radical de se réduire à~$+\sqrt{Z_0}$ pour $z = z_0$;
et remarquons que, lorsque le point~$z$ revient en~$z_0$, le
radical ne reprend pas la valeur qu'il avait au moment du
départ, mais une valeur égale et de signe contraire. De sorte
que l'intégrale prise suivant le lacet~$L_1$ est $2A_1$~ou~$-2A_1$ suivant
qu'on a décrit avant celui-là un nombre pair ou un
nombre impair d'autres lacets.

Enfin, la valeur de l'intégrale le long du chemin~$L$ étant
désignée par~$I$,
\[
I = \int_{z_0}^{z'} \frac{dz}{\sqrt{Z}},
\]
lorsque la valeur initiale du radical est~$+\sqrt{Z_0}$, cette intégrale
aura pour valeur $+I$~ou~$-I$ suivant que $L$~aura
été précédé d'un nombre pair ou d'un nombre impair de
lacets.

Toutes les valeurs de~$u$ répondant à une même valeur
de~$z$ sont donc données par la formule
\[
u = u_0 + 2n_1A_1 + 2n_2A_2 + 2n_3A_3 + (-1)^{n_1+n_2+n_3}I,
\]
$n_1, n_2, n_3$ étant des entiers positifs ou négatifs dont la
somme est égale à $0$~ou à~$1$ suivant que le nombre des
lacets est pair ou impair; car tout lacet qui amène l'intégrale
$+2A_i$ ($i$~étant un des nombres $1, 2, 3$) est nécessairement
suivi d'un autre amenant l'intégrale $-2A_j$
($j = 1, 2$ ou~$3$).
%% -----File: 051.png---Folio 47-------

Posons maintenant
\begin{align*}
A_3 - A_2 &= \int_{e_2}^{e_3} \frac{dz}{\sqrt{Z}} = \omega_1, \\
A_1 - A_3 &= \int_{e_3}^{e_1} \frac{dz}{\sqrt{Z}} = \omega_2, \\
A_2 - A_1 &= \int_{e_1}^{e_2} \frac{dz}{\sqrt{Z}} = \omega_3,
\end{align*}
et remplaçons dans la formule précédente $A_1$~par sa valeur
$A_3 + \omega_2$ et $A_2$~par $A_3 - \omega_1$; elle deviendra
\[
u = u_0 + 2n_1\omega_2 - 2n_2\omega_1 + (n_1+n_2+n_3)2A_3
  + (-1)^{n_1+n_2+n_3}I,
\]
et suivant que $n_1 + n_2 + n_3$ est égal à $0$~ou à~$1$,
\begin{gather*}
u = 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2 + I + u_0\\
u = 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2 + 2A_3 - I + u_0.
\end{gather*}

De là résulte que $z$~est une fonction doublement périodique
de~$u$ aux périodes $2\omega_1, 2\omega_2$ déterminées en fonction
des constantes $g_2, g_3$ (dont $e_1, e_2, e_3$ sont des fonctions) par
les intégrales définies ci-dessus.

Comme nous avons vu que $z$~est une fonction analytique,
uniforme et fractionnaire, c'est une fonction elliptique.

Son ordre est~$2$; car il n'y a dans chaque parallélogramme
des périodes que deux valeurs de l'argument qui fassent
acquérir à la fonction~$z$ une même valeur. C'est ce que
montrent les deux formules ci-dessus qui ne donnent pour~$u$
que deux valeurs \emph{distinctes}, $I + u_0$~et $2A_3 - I + u_0$.

\Paragraph{25.}{Pôles de~$z$; $z$~est une fonction~$\wp u$.} --- La fonction elliptique~$z$
étant du second ordre et ses pôles étant doubles, il
n'y en aura qu'un dans chaque parallélogramme des périodes.\ --- Cherchons
où ils sont situés.

La valeur $u_1$ d'un pôle est donnée par la formule
\[
u_1 = u_0 + \int_{z_0}^{\infty} \frac{dz}{\sqrt{Z}}.
\]
%% -----File: 052.png---Folio 48-------
Évaluons cette intégrale, que nous supposons prise le long
d'une ligne~$z_0z_1$ aboutissant en un point~$z_1$ d'un cercle~$C$
décrit de~$z_0$ comme centre avec un cercle de rayon infini.

La fonction analytique~$\sqrt{Z}$, dont la valeur au point~$z_0$ est
bien % [Ilustration]
\begin{wrapfigure}{l}{1.5in}%[** TN: Width-dependent break]
  \Input[1.5in]{052a}
\end{wrapfigure}
déterminée et égale à~$+\sqrt{Z_0}$,
est visiblement uniforme et continue
dans la région du plan des~$z$ bornée
par le cercle~$C$, par la ligne~$z_0z_1$ et
par les trois lacets $L_1, L_2, L_3$. Son intégrale
suivant ce contour est nulle.
Cette intégrale est la somme de six
autres, prises: \primo suivant~$z_0z_1$; \secundo suivant~$C$
dans le sens rétrograde; \tertio suivant~$z_1z_0$; \quarto suivant~$L_1$
(c'est le seul lacet qu'on puisse suivre dans la disposition
de la figure, sans franchir un autre lacet ou la coupure~$z_0z_1$);
\cinqo suivant~$L_2$; \sexto suivant~$L_3$.

Quand le point~$z$, après avoir décrit la circonférence~$C$,
est revenu en~$z_1$, le radical
\[
\sqrt{Z} = \sqrt{(z - e_1)(z - e_2)(z - e_3)}
\]
a changé de signe comme le ferait évidemment le radical
plus simple~$\sqrt{z^3}$ qui est la partie principale de~$\sqrt{Z}$ pour
les grandes valeurs de~$z$. Il en résulte que
\[
\int_{z_1}^{z_0} \frac{dz}{\sqrt{Z}} = \int_{z_0}^{z_1} \frac{dz}{\sqrt{Z}},
\]
d'où
\[
\int_{z_0}^{z_1} \frac{dz}{\sqrt{Z}}
  +  \int_{z_1}^{z_0} \frac{dz}{\sqrt{Z}}
  = 2\int_{z_0}^{z_1} \frac{dz}{\sqrt{Z}}.
\]

Lorsque $z$~est revenu en~$z_0$, le radical a pris la valeur~$-\sqrt{Z_0}$;
par suite le lacet~$L_1$ amènera la valeur $-2A_1$~de
l'intégrale; le lacet~$L_2$ qui vient ensuite, la valeur~$+2A_2$;
le lacet suivant~$L_3$ la valeur~$-2A_3$. On aura donc
\[
2\int_{z_0}^{z_1} + \int_C - 2A_1 + 2A_2 - 2A_3 = 0.
\]
%% -----File: 053.png---Folio 49-------

Mais l'intégrale suivant le cercle~$C$ est rigoureusement
nulle. Car elle a une valeur fixe quel que soit le rayon~$R$
de ce cercle, et elle est du même ordre que l'intégrale plus
simple $\displaystyle\int_C \frac{dz}{\sqrt{z^3}}$, dont le module (si $ds$~désigne un élément
de la circonférence) est plus petit que
\[
\int_C \frac{\Mod dz}{\Mod \sqrt{z^3}}
  = \int \frac{ ds }{R^{\frac{3}{2}}}
  =      \frac{ 1  }{R^{\frac{3}{2}}} · 2\pi R
  =      \frac{2\pi}{R^{\frac{1}{2}}},
\]
quantité aussi petite qu'on veut.

L'équation ci-dessus, où l'on fait  $\displaystyle\int_C = 0$ et où l'on
remplace $\displaystyle\int_{z_0}^{z_1}$ c'est-à-dire $\displaystyle\int_{z_0}^\infty$  par sa valeur $u_1 - u_0$,
donne pour valeur du pôle~$u_1$
\[
u_1 = u_0 + A_1 - A_2 + A_3.
\]

Tous les pôles de~$z$ sont compris dans la formule générale
\[
u = 2m_1 \omega_1 + 2m_2 \omega_2 + u_0 + A_1 - A_2 + A_3.
\]

Maintenant donnons à la constante d'intégration~$u_0$ la valeur
particulière
\[
u_0 = -A_1 + A_2 - A_3;
\]
les pôles seront les points
\[
u = 2m_1 \omega_1 + 2m_2 \omega_2.
\]

\Subparagraph{Conclusion.} --- $z$~ne sera autre chose que la fonction~$\wp u$
construite sur les deux périodes
\[
\omega_1 = \int_{e_2}^{e_3} \frac{dz}{\sqrt{Z}},\qquad
\omega_2 = \int_{e_3}^{e_1} \frac{dz}{\sqrt{Z}},
\]
car les deux fonctions elliptiques $z$~et~$\wp u$ ont mêmes
périodes, mêmes pôles, même partie infinie~$\dfrac{1}{(u - u_1)^2}$ autour
de chacun de ces pôles, et de plus même terme constant,
savoir zéro, de leur développement dans le voisinage
%% -----File: 054.png---Folio 50-------
d'un pôle~$u_1$, puisque nous avons trouvé~\Eqref{(23)}
\[
z = \frac{1}{(u - u_1)^2} + \frac{g_2}{20}\, (u - u_1)^2 + \dots\DPtypo{}{.}
\]

\Subparagraph{Remarque.} --- Quand le triangle $e_1, e_2, e_3$ devient infiniment
aplati, c'est-à-dire quand les trois points $e_1, e_2, e_3$ sont
en ligne droite, le calcul des périodes ne présente aucune
difficulté particulière. Car si, pour fixer les idées, nous supposons
$e_3$~situé entre $e_1$~et~$e_2$, l'élément différentiel des
deux intégrales qui représentent $\omega_1$~et~$\omega_2$ ne devient pas
infini entre les deux limites.

Il n'en est pas de même pour l'intégrale qui exprime~$\omega_3$;
mais il est inutile de discuter cette intégrale pour savoir
comment la calculer (ce qui d'ailleurs serait facile); car
nous savons \textit{a~priori} que $\omega_3$~est égale à~$-(\omega_1 + \omega_2)$.

\ctb
%% -----File: 055.png---Folio 51-------


\Chapter{III}{Les fonctions $\zeta u$ et $\sigma u$}

La théorie des fonctions elliptiques est facilitée par l'adjonction
à la fonction~$\wp u$ de deux autres fonctions que
Weierstrass a nommées $\zeta u$~et~$\sigma u$ et qui sont liées d'une
façon très simple à~$\wp u$. Au reste $\zeta u$~et~$\sigma u$ ne sont pas des
fonctions elliptiques, mais elles se rapprochent beaucoup
de ces fonctions par leurs propriétés.

\Paragraph{26.}{Définition de~$\zeta u$.} --- Si l'on intégrait terme à terme la
série
\[
\wp u = \frac{1}{u^2} + \sum \left[ \frac{1}{(u - w)^2} - \frac{1}{w^2} \right]
\]
sans ajouter de constante, on obtiendrait un développement
dont la convergence serait incertaine, car son terme général
$\dfrac{-1}{u - w} - \dfrac{u}{\DPtypo{w_2}{w^2}}$ est de l'ordre de grandeur de~$\dfrac{1}{w^2}$, et la série
des modules de~$\dfrac{1}{w^2}$ est divergente. Mais il est facile de
rendre ce développement convergent: il suffit d'ajouter
à chacun de ses termes la constante~$-\dfrac{1}{w}$. Car le
terme général
\[
-\frac{1}{u - w} - \frac{u}{w^2} - \frac{1}{w}
  = -\frac{u^2}{w^2(u - w)}
  = \frac{u^2}{1 - \dfrac{u}{w}} · \frac{1}{w^3}
\]
est de l'ordre de~$\dfrac{1}{w^3}$ (voir \Ord{2}{e}~partie, ch.~I,~15). %[xref]
%% -----File: 056.png---Folio 52-------

La série ainsi obtenue est absolument et uniformément
convergente en toute région du plan qui ne contient aucun
des points
\[
w = 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2.
\]

C'est cette série changée de signe qu'on appelle~$\zeta u$.
Ainsi
\[
\zeta u
  = \frac{1}{u} + \sum\left(\frac{1}{u - w} + \frac{1}{w} + \frac{u}{w^2}\right)
\]
et
\[
\zeta'(u) = -\wp u.
\]

La fonction~$\zeta u$, ayant pour dérivée une fonction paire, \emph{est
une fonction impaire}.

Elle est homogène de degré~$-1$ par rapport aux trois
lettres $u$,~$\omega_1$,~$\omega_2$.

Elle reste invariable lorsqu'on change les périodes sans
changer les sommets du réseau, c'est-à-dire dans toute
transformation du premier degré.

Elle a pour pôles les points $2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2$. Ces pôles
sont simples et les résidus correspondants sont égaux à~$1$.

\Paragraph{27.}{Développement de~$\zeta u$ suivant les puissances de~$u$.} --- Du
développement~\Eqref{(17)}
\[
\wp u = \frac{1}{u^2} + c_1u^2 + c_2u^4 + \dots
\]
on déduit en intégrant, changeant de signe, et remarquant
que la différence $\zeta u - \dfrac{1}{u}$ s'annule pour $u = 0$,
\[
\zeta u = \frac{1}{u} - c_1\, \frac{u^3}{3} - c_2\, \frac{u^5}{5} - \dots\DPtypo{}{.}
\]

\Paragraph{28.}{Addition d'une période à l'argument de~$\zeta u$.} --- De la
relation
\[
\wp(u + 2\omega_1) =\wp(u),
\]
on tire, en intégrant et changeant le signe des deux
membres,
\[
\zeta(u + 2\omega_1) = \zeta(u) + 2\eta_1.
\]
%% -----File: 057.png---Folio 53-------

Pour déterminer la constante~$\eta_1$, faisons $u = -\omega_1$.
Observons que $\zeta(u)$~est une fonction impaire et que par
suite $\zeta(-\omega_1) = -\zeta(\omega_1)$. Nous en concluons
\[
\eta_1 = \zeta(\omega_1).
\]

Le même raisonnement et le même calcul s'appliqueront
à~$\zeta(u + 2\omega_2)$. Nous aurons donc
\begin{align*}
\zeta(u + 2\omega_1) &= \zeta(u) + 2\eta_1, \\
\zeta(u + 2\omega_2) &= \zeta(u) + 2\eta_2,
\end{align*}
avec
\[
\eta_1 = \zeta \omega_1,\qquad
\eta_2 = \zeta \omega_2.
\]

On voit que la fonction~$\zeta(u)$ n'est pas doublement périodique,
mais se reproduit augmentée d'une constante par
l'addition d'une période (de~$\wp u$) à son argument.

\Paragraph{29.}{Relation entre les quatre constantes $\omega_1, \omega_2$, $\eta_1, \eta_2$.} ---
Les quatre %[Illustration]
\begin{wrapfigure}{l}{1.5in}%[** TN: Width-dependent break]
  \Input[1.5in]{057a}
\end{wrapfigure}
constantes $\omega_1, \omega_2$, $\eta_1, \eta_2$
sont liées par une relation dont
nous apercevrons la grande importance
dans la théorie des fonctions~$\theta$
de Jacobi. On obtient cette relation
en calculant l'intégrale $\int \zeta u\, du$
autour du parallélogramme des périodes~$O'ABC$.

L'intégration suivant les deux côtés opposés $O'A$,~$BC$
donne
\begin{multline*}
\int_{O'A} \zeta u\, du + \int_{CB} \zeta u\, du
  = \int_{O'}^{O' + 2\omega_1} \zeta(u)\, du
   -\int_{O'}^{O' + 2\omega_1} \zeta(u + 2\omega_2)\, du \\
  = \int_{O'}^{O' + 2\omega_1} \bigl[\zeta(u) - \zeta(u + 2\omega_2)\bigr]\, du
  = \int_{O'}^{O' + 2\omega_1} -2\eta_2\, du = -4\eta_2\omega_1.
\end{multline*}
Les deux côtés $AC$,~$O'B$ donnent~$+4\omega_2\eta_1$.

L'intégrale cherchée est donc
\[
4(\omega_2\eta_1 -\omega_1\eta_2).
\]

Mais d'autre part cette intégrale est égale au produit de
$2\pi i$~par la somme des résidus de la fonction~$\zeta u$ relatifs aux
%% -----File: 058.png---Folio 54-------
pôles contenus dans ce parallélogramme, si l'on suppose
que le sens du parcours~$O'ACB$ est le sens direct. Or, il n'y
a qu'un pôle, de résidu~$+1$. On a donc
\[
2(\omega_2\eta_1 - \omega_1\eta_2) = \pi i.
\]

C'est la relation cherchée.

L'hypothèse faite sur le sens du parcours implique,
comme nous l'avons vu (\Ord{1}{re}~partie, ch.~I,~4), que le rapport %[xref]
$\tau = \dfrac{\omega_2}{\omega_1}$ des périodes ait sa partie imaginaire positive. On
peut toujours supposer qu'il en est ainsi, car, dans le cas
contraire, on prendrait pour périodes $2\omega_1$~et~$-2\omega_2$, ce
qui ne change pas les sommets du réseau et par suite
n'altère pas la fonction~$\zeta u$.

\Paragraph{30.}{La fonction~$\sigma u$.} --- Intégrons la série
\[
\zeta u = \frac{1}{u}
  + \sum \left(\frac{1}{u - w} + \frac{1}{w} + \frac{u}{w^2}\right),
\]
et, pour rendre convergente la série obtenue, ajoutons à
chacun de ses termes la constante~$-\log w$. Le terme
général aura pour expression
\begin{multline*}
\log(w - u) + \frac{u}{w} + \frac{u^2}{2w^2} - \log w
  = \log \left(1 - \frac{u}{w}\right) + \frac{u}{w} + \frac{u^2}{2w^2} \\
  = \left(-\frac{u}{w} - \frac{u^2}{2w^2} - \frac{u^3}{3w^3} - \dots\right)
  + \frac{u}{w} + \frac{u^2}{2w^2} = -\frac{u^3}{3w^3} - \dots
\end{multline*}
Il est de l'ordre de~$\dfrac{1}{w^3}$, et par conséquent la convergence
de la série est assurée.

La fonction qu'on obtient ainsi et qu'on peut écrire
\begin{multline*}
\log u + \sum \log \left(1 - \frac{u}{w}\right)
  + \sum \log e^{\frac{u}{w} + \frac{u^2}{2w^2}} \\ %[** Needs attn]
  = \log \left[u\prod \left(1 - \frac{u}{w}\right) e^{\frac{u}{w} + \frac{u^2}{2w^2}}\right]
\end{multline*}
%% -----File: 059.png---Folio 55-------
n'est pas uniforme; mais uniforme est la fonction qui
figure sous le signe~$\log$. C'est cette dernière qu'on appelle~$\sigma u$.
On a donc
\[
\sigma u = u \prod \left(1 - \frac{u}{w}\right)
  e^{\frac{u}{w} + \frac{u^2}{2w^2}} %[** Attn]
\]
et
\[
\frac{d}{du} \log \sigma u = \zeta u.
\]

\Paragraph{31.}{Propriétés de~$\sigma u$.\ --- Développement suivant les puissances
de~$u$.} --- La fonction~$\sigma u$ est évidemment entière et
ses zéros sont les points $2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2$. Ces zéros sont
simples. Pour $u$~infiniment petit, la valeur principale de~$\sigma u$
est égale à~$u$.

Considérée comme fonction des trois lettres $u$,~$2\omega_1$,~$2\omega_2$,
$\sigma u$~est homogène de degré~$1$.

Elle reste invariable pour toute transformation du premier
degré.

C'est une fonction impaire de~$u$. Car on a le droit, dans
l'expression de~$\sigma u$, d'écrire $-w$~au lieu de~$w$, ce qui ne
fait qu'échanger les termes deux à deux. Si alors on change
$u$~en~$-u$, on voit que la fonction s'est reproduite, mais
changée de signe.

Enfin si l'on intègre le développement~\Eqref{(27)}
\[
\zeta u = \frac{1}{u} - c_1\, \frac{u^3}{3} - c_2\, \frac{u^5}{5} - \dots
\]
et qu'on remarque que, pour $u = 0$, $\log\sigma u - \log u$
s'annule, il vient
\begin{align*} %[** TN: Re-aligned]
\log \sigma u
  &= \log u - c_1\, \frac{u^4}{3\centerdot4} - c_2\, \frac{u^6}{5\centerdot6} - \dots \\
\sigma u
  &= u\centerdot e^{-c_1\, \frac{u^4}{3\centerdot4} - c_2\, \frac{u^6}{5\centerdot6} - \dots} \\
  &= u(1 + d_1 u^4 + d_2u^6 + \dots).
\end{align*}
%% -----File: 060.png---Folio 56-------

\Paragraph{32.}{Addition d'une période à l'argument de~$\sigma u$.} --- Intégrons
l'équation
\[
\zeta(u + 2\omega_1) = \zeta u + 2\eta_1;
\]
on trouve
\begin{gather*}
\log \sigma(u + 2\omega_1) = \log \sigma u + 2\eta_1 u + \text{const.}, \\
\sigma(u + 2\omega_1) = Ce^{2\eta_1 u}\, \sigma u.
\end{gather*}

Pour déterminer la constante~$C$, faisons $u =-\omega_1$, et
remarquons que, $\sigma u$~étant une fonction impaire, nous aurons
$\sigma(-\omega_1) = -\sigma\omega_1$; il viendra
\[
C = -e^{2\eta_1\omega_1}.
\]

Le même calcul se faisant pour la période $2\omega_2$, nous
aurons
\begin{align*}
\sigma(u + 2\omega_1) &= -e^{2\eta_1(u + \omega_1)}\, \sigma u, \\
\sigma(u + 2\omega_2) &= -e^{2\eta_2(u + \omega_2)}\, \sigma u.
\end{align*}
Ces formules montrent que $\sigma u$~n'est pas une fonction elliptique,
ce que nous montrait d'ailleurs \textit{a~priori} le fait que
$\sigma u$~est une fonction entière; $\sigma u$~est une \emph{fonction doublement
périodique de troisième espèce}. M.~Hermite a appelé
ainsi les fonctions analytiques uniformes qui, lorsqu'on
ajoute une \emph{période} à leur argument, se reproduisent multipliées
par un facteur exponentiel dont l'exposant est une
fonction linéaire de l'argument. Quand ce facteur se réduit
à une constante, on a affaire à une \emph{fonction doublement
périodique de deuxième espèce}.

\Paragraph{33.}{Rappel des formules fondamentales relatives à $\wp u$, $\zeta u$,
$\sigma u$.} --- Si l'on pose $w = 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2$, on a
\begin{gather*}
\wp u = \frac{1}{u^2}
  + \sum{\left[\frac{1}{(u - w)^2} - \frac{1}{w^2}\right]}; \\
\zeta u = \frac{1}{u}
  + \sum{\left(\frac{1}{u - w} + \frac{1}{w} + \frac{u}{w^2}\right)}; \\
\sigma u
  = u\prod \left(1 - \frac{u}{w}\right) e^{\frac{u}{w} + \frac{u^2}{2w^2}}; \displaybreak[0]\\
%% -----File: 061.png---Folio 57-------
\zeta' u = -\wp u; \qquad \frac{d}{du} \log \sigma u = \zeta u; \\
\wp(u + 2\omega_1) = \wp(u + 2\omega_2) = \wp u; \\
\zeta(u + 2\omega_1) = \zeta u + 2\eta_1, \qquad
\zeta(u + 2\omega_2) = \zeta u + 2\eta_2, \\
\sigma(u + 2\omega_1) = -e^{2\eta_1(u + \omega_1)}\, \sigma u, \qquad
\sigma(u + 2\omega_2) = -e^{2\eta_2(u + \omega_2)}\, \sigma u.
\end{gather*}
Rappelons enfin les formules
\[
\eta_1 = \zeta\omega_1, \qquad
\eta_2 = \zeta\omega_2, \qquad
2(\omega_2\eta_1 - \omega_1\eta_2) = \pi i.
\]

\ctb
%% -----File: 062.png---Folio 58-------


\Chapter{IV}{Expression des fonctions elliptiques
par les fonctions $\sigma$, $\zeta$, $\wp$}

Toute fonction elliptique~$f(u)$ aux périodes $2\omega_1, 2\omega_2$
peut être exprimée d'une manière très simple soit par des
fonctions~$\sigma$, soit par des fonctions~$\zeta$, soit par une fonction~$\wp$
ayant les mêmes périodes.

\Paragraph{34.}{Expression par un quotient de fonctions~$\sigma$.} --- Il faut
avoir déterminé les zéros $a_1, a_2, \dots, a_n$ et les pôles $b_1,
b_2, \dots, b_n$ de~$f(u)$ situés dans un parallélogramme des
périodes\footnotemark.
\footnotetext{Ou, plus généralement, les zéros distincts et les pôles distincts,
  c'est-à-dire tels que deux d'entre eux aient une différence non égale à
  une période $2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2$.}
On sait que la somme des zéros ne diffère de
la somme des pôles que par la somme de multiples des
deux périodes:
\[
a_1 + a_2 + \dots + a_n = b_1 + b_2 + \dots + b_n + 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2.
\]

Si du parallélogramme considéré on se transporte dans
celui dont un sommet diffère du sommet homologue de celui-là
précisément de $2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2$, on y trouvera un
pôle~$b'_n$, par exemple, homologue de~$b_n$ et tel que
\[
b'_n = b_n + 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2,
\]
en sorte que la relation précédente prend la forme plus
%% -----File: 063.png---Folio 59-------
simple (où $b_n$~a été récrit pour~$b'_n$, par raison de symétrie)
\[
a_1 + a_2 + \dots + a_n = b_1 + b_2 + \dots + b_n.
\]

Cela posé, la fonction
\[
\frac{\sigma(u - a_1)\dots\sigma(u - a_n)}
     {\sigma(u - b_1)\dots\sigma(u - b_n)}
\]
a les mêmes zéros et les mêmes pôles que~$f(u)$.

C'est d'ailleurs une fonction elliptique aux mêmes périodes
$2\omega_1, 2\omega_2$.

Car si l'on y change $u$~en~$u + 2\omega_1$, par exemple, elle se
reproduit~\Eqref{(32)} multipliée par
\[
  \frac{(-1)^n e^{2\eta_1(u - a_1 + \omega_1)} \dots e^{2\eta_1(u - a_n + \omega_1)}}
       {(-1)^n e^{2\eta_1(u - b_1 + \omega_1)} \dots e^{2\eta_1(u - b_n + \omega_1)}}
  = \frac{e^{2\eta_1[n(u + \omega_1) - (a_1 + \dots + a_n)]}}
         {e^{2\eta_1[n(u + \omega_1) - (b_1 + \dots + b_n)]}}
  =1.
\]
On aura donc
\[
f(u) = C\frac{\sigma(u - a_1)\dots\sigma(u - a_n)}
             {\sigma(u - b_1)\dots\sigma(u - b_n)}.
\]

Pour déterminer le facteur constant~$C$, on donnera à~$u$
une valeur particulière pour laquelle on exprimera que les
deux membres sont égaux (ou ont même valeur principale,
s'ils sont nuls ou infinis).

Si quelques zéros ou quelques pôles sont multiples, on
fera dans cette formule $a_1 = a_2 = \dots$ ou $b_1 = b_2 = \dots$\DPtypo{}{.}

\Paragraph{35.}{Expression par $\zeta$~et ses dérivées.} --- Ce procédé exige
que l'on connaisse les pôles \emph{distincts} $a, b, \dots$ de~$f(u)$,
leurs degrés respectifs de multiplicité $\alpha, \beta, \dots$ et le développement
de la partie infinie de~$f(u)$ autour de chacun
d'eux
\[
\frac{A_\alpha}{(u - a)^\alpha} + \dots + \frac{A_1}{u - a}, \qquad
\frac{B_\beta}{(u - b)^\beta} + \dots + \frac{B_1}{u - b}, \qquad\dots\DPtypo{}{.}
\]

Nous allons montrer qu'on aura
%% -----File: 064.png---Folio 60-------
\begin{multline*}
f(u) = A_1\zeta(u - a) - A_2\zeta'(u - a) + \dots
  + \frac{(-1)^{\alpha-1}A_\alpha}{1 \centerdot 2 \dots (\alpha-1)}\,
    \zeta^{(\alpha-1)}(u - a) \\
  + B_1\zeta(u - b) - B_2\zeta'(u - b) + \dots
  + \frac{(-1)^{\beta-1}A_\beta}{1 \centerdot 2 \dots (\beta-1)}\,
    \zeta^{(\beta-1)}(u - b) \\
  + \dots + \text{const.}
\end{multline*}

Car, si l'on accroît~$u$ de la période~$2\omega_1$ par exemple, $\zeta u$~s'accroît
de~$2\eta_1$; ses dérivées restent invariables; le second
membre s'accroît donc de $2\eta_1(A_1 + B_1 + \dots)$, quantité
qui est nulle, puisque la somme $A_1 + B_1 + \dots$ des
résidus est égale à zéro (\Ord{1}{re}~partie, chap.~III,~9). %[xref]

Par conséquent, ce second membre est une fonction
elliptique.

D'ailleurs, dans un parallélogramme des périodes, $\zeta(u-a)$~n'a
qu'un seul pôle, $a + \text{période}$; et aux environs de
ce pôle unique, les développements de~$\zeta(u-a)$ et de
ses dérivées $\zeta'(u-a), \dots, \zeta^{(\alpha-1)}(u - a)$ ont pour
partie infinie respectivement
\[
\frac{1}{(u - a)}, \qquad
\frac{-1}{(u-a)^2}, \qquad \dots, \qquad
\frac{(-1)^{\alpha-1} \centerdot 1 \centerdot 2 \dots(\alpha-1)}
     {(u-a)^\alpha}.
\]

Il en résulte que le second membre a bien autour de
chaque pôle même partie infinie que~$f(u)$. Il ne diffère
donc de~$f(u)$ que par une constante, qu'on déterminera de
telle sorte que la différence s'annule.

\Paragraph{36.}{Application. Intégration des fonctions elliptiques.} ---
Cette décomposition d'une fonction elliptique en une
somme d'éléments simples permet d'intégrer cette fonction.
Car nous aurons, en intégrant les deux membres de
l'équation du numéro précédent,
\begin{multline*}
\int fu\, du = A_1d\log{\sigma(u-a)} - A_2 \zeta{(u - a)} + \dots \\
  + \frac{(-1)^{\alpha-1}A_\alpha}{1\centerdot 2 \dots {(\alpha-1)}}
    \zeta^{(\alpha-2)}(u - a) + B_1d\log \sigma(u - b) - \dots + Cu + C'.
\end{multline*}
%% -----File: 065.png---Folio 61-------

\Paragraph{37.}{Expression par $\wp u$~et~$\wp' u$.} --- \primo Supposons que $f(u)$~soit
une fonction paire. Si elle admet un zéro~$a_1$, elle admettra
un zéro~$-a_1$, (avec le même degré de multiplicité~$\alpha_1$).
Soient donc $±a_1, \dots, ±a_n$ ceux de ses zéros
distincts \emph{qui ne sont pas des périodes}; $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ leurs
degrés respectifs de multiplicité; de même soient
\[
±b_1, \dots, ±b_n
\]
ses pôles distincts \emph{qui ne sont pas des périodes}; $\beta_1, \dots, \beta_n$
leurs degrés de multiplicité. On aura
\[
f(u) = C\,
  \frac{{(\wp u - \wp a_1)}^{\alpha_1} (\wp u - \wp a_2)^{\alpha_2} \dots}
       {{(\wp u - \wp b_1)}^{\beta_1}  (\wp u - \wp b_2)^{\beta_2} \dots},
\]
$C$~désignant une constante. En effet, les deux membres de
cette équation sont deux fonctions elliptiques qui ont leurs
zéros communs et leurs pôles communs, sauf peut-être
ceux des zéros et ceux des pôles qui sont des périodes.
Mais si une période est un zéro, toutes les périodes en sont,
et si une période est un pôle, toutes en sont également. Or
le quotient de $f(u)$~par le second membre est une fonction
elliptique; si cette fonction ne se réduisait pas à une constante~$C$,
elle admettrait les périodes à la fois pour zéros
et pour pôles, ce qui est impossible.

\secundo Supposons que $f(u)$~ne soit pas une fonction paire.

On peut l'écrire identiquement
\[
f(u) = \frac{f(u) + f(-u)}{2} + \frac{f(u) - f(-u)}{2\wp' u}\,\wp' u.
\]

Or $\dfrac{f(u) + f(-u)}{2}$ est évidemment une fonction paire;
de même $\dfrac{f(u) - f(-u)}{2\wp' u}$ (car $f(u) - f(-u)$ est impaire
et $\wp' u$~impaire également). On peut exprimer ces
deux fonctions elliptiques paires rationnellement au moyen
de~$\wp u$.

On en conclut que \emph{$f(u)$~peut être exprimée rationnellement
en fonction de $\wp u$~et~$\wp' u$}.
%% -----File: 066.png---Folio 62-------

\begin{Theorem}{38.} --- Deux fonctions elliptiques aux mêmes
périodes sont liées par une relation algébrique.
\end{Theorem}

Car si l'on exprime ces deux fonctions $f(u)$,~$\varphi(u)$ au
moyen de $\wp u$,~$\wp' u$ on obtient deux relations qui, jointes à
celle qui existe entre $\wp u$~et~$\wp' u$ (\Ord{2}{e}~partie, chap.~I,~18), %[xref]
permettront d'éliminer ces deux dernières quantités, et
conduiront à une équation algébrique entre $f(u)$~et~$\varphi(u)$.
%** Explicit skip?

Il est facile d'évaluer le degré de cette équation par rapport
à~$f$ et à~$\varphi$. Soit $m$~l'ordre de~$f$. A chaque valeur particulière~$f_0$
de~$f$ correspondent, dans un parallélogramme
des périodes, $m$~valeurs de~$u$, savoir $u_0, u_1, \dots, u_m$,
et par conséquent, \emph{en général}, $m$~valeurs distinctes de~$\varphi$,
savoir $\varphi(u_0), \dots, \varphi(u_m)$. De même si $\mu$~est l'ordre de~$\varphi$,
à chaque valeur de~$\varphi$ correspondent $\mu$~valeurs de~$f$ (en
général). L'équation sera donc au plus (et ce sera le cas général)
du degré~$m$ par rapport à~$\varphi$ et du degré~$\mu$ par rapport
à~$f$.

Ces degrés peuvent d'ailleurs s'abaisser, par exemple
quand $f$~et~$\varphi$ sont des fonctions paires de~$u$. Car si à la
valeur~$f_0$ de~$f$ correspond la valeur~$u_1$ de~$u$, à cette même
valeur~$f_0$ correspond aussi la valeur $-u_1 + \text{période}$.
Mais à ces deux valeurs de~$u$ ne répond qu'une seule valeur
de~$\varphi$. L'équation sera donc de degré~$\dfrac{m}{2}$ par rapport à~$\varphi$
et, pour la même raison, de degré~$\dfrac{\mu}{2}$ par rapport à~$f$.

\Paragraph{39.}{Relation entre une fonction elliptique et sa transformée.} ---
Soit $f(u,\omega_1,\omega_2)$ une fonction elliptique aux périodes
$2\omega_1, 2\omega_2$. A ces périodes on en substitue deux autres
$2\omega'_1, 2\omega'_2$ liées aux premières par les relations
\begin{align*}
2\omega_1 &= a\centerdot 2\omega'_1 + b\centerdot 2\omega'_2, \\
2\omega_2 &= c\centerdot 2\omega'_1 + d\centerdot 2\omega'_2.
\end{align*}

Les sommets du premier réseau font évidemment tous
%% -----File: 067.png---Folio 63-------
partie du second réseau (la réciproque n'est pas vraie, à
moins que la transformation ne soit du premier degré). De
là résulte que la fonction elliptique \emph{transformée} $f(u, \omega'_1, \omega'_2)$
admet les périodes $2\omega_1, 2\omega_2$.

Par conséquent, \emph{la fonction elliptique~$f(u)$ est liée à sa
transformée par une équation algébrique}.

Nous avons annoncé (\Ord{1}{re}~partie, chap.~II,~7) et nous prouverons %[xref]
bientôt que la transformée de~$\wp u$ est une fonction
rationnelle de~$\wp u$. C'est là une des supériorités de la fonction~$\wp u$.

\begin{Theorem}{40.} --- Toute fonction elliptique~$f(u)$ est liée à
sa dérivée par une équation algébrique.
\end{Theorem}

Car $f(u)$~et~$f'(u)$ sont deux fonctions elliptiques aux
mêmes périodes.

Si $u_1$~est un pôle de degré~$\alpha_1$ de~$f(u)$, ce sera un pôle
de degré~$\alpha + 1$ de~$f'(u)$. L'ordre~$\mu$ de~$f'(u)$ surpassera
donc l'ordre~$m$ de~$f(u)$ d'autant d'unités qu'il y a de pôles
distincts de~$f(u)$. Supposons qu'il y en ait~$k$.

L'équation entre $f(u)$~et~$f'(u)$ sera du degré~$m$ par rapport
à~$f'(u)$ et du degré~$m + k$ par rapport à~$f(u)$.

Ce théorème est d'une importance capitale. Il montre
que certaines équations du premier ordre de la forme
\[
F \left(z, \frac{dz}{du}\right) = 0
\]
où ne figure pas explicitement la variable indépendante~$u$,
algébriques par rapport à~$z$ et à~$\dfrac{dz}{du}$, et de degré~$m$ par
rapport à cette dérivée, peuvent être intégrées au moyen
d'une fonction elliptique $z = f(u)$ d'ordre~$m$.

Reconnaître directement sur l'équation s'il en est ainsi
et intégrer dans ce cas est un problème qui a été résolu
complètement par Briot et Bouquet.

\ctb
%% -----File: 068.png---Folio 64-------


\Chapter[Addition des arguments pour la fonction $\wp u$.\ ---
Multiplication de l'argument]%
{V}{Addition des arguments pour la fonction $\wp u$.
Multiplication de l'argument}

\Paragraph{41.}{Addition des arguments.} --- Notre but est de montrer
que \emph{$\wp(u + v)$ s'exprime rationnellement en fonction de
$\wp u$,~$\wp v$, $\wp' u$,~$\wp' v$}.

\primo Cherchons l'expression de $\wp u - \wp v$. Considérée
comme fonction de la variable~$u$, cette différence admet,
aux périodes près, un seul pôle (double) $u = 0$. Elle est
donc du second ordre; par suite elle n'admet \emph{que deux zéros}
distincts qui sont évidemment $u = ±v$. Elle sera donc
\Eqref{(34)} de la forme
\[
\wp u - \wp v = C\, \frac{\sigma(u + v)\sigma(u - v)}{\sigma^2 u}.
\]

Pour déterminer la constante~$C$, il suffit d'identifier les
valeurs principales pour~$u$ infiniment petit, en se rappelant
que la valeur principale de~$\wp u$ est~$\dfrac{1}{u^2}$ \Eqref{(17)}~et que celle de
$\sigma u$~est $u$~\Eqref{(31)}. On trouve ainsi
\[
\frac{1}{u^2} = -\frac{C\, \sigma^2 v}{u^2},\qquad
C = -\frac{1}{\sigma^2 v};
\]
d'où l'expression cherchée
\[
\wp u - \wp v = - \frac{\sigma(u + v) \sigma(u - v)}{\sigma^2 u\, \sigma^2 v}.
\]

\secundo Prenons la dérivée logarithmique des deux membres
%% -----File: 069.png---Folio 65-------
par rapport à~$u$, il viendra
\[
\frac{\wp' u}{\wp u - \wp v} = \zeta(u + v) + \zeta(u - v) - 2\zeta u.
\]

Cette formule, quand on y échange $u$~et~$v$, devient
($\zeta$~étant impaire)
\[
\frac{-\wp' v}{\wp u - \wp v} = \zeta(u + v) - \zeta(u - v) - 2\zeta v.
\]
Ajoutons celle-ci à la première et divisons par~$2$:
\[
\frac{1}{2}\, \frac{\wp' u - \wp' v}{\wp u - \wp v}
  = \zeta(u + v) - \zeta u - \zeta v.
\]

Différentions encore par rapport à~$u$:
\[
\wp(u + v) - \wp u
  = -\frac{1}{2}\, \frac{d}{du}\,
     \frac{\wp\DPtypo{}{'} u - \wp' v}{\wp u - \wp v}.
\]

Si, après avoir effectué la différentiation du second membre,
nous remplaçons~$\wp''u$ par sa valeur~\Eqref{(19)} $6\wp^2 u - \dfrac{1}{2}\, g_2$,
nous obtenons $\wp(u + v)$ en fonction rationnelle de
$\wp u$,~$\wp v$, $\wp' u$,~$\wp' v$, comme nous l'avions annoncé. Mais la
formule ainsi obtenue ne serait pas symétrique en $u$~et~$v$.

\tertio Pour arriver à une formule symétrique nous dirigerons
le calcul de la manière que voici. Effectuons
\[
\frac{d}{du}\, \frac{\wp' u - \wp' v}{\wp u - \wp v}
  = \frac{\wp''u(\wp u - \wp v) - \wp'u(\wp' u - \wp' v)}{(\wp u - \wp v)^2}.
\]

Si nous remplaçons $\wp'' u$ par sa valeur $6\wp^2 u - \dfrac{1}{2}\, g_2$ et
$\wp'^2 u$~par sa valeur $4\wp^2 u - g_2 \wp u - g_3$, le numérateur du
second membre devient
\begin{multline*}
(\wp u - \wp v) \left(6\wp^2 u - \frac{1}{2}\, g_2 \right)
  - (4\wp^3 u - g_2 \wp u - g_3) + \wp' v \, \wp'u \\
  = 2\wp^3 u + \frac{1}{2}\, g_2 \wp u + g_3 - 6\wp^2 u\, \wp v
  + \frac{1}{2}\, g_2 \wp v + \wp' v\, \wp' u.
\end{multline*}

De là résulte
%% -----File: 070.png---Folio 66-------
\begin{align*}
\wp(u + v)
  &= \wp u - \frac{1}{2}\, \frac{d}{du}\,
     \frac{\wp' u - \wp' v}{\wp u - \wp v} \\
  &= \frac{ \left\{
    \begin{gathered}
      2\wp^2 u\, \wp v + 2\wp u\, \wp^2 v
      - \left(\frac{1}{2}\, g_2 \wp u + \frac{1}{2} g_3 \right) \\
      - \left(\frac{1}{2}\, g_2 \wp v + \frac{1}{2} g_3 \right) - \wp' v\, \wp' u
    \end{gathered}
  \right.}{2(\wp u - \wp v)^2}.
\end{align*}

Si au numérateur du second membre on remplace
$g_2 \wp + g_3$ par sa valeur $-\wp'^2 + 4\wp^3$, ce numérateur devient
\begin{align*}
2 \wp^2 u\, \wp v
  &+ 2 \wp u\, \wp^2 v + \frac{1}{2} (\wp'^2 u - 4\wp^3)
   + \frac{1}{2} (\wp'^2 v - 4 \wp^3 v) - \wp' v\, \wp' u \\
  &= 2\wp^2 u(\wp v - \wp u) + 2\wp^2 v(\wp u - \wp v)
   + \frac{1}{2} (\wp' u - \wp' v)^2 \\
  &= -2(\wp u + \wp v) (\wp u - \wp v)^2 + \frac{1}{2} (\wp' u - \wp' v)^2.
\end{align*}
Finalement on obtient
\[
\wp(u + v) = -\wp u - \wp v
  + \frac{1}{4}\, \left(\frac{\wp' u - \wp' v}{\wp u - \wp v}\right)^2.
\]

Telle est l'importante formule de \emph{l'addition des arguments}
pour la fonction~$\wp u$.

\Paragraph{42.}{Multiplication de l'argument par~$2$.} --- Si dans cette
formule nous faisons tendre~$v$ vers~$u$, nous aurons
\[
\wp 2u = -2\wp u + \frac{1}{4}\, \frac{\wp''^2 u}{\wp'^2 u}
  = \frac{1}{4}\,
    \frac{\left(6\wp^2 u - \dfrac{1}{2}\, g_2 \right)^2}
         {4\wp^3 u - g_2 \wp u - g_3}.
\]

Une différentiation fournirait~$\wp' 2u$.

Faisant ensuite dans la formule d'addition
\[
v = 2u, 3u, \dots,
\]
on obtiendrait des formules pour la multiplication de l'argument
de~$\wp u$ par un entier quelconque.

Nous y parviendrons, au chapitre suivant, d'une manière
plus élégante.

\ctb
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\Chapter[Multiplication de l'argument de $\wp u$ (\textit{suite}).\ ---
Division de l'argument]%
{VI}{Multiplication de l'argument de $\wp u$ (\textit{suite}).
Division de l'argument}

\Paragraph{43.}{} Reprenons la formule~\Eqref{(41)}
\[
\wp u - \wp v
  = -\frac{\sigma(u + v)\sigma(u - v)}{\sigma^2 u\, \sigma^2 v},
\]
et remplaçons-y $u$~par~$nu$ et $v$~par~$u$; elle devient
\[
\wp nu - \wp u
  = -\frac{\sigma(n + 1)u\, \sigma(n - 1)u}{\sigma^2 nu\, \sigma^2 u}
  = -\frac{\dfrac{\sigma(n + 1)u}{[\sigma u]^{(n+1)^2}}\,
           \dfrac{\sigma(n - 1)u}{[\sigma u]^{(n-1)^2}}}
          {\left[\dfrac{\sigma\, nu}{(\sigma u)^{n^2}} \right]^2};
\]
expression qui, si l'on y pose
\[
\psi_n u = \frac{\sigma\, nu}{(\sigma u)^{n^2}},
\]
devient à son tour
\[
\wp nu - \wp u = - \frac{\psi_{n+1} \psi_{n-1}}{\psi^2_n}.
\]

C'est en exprimant les fonctions~$\psi$ au moyen de $\wp u$,~$\wp' u$
suivant la règle indiquée précédemment (\Ord{2}{e}~partie, ch.~IV,~17) %[xref]
que nous obtiendrons la représentation cherchée de~$\wp u$.

\Paragraph{44.}{Étude de la fonction~$\psi_n u$.} --- Pour prouver que $\psi_n u$~est
une fonction elliptique, cherchons l'effet sur~$\sigma\, nu$ du changement
de~$u$ en~$u + 2\omega_1$ et~$u + 2\omega_2$. Nous aurons par
%% -----File: 072.png---Folio 68-------
exemple~\Eqref{(39)}
\[
\begin{array}{r@{}r@{}l}
& \sigma(nu + 2\omega_1)
  &{}= -e^{2\eta_1(nu + \omega_1)}\, \sigma\, nu, \\
\sigma(nu + 4\omega_1)
  &{}= \sigma(nu + 2\omega_1 + 2\omega_1)
  &{}= -e^{2\eta_1(nu + 2\omega_1 + \omega_1)}\, \sigma (nu + 2\omega_1) \\
& &{}=e^{2\eta_1\bigl[2nu + \omega_1(1+3)\bigr]}\, \sigma\, nu. \\
\hdotsfor[5]{3} \\
\sigma(nu + 2n\omega_1)
  &\multicolumn{2}{l}{%
   {}= (-1)^n e^{2\eta_1\bigl[n\centerdot nu
                 + \omega_1(1 + 3 + 5 + \dots + 2n - 1)\bigr]}} \\
& &{}=(-1)^n\, e^{2\eta_1(n^2u + n^2\omega_1)}\, \sigma\, nu.
\end{array}
\]
Cela posé, on a
\begin{align*}
\psi_n(u + 2\omega_1)
   = \frac{\sigma(nu + 2n\omega_1)}{\bigl[\sigma(u + \omega_1)\bigr]^{n^2}}
  &= \frac{(-1)^n\, e^{2\eta_1 n^2(u + \omega_1)}\, \sigma\, nu}
          {[-e^{2\eta_1(u + \omega_1)}]^{n^2}\, (\sigma u)^{n^2}} \\
  &= \frac{(-1)^n}{(-1)^{n^2}}\, \frac{\sigma\, nu}{(\sigma u)^{n^2}}
   = \frac{\sigma\, nu}{(\sigma u)^{n^2}} = \psi_nu;
\end{align*}
$\psi_n u$~est donc une fonction elliptique aux périodes $2\omega_1, 2\omega_2$.

Passons à la représentation de~$\psi_n u$ au moyen de~$\wp u$.

Comme $\sigma u$~est une fonction entière, $\psi_n u$~n'a d'autres
pôles que les zéros de~$\sigma u$, qui sont tous des périodes.

Ensuite, les zéros de~$\psi_n u$ sont ceux de~$\sigma\, nu$; ils sont
donc donnés par la formule
\begin{align*}
nu &= 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2, \\
\intertext{d'où}
u  &= \frac{2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2}{n}.
\end{align*}
Ces zéros sont simples. Cherchons ceux d'entre eux qui ne
sont pas des périodes et qui sont distincts. On les trouvera
tous en attribuant à $m_1, m_2$ les valeurs $0, 1, \dots, n-1$
(sauf la combinaison $m_1 = m_2 = 0$). Cela fait en tout
$n^2 - 1$~zéros.

Mais ces $n^2 - 1$ zéros ne sont pas encore tous distincts.
Ici deux cas sont à distinguer.

\primo \emph{$n$~est impair.} --- A chaque zéro $\dfrac{2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2}{n}$ en correspond
un autre
\[
\frac{2(n - m_1)\omega_1 + 2(n - m_2)\omega_2}{n}
\]
qui n'en est pas distinct, puisque la somme de ces deux
%% -----File: 073.png---Folio 69-------
zéros est $2\omega_1 + 2\omega_2$. Il n'y a donc que $\dfrac{n^2 - 1}{2}$ zéros distincts.
Quant aux pôles, nous l'avons dit, tous sont des
périodes. Aucun dénominateur ne figurera donc dans la
représentation de la fonction paire~$\psi_n u$ au moyen de~$\wp(u)$,
et l'on aura, en appliquant la formule du \no37, %[xref]
\[
\psi_n u = n\prod\left[
  \wp u - \wp \left(\frac{2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2}{n} \right) \right] = P_1,
\]
$P_1$~étant un polynôme de degré~$\dfrac{n^2-1}{2}$ en~$\wp u$. Le facteur
constant est bien égal à~$n$; car les valeurs principales
des deux membres pour~$u$ infiniment petit sont toutes
deux égales à~$\dfrac{n}{u^{n^2 - 1}}$.

\secundo \emph{$n$~est pair.} --- On doit mettre à part les trois systèmes
de valeurs
\[
\left(m_1 = \frac{n}{2}, m_2 = 0\right), \
\left(m_1 = 0, m_2 = \frac{n}{2}\right), \
\left(m_1 = \frac{n}{2}, m_2 = \frac{n}{2}\right),
\]
pour lesquelles les zéros de~$\psi_n u$ sont $\omega_1, \omega_2, \omega_1 + \omega_2$.
Mais ces trois zéros sont précisément des zéros de~$\wp' u$. Il
reste $n^2 - 4$~zéros, qui peuvent être rapprochés deux à deux
comme précédemment et dont $\dfrac{n^2 - 4}{2}$ seulement sont
distincts. La fonction elliptique paire~$\dfrac{\psi_n u}{\wp' u}$ pourra s'exprimer
rationnellement au moyen de~$\wp u$; et l'on aura
\[
\psi_n u = -\frac{n}{2} \wp' u
  \prod\left[\wp u - \wp\left(\frac{2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2}{n} \right)\right]
  = P_2 \wp' u;
\]
le signe~$\displaystyle\prod$ portant sur $\dfrac{n^2-4}{2}$~facteurs, et $P_2$~désignant
un polynôme de degré~$\dfrac{n^2-4}{2}$ en~$\wp u$.

\Paragraph{45.}{Multiplication de l'argument de~$\wp u$ par~$n$.} --- Tout ceci
étant acquis, la formule ci-dessus~\Eqref{(43)}
\[
\wp nu - \wp u = -\frac{\psi_{n+1} \psi_{n-1}}{\psi_n^2}
\]
%% -----File: 074.png---Folio 70-------
résout le problème de la multiplication de l'argument de~$\wp u$
par~$n$, c'est-à-dire permet de former l'expression de \emph{$\wp nu$~en
fonction rationnelle de~$\wp u$}:

\primo \emph{$n$~étant pair}, et par conséquent $n + 1$~et~$n - 1$
impairs, on a
\[
\psi_n = P_1, \qquad
\psi_{n+1} = Q_1 \wp' u, \qquad
\psi_{n-1} = R_1 \wp' u,
\]
$P_1, Q_1, R_1$ étant des polynômes en~$\wp u$. On voit donc que
\[
\wp nu = \wp u - \wp'^2 u\, \frac{Q_1R_1}{P_1^2}
  = \wp u - (4\wp^3 - g_2 \wp - g_3)\, \frac{Q_1R_1}{P_1^2}
\]
s'exprime rationnellement en fonction de~$\wp u$.

\secundo \emph{$n$~étant impair}, et par conséquent $n+1$~et~$n-1$
pairs, on a
\begin{gather*}
\psi_n = P_2 \wp' u, \qquad
\psi_{n+1} = Q_2, \qquad
\psi_{\DPtypo{n-2}{n-1}} = R_2, \\
\wp nu = \wp u - \frac{Q_2R_2}{P_2\DPtypo{}{^2}\, \wp'^2 u}
  = \wp u - \frac{Q_2R_2}{P_2\DPtypo{}{^2} (4\wp^3 - g_2 \wp - g_3)};
\end{gather*}
$\wp nu$ est toujours une fonction rationnelle de~$\wp u$.

\Paragraph{46.}{Calcul des polynômes $P_1, P_2$.} --- Il est facile de calculer
en fonction des deux invariants $g_2, g_3$ les coefficients
des deux polynômes $P_1, P_2$ dont le premier
\[
\left(\text{de degré } \frac{n^2 - 1}{2} \text{ en } \wp u \right)
\]
représente $\psi_n u = \dfrac{\sigma\, nu}{(\sigma u)^{n^2}}$ quand $n$~est pair, et le second
$\!\left(\!\!\text{de degré } \dfrac{n^2 - 4}{2}\!\right)$ représente $\dfrac{\psi_n u}{\wp' u} = \dfrac{1}{\wp' u}\, \dfrac{\sigma\, nu}{(\sigma u)^{n^2}}$ quand
$n$~est impair:
\begin{align*} %[** TN: Aligned]
P_1 &= \alpha \wp^{\frac{n^2 - 1}{2}}
   + \alpha_1 \wp^{\frac{n^2 - 1}{2}-1} + \dots
  = \frac{\sigma\, nu}{(\sigma u)^{n^2}}, \\
P_2 &= \beta \wp^{\frac{n^2 - 4}{2}}
   + \beta_1 \wp^{\frac{n^2 - 4}{2} - 1} + \dots
  = \frac{1}{\wp' u}\, \frac{\sigma\, nu}{(\sigma u)^{n^2}}.
\end{align*}

On obtient $\alpha, \alpha_1, \dots$, $\beta, \beta_1, \dots$ par la méthode des
coefficients indéterminés, en remplaçant dans les deux
%% -----File: 075.png---Folio 71-------
équations précédentes $\wp u$,~$\wp' u$, $\sigma u$,~$\sigma\, nu$ par leurs développements
\begin{align*}
\wp u &= \frac{1}{u^2} + c_1 u^2 + c_2 u^4 + \dots, &
  \wp' u &= -\frac{2}{u^3} + 2c_1 u + 4c_2 u^3 + \dots; \\
\sigma u &= u(1 + d_1 u^4 + \dots) &
\sigma\, nu &= nu(1 + d_1 n^4u^4 + \dots).
\end{align*}
On trouve, en identifiant les puissances semblables de $u$,
\[
\alpha = n, \qquad
\alpha_1 = 0,\dots \qquad
\beta = -\frac{n}{2}, \qquad
\beta_1 = 0, \ldots
\]

\Paragraph{47.}{Division de l'argument de $\wp u$.} --- Supposons $\wp nu$~donné,
et proposons-nous de calculer~$\wp u$. Nous aurons à
résoudre par rapport à cette dernière quantité l'équation
\[
\wp nu - \wp u = -\frac{\psi_{n+1} \psi_{n-1}}{\psi_n^2},
\]
dont le second membre est une fonction rationnelle de~$\wp u$
que nous venons d'apprendre à former.

Il serait facile d'évaluer le degré de cette équation par rapport
à l'inconnue~$\wp u$, en comptant les degrés des polynômes
$P_1, Q_1, R_1$, $P_2, Q_2, R_2$ du \no45. Mais nous pouvons le faire %[xref]
\textit{a~priori} de la manière suivante.

A la valeur donnée de~$\wp nu$ correspondent une infinité
de valeurs de~$u$ fournies par la formule
\[
±u_0 + \frac{2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2}{n}
\]
et par suite les valeurs de~$\wp u$ comprises dans l'expression
\[
\wp\left(u_0 + \frac{2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2}{n}\right),
\]
où les entiers $m_1, m_2$ peuvent être supposés positifs et plus
petits que~$n$, et où $u_0$~est pris seulement avec le signe~$+$.
Car si $m_1$~et~$m_2$ ne remplissent pas ces conditions, en
ajoutant à l'argument de~$\wp$ une période convenable, on
ramènera cet argument à un autre de même forme
$u_0 + \dfrac{2m'_1\omega_1 + 2m'_2\omega_2}{n}$ où les entiers $m'_1, m'_2$ seront positifs
%% -----File: 076.png---Folio 72-------
et inférieurs à~$n$; et si $u_0$~est pris avec le signe~$-$, l'argument
$-u_0 + \dfrac{2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2}{n}$ peut être, sans que la valeur
de~$\wp$ soit altérée, remplacé par $u_0 - \dfrac{2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2}{n}$,
où $u_0$~est affecté du signe~$+$.

Le nombre des valeurs distinctes de~$\wp u$ est donc celui
des systèmes des entiers $m_1, m_2$ qui prennent la suite des
valeurs $0, 1, 2, \dots, n$. Ce nombre est~$n^2$. Tel est effectivement
le degré de l'équation qui donne~$\wp u$ en fonction
de~$\wp nu$.

\ctb
%% -----File: 077.png---Folio 73-------


\Chapter{VII}{Division des périodes de $\wp u$}

\Paragraph{48.}{} Le problème consiste à évaluer $\wp\left(u, \dfrac{\omega_1}{n}, \omega_2 \right)$ en
fonction de~$\wp(u, \omega_1, \omega_2)$. Nous allons montrer que la première
de ces deux fonctions, que nous appellerons pour
abréger~$\wpbar u$, s'exprime rationnellement au moyen de la seconde,
comme nous l'avons annoncé dans la première partie
(ch.~II,~7). %[xref]

Quand $n$~est un nombre composé, la question peut être
simplifiée. Supposons que $n$ soit le produit de deux autres
entiers,
\[
n = n' × n''.
\]
Nous pouvons d'abord évaluer
\[
\wp \left( u, \frac{\omega_1}{n}, \omega_2 \right)
  = \wp\left( u, \frac{\ \dfrac{\omega_1}{n'}\ }{n''}, \omega_2 \right)
\]
en fonction de
$\wp\left( u, \dfrac{\omega_1}{n'}, \omega_2 \right)$, puis
$\wp\left( u, \dfrac{\omega_1}{n'}, \omega_2 \right)$ en
fonction de $\wp (u, \omega_1, \omega_2)$.

Comme tout nombre pair est le produit d'une puissance
de~$2$ par un nombre impair, nous sommes ramenés à étudier
ces deux cas: \primo division d'une période par~$2$; \secundo division
d'une période par un nombre impair.

\Paragraph{49.}{Division d'une période par~$2$.} --- Nous allons exprimer
%% -----File: 078.png---Folio 74-------
$\wpbar u = \wp\left( u, \dfrac{\omega_1}{2}, \omega_2 \right)$ au moyen de la fonction $\zeta(u, \omega_1, \omega_2)$
et de ses dérivées (\Ord{2}{e}~partie, ch.~IV, 35). %[xref]

La fonction~$\wpbar u$ admet les périodes $2\omega_1, 2\omega_2$. Elle admet
deux pôles doubles distincts $0$~et~$\omega_1$. Aux environs de ces
pôles, les parties infinies de son développement sont respectivement
$\dfrac{1}{u^2}$,~$\dfrac{1}{(u - \omega_1)^2}$. On aura donc~\Eqref{(35)}
\[
\wpbar u = -\zeta' u - \zeta'(u - \omega_1) + C
  = \wp u + \wp(u - \omega_1) + C.
\]

Pour déterminer la constante~$C$, observons qu'aux environs
de $u = 0$, le développement de~$\wpbar u$, comme celui
de~$\wp u$, est privé de terme constant; donc
\begin{gather*}
0 =  \wp(-\omega_1) + C, \\
C = -\wp(-\omega_1) = -\wp(\omega_1) = -e_1.
\end{gather*}

D'ailleurs, d'après la formule d'addition (\Ord{2}{e}~partie,
ch.~V, 41) %[xref]
\[
\wp(u - \omega_1) = -\wp u - \wp(-\omega_1)
  + \frac{1}{4} \left[\frac{\wp' u - \wp'(-\omega_1)}{\wp u - \wp(-\omega_1)} \right]^2
\]
ou bien, si l'on observe que
\begin{gather*}
\wp(-\omega_1) = \wp(\omega_1) = e_1, \\
\wp'(-\omega_1)
  = \wp'(-\omega_1 + 2\omega_1)
  = \wp'\DPtypo{\omega(_1)}{(\omega_1)} = 0,
\end{gather*}
et qu'on remplace $\wp'^2u$ par sa valeur
\[
4(\wp u - e_1) (\wp u - e_2) (\wp u - e_3),
\]
il vient
\[
\wp(u - \omega_1)
  = -\wp u - e_1 + \frac{(\wp u - e_2) (\wp u - e_3)}{\wp u - e_1}.
\]

Nous avons à calculer $\wp(u - \omega_1) + C$, c'est-à-dire
$\wp(u - \omega_1) - e_1$. En effectuant le calcul, on trouve
\[
\wp(u - \omega_1) - e_1
  = \frac{-(e_1 + e_2 + e_3) \wp u + 2e_1^2 + e_2 e_3}{\wp u - e_1}.
\]

Finalement, si l'on tient compte de la relation
\[
e_1 + e_2 + e_3 = 0,
\]
d'où résulte l'identité
%% -----File: 079.png---Folio 75-------
\[
2e_1^2 + e_2 e_3 = (e_2 - e_1) (e_3 - e_1),
\]
on trouve
\[
\wpbar u = \wp u + \frac{(e_2 - e_1) (e_3 - e_1)}{\wp u - e_1}.
\]

\Paragraph{50.}{Division d'une période par un nombre impair.} --- Soit
$n = 2m + 1$. Nous voulons exprimer $\wpbar u = \wp( u, \dfrac{\omega_1}{n}, \omega_2)$
en fonction de~$\wp(u, \omega_1, \omega_2)$. Nous nous servirons toujours
de la représentation d'une fonction elliptique par $\zeta(u, \omega_1, \omega_2)$
et ses dérivées par rapport à~$u$.

La fonction~$\wpbar u$ admet les périodes $2\omega_1, 2\omega_2$ et les pôles
distincts $0, ±\dfrac{2\omega_1}{n}, \dots, ±\dfrac{2m\omega_1}{n}$.  Ces pôles sont doubles,
sans résidu; le développement de la partie infinie
de~$\wpbar u$ autour de l'un d'eux $\dfrac{2k\omega_1}{n}$ se réduit à
$\dfrac{1}{\left( u - \dfrac{2k\omega_1}{n} \right)^2}$. Nous aurons donc~\Eqref{(35)}
\begin{align*}
\wpbar u
  &= - \zeta'u
     - \sum_{k=-m}^{k=+m} \zeta' \left(u + \frac{2k\omega_1}{n}\right) + C, \\
  &= \wp u
     + \sum_{k=-m}^{k=+m} \wp    \left(u + \frac{2k\omega_1}{n}\right) + C,
\end{align*}
(en excluant la valeur $k = 0$). Pour déterminer la constante~$C$,
nous faisons tendre $u$~vers zéro et nous remarquons
que les développements de~$\wpbar u$ et de~$\wp u$ ont l'un et
l'autre pour partie principale~$\dfrac{1}{u^2}$ sans terme constant, ce
qui donne
\[
0 =  \sum_{-m}^{+m} \wp \frac{2k\omega_1}{n} + C, \qquad
C = -\sum_{-m}^{+m} \wp \frac{2k\omega_1}{n}.
\]
%% -----File: 080.png---Folio 76-------

D'autre part, nous avons, en appliquant la formule d'addition:
\[
\wp \left( u + \frac{2k\omega_1}{n} \right)
  = -\wp u - \wp \frac{2k\omega_1}{n}
  + \frac{1}{4} \left(
    \frac{\DPtypo{\wp u'}{\wp'u} - \wp' \dfrac{2k\omega_1}{n}}
         {\wp u  - \wp  \dfrac{2k\omega_1}{n}} \right)^2.
\]

Substituons dans l'expression de~$\wpbar u$; effectuons le carré
de $\wp' u - \wp' \dfrac{2k\omega_1}{n}$ et remarquons que les doubles produits
donnent des termes impairs qui doivent se détruire puisque
$\wpbar u$~est une fonction paire; nous obtenons
\[
\wpbar u = \wp u + \sum_{-m}^{+m} \left[
  - \wp u - 2\wp\frac{2k\omega_1}{n}
  + \frac{1}{4}\,
    \frac{\wp'^2 u + \wp'^2\, \dfrac{2k\omega_1}{n}}
         {\left(\wp u - \wp\, \dfrac{2k\omega_1}{n}\right)^2} \right].
\]

En remplaçant $\wp'^2 u$~par sa valeur $4\wp^3 u - g_2 \wp u - g_3$,
on voit que $\wpbar u$~s'exprime bien \emph{rationnellement en fonction
de~$\wp u$}.

En résolvant le problème de la division des périodes de
la fonction~$\wp u$, nous nous trouvons, comme nous l'avons
expliqué (\Ord{1}{re}~partie, ch.~II, 7), avoir résolu complètement %[xref]
le problème de la transformation de~$\wp u$.

\ctb
%% -----File: 081.png---Folio 77-------


\Part{Troisième Partie}{Les fonctions $\sn u$, $\cn u$, $\dn u$}

%% -----File: 082.png---Folio 78-------
% [Blank Page]
%% -----File: 083.png---Folio 79-------


\Chapter{I}{Les fonctions $\sigma_{01} u$, $\sigma_{02} u$, $\sigma_{03} u$}

Avant que Weierstrass eût fait prévaloir l'usage de la
fonction~$\wp u$, Abel et Jacobi avaient introduit dans la
science trois fonctions elliptiques très simples que plus
tard on appela $\sn u$,~$\cn u$,~$\dn u$ et dont il importe de ne pas
abandonner l'étude parce que, malgré les incontestables
avantages de la fonction~$\wp u$, elles se présentent dans
mainte application d'une manière plus naturelle que cette
dernière. Seulement, au lieu de construire \textit{a~priori} ces anciennes
fonctions elliptiques, nous les ferons dériver de~$\wp u$.
Nous les rattacherons très simplement à celles-ci par l'intermédiaire
de trois nouvelles fonctions elliptiques $\sigma_{01} u$,~$\sigma_{02} u$,~$\sigma_{03} u$.

\Paragraph{51.}{La fonction~$\sigma_{01} u$.} --- L'introduction de cette fonction
$\sigma_{01} u$ repose sur la remarquable propriété du radical
$\sqrt{\wp u - e_1}$ d'être \emph{une fonction uniforme de~$u$}.

Reprenons en effet la formule (\Ord{2}{e}~partie, ch.~V, 41) %[xref]
\[
\wp u - \wp v = -\frac{\sigma(u + v) \sigma(u - v)}{\sigma^2 u\, \sigma^2 v},
\]
et faisons-y $v = \omega_1$. Comme $\wp\omega_1 = e_1$ par définition,
il viendra
\[
\wp u - e_1
  = -\frac{\sigma(u + \omega_1) \sigma(u - \omega_1)}
          {\sigma^2 u\, \sigma^2 \omega_1}.
\]
%% -----File: 084.png---Folio 80-------

En raisonnant comme \Ord{2}{e}~partie, ch.~III, 32, on voit que %[xref]
\[
\sigma(u - \omega_1) = \sigma(u + \omega_1 - 2\omega_1)
  = -e^{-2\eta_1(u + \omega_1 - \omega_1)}\, \sigma(u + \omega_1);
\]
donc
\begin{align*}
\wp u - e_1 &= e^{-2\eta_1 u}\,
  \frac{\sigma^2(u + \omega_1)}{\sigma^2 u\, \sigma^2 \omega_1}, \\
\sqrt{\wp u - e_1} &= e^{-\eta_1 u}\,
  \frac{\sigma(u + \omega_1)}{\sigma u\, \sigma \omega_1}.
\end{align*}

Ainsi $\sqrt{\wp u - e_1}$ est une fonction uniforme de~$u$. Ce
radical a deux déterminations. Celle que fournit l'équation
précédente est celle qui, pour $u$~infiniment petit, a
pour valeur principale~$+\dfrac{1}{u}$, puisque la valeur principale
de~$\sigma u$ est~$+u$.

L'inverse de $\sqrt{\wp u - e_1}$ est une fonction uniforme que
nous désignons par~$\sigma_{01} u$. Ainsi
\[
\sigma_{01} u = \frac{1}{\sqrt{\wp u - e_1}}
  = e^{\eta_1 u}\, \frac{\sigma u\, \sigma \omega_1}{\sigma(u + \omega_1)}.
\]

Nous allons étudier cette fonction~$\sigma_{01} u$, importante parce
que la fonction~$\sn u$ en est, comme nous le verrons, un cas
particulier.

\Paragraph{52.}{Propriétés de~$\sigma_{01} u$.} --- Nous allons montrer que \emph{$\sigma_{01} u$~est
une fonction elliptique}.

\primo \textit{$\sigma_{01} u$~est une fonction impaire.} --- Car si l'on change~$u$
en~$-u$, $\wp u - e_1$~garde sa valeur. On aura donc
\[
\sigma_{01}(-u) = \frac{1}{±\sqrt{\wp u - e_1}}.
\]

Seulement, comme la valeur principale du second membre
est~$+\dfrac{1}{u}$ quand on prend le radical avec le signe~$+$,
c'est le signe~$-$ qu'il faut prendre, afin que cette valeur
principale soit~$-\dfrac{1}{u}$ [inverse de celle de~$\sigma_{01}(-u)$]. De là
résulte
\[
\sigma_{01}(-u) = -\sigma_{01} u.
\]
%% -----File: 085.png---Folio 81-------

\secundo \textit{$\sigma_{01} u$~admet pour période~$4\omega_2$.} --- En effet, changeons~$u$
en~$u + 2\omega_2$; $\wp u - e_1$ conserve sa valeur. On ne peut
donc avoir que
\[
\sigma_{01}(u + 2\omega_2) = ±\sigma_{01} u.
\]

Pour décider du signe qu'il faut prendre, donnons à~$u$ la
valeur particulière~$-\omega_2$, nous aurons
\[
\sigma_{01} \omega_2 = ±\sigma_{01}(-\omega_2).
\]

Mais, $\sigma_{01}u$~étant une fonction impaire, c'est le signe~$-$
qui convient. Donc
\[
\sigma_{01}(u + 2\omega_2) = -\sigma_{01} u.
\]

Augmentons encore l'argument de~$2\omega_2$; il viendra
\[
\sigma_{01}(u + 4\omega_2) = -\sigma_{01}(u + 2\omega_2) = \sigma_{01} u.
\]

Donc $4\omega_2$~est une période de~$\sigma_{01} u$.

On prouverait de même que $4\omega_3$~en est une aussi.

\tertio \textit{$\sigma_{01} u$~admet la période~$2\omega_1$.} --- Le raisonnement qui
précède est inapplicable dans ce cas. Car l'expression
$\sigma_{01} \omega_1 = \dfrac{1}{\sqrt{\wp u - e_1}}$ n'a plus de sens quand on y remplace~$u$
par~$-\omega_1$, puisque $\wp(-\omega_1) = \wp\omega_1 = e_1$. Nous recourrons
à l'expression ci-dessus de~$\sigma_{01} u$ par la fonction~$\sigma$. En
remplaçant dans cette expression~$u$ par~$u + 2\omega_1$, nous
avons
\[
\sigma_{01}(u + 2\omega_1)
  = e^{\eta_1(u + 2\omega_1)}\,
    \frac{ \sigma(u + 2\omega_1)\, \sigma\omega_1 }
         { \sigma(u +  \omega_1 + 2\omega_1) }.
\]

Mais (\Ord{2}{e}~partie, ch.~III, 32) %[xref]
\begin{gather*}
\sigma(u + 2\omega_1) = -e^{2\eta_1(u + \omega_1)}\, \sigma u, \\
\sigma(u + \omega_1 + 2\omega_1)
  = -e^{2\eta_1(u + \omega_1 + \omega_1)}\, \sigma(u + \omega_1);
\end{gather*}
donc
\[
\sigma_{01}(u + 2\omega_1)
  = e^{\eta_1 u}\, \frac{\sigma u\, \sigma \omega_1}{\sigma(u + \omega_1)}
  = \sigma_{01} u.
\]

Ainsi $2\omega_1$~est une période de~$\sigma_{01} u$.

Cette fonction étant uniforme, doublement périodique,
et n'ayant évidemment, d'après sa composition, d'autres
%% -----File: 086.png---Folio 82-------
singularités que des pôles, est une fonction elliptique,
\cqfd

\Paragraph{53.}{Pôles et zéros de~$\sigma_{01}u$.} --- Les pôles de~$\sigma_{01}u$ sont les
racines de
\[
\wp u - e_1 = \wp u - \wp\omega_1 = 0.
\]
Ils sont donc donnés par la formule
\[
u = \omega_1 + 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2.
\]

Ces pôles sont simples.

Les zéros de~$\sigma_{01}u$ sont les pôles de~$\wp u$, et comme ces
pôles sont doubles, ces zéros sont simples à cause du radical
qui porte sur~$\wp u - e_1$. Tous ces zéros sont compris
dans la formule
\[
u = 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2.
\]

\Paragraph{54.}{Équation algébrique entre $\sigma_{01}u$ et sa dérivée.} --- Pour
obtenir cette équation, il suffit de remplacer~$\wp u$ par sa
valeur $e_1 + \dfrac{1}{\sigma^2_{01}u}$ dans la relation
\[
\wp'^2u = 4(\wp u - e_1)(\wp u - e_2)(\wp u - e_3).
\]
On a
\[
\wp  u = e_1 + \frac{1}{\sigma^2_{01}u}, \qquad
\wp' u = -2\, \frac{\sigma'_{01}u}{\sigma^3_{01}u}.
\]
La substitution donne
\[
4\, \frac{\sigma'^2_{01}u}{\sigma^6_{01}u}
  = \frac{4}{\sigma^2_{01}u}
      \left( \frac{1}{\sigma^2_{01}u} + e_1 - e_2 \right)
      \left( \frac{1}{\sigma^2_{01}u} + e_1 - e_3 \right).
\]
Posons pour simplifier
\[
e_3 - e_1 = M^2, \qquad
e_2 - e_1 = M^2 k^2.
\]
L'équation entre $\sigma_{01}u$~et sa dérivée deviendra, après suppression
du facteur~$\dfrac{4}{\sigma^6_{01}u}$,
\[
\sigma'^2_{01}u = (1 - M^2\, \sigma^2_{01}u)(1 - M^2 k^2\, \sigma^2_{01}u).
\]

\Paragraph{55.}{Les fonctions $\sigma_{02}u$,~$\sigma_{03}u$.} --- Les fonctions elliptiques
$\sigma_{02}u$,~$\sigma_{03}u$ sont définies par des formules analogues à celles
%% -----File: 087.png---Folio 83-------
qui servent de définition à~$\sigma_{01} u$:
\begin{align*}
\sigma_{02}
  &= \frac{1}{\sqrt{\wp u - e_2}}
   = e^{\eta_\DPtypo{1}{2} u}\, \frac{\sigma u\, \sigma \omega_2}{\sigma(u + \omega_2)}, \\
\sigma_{03}
  &= \frac{1}{\sqrt{\wp u - e_3}}
   = e^{\eta_3 u}\, \frac{\sigma u\, \sigma \omega_3}{\sigma(u + \omega_3)}.
\end{align*}

Insistons un peu sur la dernière expression, car nous
n'avons encore rien dit de la quantité~$\eta_3$ qui y figure.

Nous avons introduit les deux quantités $\eta_1 = \zeta\omega_1$,
$\eta_2 = \zeta\omega_2$ en étudiant la fonction~$\zeta u$ construite avec les
périodes $2\omega_1, 2\omega_2$ (\Ord{2}{e}~partie, ch.~III, 29). On obtient la même %[xref]
fonction~$\zeta u$ en partant des deux périodes $2\omega_1, 2\omega_3$, qui
conservent les sommets du réseau construit sur $2\omega_1, 2\omega_2$.
Cette fonction $\zeta(u, \omega_1, \omega_3)$ introduit à son tour la quantité
\[
\eta_3 = \zeta\omega_3.
\]

Nous avons vu que si, prenant la direction~$2\omega_1$ pour
faire le tour du parallélogramme construit sur $2\omega_1, 2\omega_2$,
on se trouve marcher dans le sens direct, on a entre $\omega_1, \omega_2$,
$\eta_1, \eta_2$ la relation (\Ord{2}{e}~partie, ch.~III, 29) %[xref]
\[
2(\eta_1\omega_2 - \eta_2\omega_1) = \pi i.
\]

Or, l'égalité $\omega_1 + \omega_2 + \omega_3 = 0$ se traduit géométriquement
par ce fait % [Illustration]
\begin{wrapfigure}{l}{1.75in}%[** TN: Width-dependent break]
  \Input[1.75in]{087a}
\end{wrapfigure}
que la période~$2\omega_3$
est égale et directement
opposée à la diagonale
du parallélogramme construit
sur~$2\omega_1$,~$2\omega_2$.

Il s'ensuit que les deux
parallélogrammes construits
respectivement sur $2\omega_2$,~$2\omega_3$ et $2\omega_3$,~$2\omega_1$ seront contournés
dans le sens direct, si l'on part du point de concours~$O'$ des
trois périodes, pour le premier dans la direction~$2\omega_2$,
pour le second dans la direction~$2\omega_3$. Nous n'avons donc,
dans la relation ci-dessus, qu'à faire sur les indices une permutation
circulaire, pour obtenir les deux relations corrélatives
%% -----File: 088.png---Folio 84-------
\[
  2(\eta_2\omega_3 - \eta_3\omega_2)
= 2(\eta_3\omega_1 - \eta_1\omega_3) = \pi i.
\]
Il est facile de voir que ces trois relations, jointes à
$\omega_1 + \omega_2 + \omega_3 = 0$, entraînent l'égalité
\[
\eta_1 + \eta_2 + \eta_3 = 0.
\]

\Paragraph{56.}{Tableau des propriétés des trois fonctions $\sigma_{01} u$,
$\sigma_{02} u$, $\sigma_{03} u$.} --- A chacune des trois racines $e_1, e_2, e_3$ correspond
une fonction elliptique
\[
\sigma_{01} u = \frac{1}{\sqrt{\wp u - e_1}}, \quad
\sigma_{02} u = \frac{1}{\sqrt{\wp u - e_2}}, \quad
\sigma_{03} u = \frac{1}{\sqrt{\wp u - e_3}}
\]
ou bien encore
\[
\sigma_{01} u
  = e^{\eta_1 u}\, \frac{\sigma u\, \sigma\omega_1}{\sigma(u + \omega_1)},\
\sigma_{02} u
  = e^{\eta_2 u}\, \frac{\sigma u\, \sigma\omega_2}{\sigma(u + \omega_2)},\
\sigma_{03} u
  = e^{\eta_3 u}\, \frac{\sigma u\, \sigma\omega_3}{\sigma(u + \omega_3)}.
\]

Souvenons-nous des trois relations
\[
\omega_1 + \omega_2 + \omega_3 = 0,  \quad
e_1 + e_2 + e_3 = 0,  \quad
\eta_1 + \eta_2 + \eta_3 = 0.
\]

Voici le tableau des périodes, des pôles et des zéros de
ces trois fonctions
\[
\begin{array}{*{4}{c}}
  \text{Fonction} & \text{Périodes} & \text{Pôles} & \text{Zéros}  \\
  \sigma_{01} u & 2\omega_1, 4\omega_2, 4\omega_3
  & \omega_1 + 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2
  & 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2 \\
  \sigma_{02} u & 2\omega_2, 4\omega_3, 4\omega_1
  & \omega_2 + 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2 & \Ditto \\
  \sigma_{03} u & 2\omega_3, 4\omega_1, 4\omega_2
  & \omega_3 + 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2 & \Ditto
\end{array}
\]

Rappelons-nous aussi que $2\omega_2$~et~$2\omega_3$ sont des demi-périodes
pour~$\sigma_{01} u$, c'est-à-dire que $\sigma_{01}(u + 2\omega_2)$ par exemple
est égal à~$-\sigma_{01} u$. De même $2\omega_3$~et~$2\omega_1$ pour~$\sigma_{02} u$, et
$2\omega_1$,~$2\omega_2$ pour~$\sigma_{03} u$.

\ctb
%% -----File: 089.png---Folio 85-------


\Chapter{II}{La fonction $\sn u$}

\Paragraph{57.}{Définition de~$\sn u$.} --- La fonction~$\sn u$ est un cas particulier
de~$\sigma_{01} u$, celui où le \emph{multiplicateur}~$M$ est égal à~$1$.

Ainsi $\sn u$~est une fonction elliptique, et elle est complètement
déterminée quand on donne le carré de son \emph{module}~$k$.

Nous avons vu en effet que la fonction~$\wp u$ est parfaitement
déterminée par les trois quantités $e_1, e_2, e_3$ (\Ord{2}{e}~partie, %[xref]
chap.~II). Reportons-nous aux formules du \no54; si l'on y
fait $M = 1$, elles deviennent
\[
e_3 - e_1 = 1, \qquad e_2 - e_1 = k^2;
\]
jointes à $e_1 + e_2 + e_3 = 0$, elles donnent
\[
e_1 = -\frac{1 + k^2}{3},  \qquad
e_2 =  \frac{2k^2 - 1}{3}, \qquad
e_3 =  \frac{2 - k^2}{3},
\]
et en partant de ces trois quantités qui ne dépendent que
de~$k^2$, nous pouvons construire une fonction~$\wp u$ et une
seule. A cette fonction~$\wp u$ correspond une seule fonction~$\sigma_{01} u$
qui est précisément~$\sn u$:
\[
\sn u = \frac{1}{\sqrt{\wp u + \dfrac{1 + k^2}{3}}}.
\]

\Paragraph{58.}{Équation algébrique entre $\sn u$~et sa dérivée.} --- Si dans
l'équation qui lie $\sigma_{01} u$~à sa dérivée~\Eqref{(54)}, nous faisons
$M = 1$, nous obtenons la relation algébrique en $\sn u$~et~$\sn'u$
%% -----File: 090.png---Folio 86-------
\[
\sn'u = (1 - \sn^2u)(1 - k^2\sn^2u).
\]

La forme de cette équation différentielle à laquelle satisfait~$\sn u$
confirme le fait que $\sn u$~ne dépend que de~$k^2$.

Cette équation différentielle pourrait, avec la condition
complémentaire $\sn0 = 0$, servir de définition à~$\sn u$.

\Paragraph{59.}{Périodes de $\sn u$.} --- Appelons $2\Omega_1, 2\Omega_2$ les périodes
d'une fonction~$\wp u$ telle que $e_3 - e_1 = 1$.

D'après ce que nous avons dit des périodes de~$\sigma_{01}u$~\Eqref{(52)},
celles de~$\sn u$ seront $2\Omega_1$~et~$4\Omega_2$ (et aussi~$4\Omega_3$) et l'on aura
\[
\sn(u + 2\Omega_2) = -\sn u.
\]

Ces périodes, nous le savons d'avance, ne doivent dépendre
que de~$k^2$. Elles peuvent s'exprimer en fonction de~$k^2$
par des intégrales définies. Voici comment.

Nous avons trouvé (\Ord{2}{e}~partie, ch.~II, 24) pour expressions %[xref]
des moitiés des périodes de~$\wp u$ en fonction de $e_1, e_2, e_3$
\[
\omega_1 = \int_{e_2}^{e_3} \frac{dz}{\sqrt{Z}}, \qquad
\omega_2 = \int_{e_3}^{e_1} \frac{dz}{\sqrt{Z}}, \qquad
\omega_3 = \int_{e_1}^{e_2} \frac{dz}{\sqrt{Z}},
\]
où
\[
Z = 4(z - e_1)(z - e_2)(z - e_3).
\]

Or $z$~représente ici~$\wp u$ (\textit{loc.\ cit.}). Si nous introduisons
une variable~$x$ représentant~$\sn u$, elle sera liée à~$z$ par la
relation
\[
x = \frac{1}{\sqrt{z + \dfrac{1 + k^2}{3}}};
\]
d'où $z = e_1 + \dfrac{1}{x^2}$. En remplaçant~$z$ par cette dernière
valeur et $dz$~par~$-\dfrac{2}{x^3}\, dx$, on trouve
\[
\frac{dz}{\sqrt{4(z - e_1)(z - e_2)(z - e_3)}}
= \frac{dx}{±\sqrt{(1 - x^2)(1 - k^2x^2)}}\DPtypo{}{.}
\]

Aux valeurs $e_1, e_2, e_3$ de~$z$ répondent respectivement les
%% -----File: 091.png---Folio 87-------
valeurs $\infty$,~$±\dfrac{1}{k}$,~$±1$ de~$x$, comme cela résulte des
expressions ci-dessus~\Eqref{(56)} de $e_1, e_2, e_3$ en fonction de~$k$.

Les formules qui donnent $\omega_1, \omega_2, \omega_3$ deviennent alors, si
l'on prend pour limites des intégrales les quantités
\[
\infty,\ +\frac{1}{k},\ +1
\]
par exemple,
\[
\Omega_1 = \int_{\frac{1}{k}}^{1} \frac{dx}{\sqrt{X}}, \qquad
\Omega_2 = \int_{1}^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{X}}, \qquad
\Omega_3 = \int_{\infty}^{\frac{1}{k}} \frac{dx}{\sqrt{X}},
\]
où
\[
X = (1 - x^2)(1 - k^2x^2).
\]

Telles sont les formules qui permettent de calculer les
périodes de~$\sn u$ en fonction du module~$k$.

La détermination du radical~$\sqrt{X}$ est arbitraire, mais la
même dans les trois formules. Ceci prouve que la fonction~$\sn u$,
que nous savons être complètement déterminée quand
$k^2$~est donné, ne change pas quand on change simultanément
les signes des périodes. Ceci n'est du reste qu'un cas particulier
d'une proposition que nous démontrerons tout à
l'heure~\Eqref{(60)}.

\Paragraph{60.}{Cas où le module est réel.} --- Ce cas est particulièrement
intéressant. Il y a alors une période réelle et une
période purement imaginaire; ces deux périodes sont perpendiculaires
l'une sur l'autre, et le réseau des périodes est
rectangulaire.

Nous pouvons supposer $k$~positif, puisqu'on ne donne
que~$k^2$. Admettons pour fixer les idées que $k$~est plus grand
que~$1$; le point~$\dfrac{1}{k}$ est situé entre l'origine~$0$ et le point~$1$.
On intègre le long de l'axe des quantités réelles. Le radical~$\sqrt{X}$
est imaginaire entre $x = \dfrac{1}{k}$ et $x=1$, réel de
$x = 1$ à $x = +\infty$. Par suite $\Omega_2$~est réel et $\Omega_1$~purement
imaginaire, comme nous l'avions annoncé.
%% -----File: 092.png---Folio 88-------

Mais pour calculer $\Omega_1$~et~$\Omega_2$ il faut savoir quelle détermination
du radical~$\sqrt{X}$ on doit prendre. Entre les limites $1$~et~$\infty$,
prenons par exemple la détermination positive. Entre $1$~et~$\dfrac{1}{k}$
le radical a deux déterminations $±i\sqrt{(1 - x^2)(k^2x^2 - 1)}$.
Laquelle choisir?

Pour le décider, marquons sur l'axe des quantités réelles
deux points % [Illustration]
\begin{wrapfigure}{l}{2.25in}%[** TN: Width-dependent break]
  \Input[2.25in]{092a}
\end{wrapfigure}
$A$~et~$B$ équidistants
du point~$1$, le second
situé entre $1$~et~$\dfrac{1}{k}$.
Décrivons sur~$AB$ comme diamètre un demi-cercle dans la
partie supérieure du plan de la variable~$x$ et supposons que
le point~$x$ parti de~$A$ arrive en~$B$ après avoir décrit ce demi-cercle.

Pendant ce demi-tour, le radical
\[
\sqrt{X}
  = \sqrt{\smash[b]{(1 - x^2)(1 - k^2x^2)}}
  = \sqrt{\vphantom{k^2}x - 1} \sqrt{\smash[b]{(x + 1)(k^2x^2 - 1)}}
\]
doit prendre une succession de valeurs continues. Si les
deux points $A$~et~$B$ sont infiniment rapprochés, ces valeurs
seront infiniment peu différentes. Par conséquent le facteur
$\sqrt{(x + 1)(k^2x^2 - 1)}$, réel et positif en~$A$, est resté réel et
positif en~$B$\@. Il suffit donc de savoir ce qu'est devenu le
facteur~$\sqrt{x - 1}$.

Or, si $\rho$~désigne le rayon du demi-cercle, nous pouvons
poser
\[
x - 1 = \rho(\cos \varphi + i\sin \varphi),
\]
l'angle polaire~$\varphi$ étant nul en~$A$ et égal à~$\pi$ au point~$B$;
par conséquent
\[
\sqrt{x - 1} = \rho^{\frac{1}{2}}
  \left(  \cos\frac{\varphi}{2} + i\sin\frac{\varphi}{2} \right).
\]
Pour $\varphi = 0$, $\sqrt{x - 1}$~est égal à~$\rho^{\frac{1}{2}}$, et, pour $\varphi = \pi$, à~$+i\rho^{\frac{1}{2}}$.
C'est donc la détermination
\[
+i\sqrt{(1 - x^2)(k^2x^2 - 1)}
\]
%% -----File: 093.png---Folio 89-------
qu'il faut prendre dans l'intégration de~$\dfrac{1}{k}$ à~$1$ qui fournit~$\Omega_1$.

\begin{Theorem}{61.} --- La fonction~$\sn u$ est déterminée quand on
donne le rapport de ses périodes.
\end{Theorem}

Donnons-nous en effet le rapport $\dfrac{\Omega_2}{\Omega_1} = \tau$.

Nous savons que toute fonction~$\sn u$ dérive d'une fonction~$\wp u$
assujettie à la condition $e_3 - e_1 = 1$. D'ailleurs les
périodes de~$\sn u$ étant $2\Omega_1, 4\Omega_2$, celles de cette fonction~$\wp u$
sont $2\Omega_1, 2\Omega_2$. On doit donc avoir, en se rappelant la définition
des quantités $e_1, e_3$,
\[
\wp \Omega_3 - \wp \Omega_1 = 1, \qquad
\frac{\Omega_2}{\Omega_1} = \tau.
\]

Or $\wp u$ est une fonction homogène de degré~$-2$ de
l'argument~$u$ et des deux périodes $\Omega_1, \Omega_2$ (\Ord{2}{e}~partie, ch.~I,~16). %[xref]
Si donc on changeait $\Omega_1, \Omega_2$ en $\mu\Omega_1, \mu\Omega_2$ $\left(\text{ce qui donne
toutes les solutions de l'équation } \dfrac{\Omega_2}{\Omega_1} = \tau\right)$, on aurait
\[
\wp (\mu\Omega_3) - \wp (\mu\Omega_1) = \frac{1}{\mu^2}.
\]

Il n'y a que les valeurs $\mu = ± 1$ qui satisfassent à
la condition $e_3 - e_1 = 1$. Donc une seule fonction~$\wp u$
peut répondre à la question et par suite une seule fonction~$\sn u$.

\Paragraph{62.}{Pôles et zéros de~$\sn u$.} --- La fonction~$\sn u$ étant un cas
particulier de~$\sigma_{01}u$, les pôles de~$\sn u$ sont~\Eqref{(53)} les points
\[
u = \Omega_1 + 2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2.
\]
Ces pôles sont simples. Il n'y en a que deux dans chaque
parallélogramme des périodes. $\Omega_1$~et~$\Omega_1 + 2\Omega_2$ sont deux
pôles distincts.

Il suit de là que $\sn u$~est une fonction elliptique d'ordre~$2$.
%% -----File: 094.png---Folio 90-------

Les zéros de~$\sn u$ sont simples. Ce sont les points
\[
u = 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2.
\]

Il y en a deux dans chaque parallélogramme des périodes;
$0$~et~$2\Omega_2$ sont deux zéros distincts.

\ctb
%% -----File: 095.png---Folio 91-------


\Chapter{III}{Les fonctions $\cn u$, $\dn u$}

\Paragraph{63.}{Définitions de $\cn u$~et de~$\dn u$.} --- Quand on prend pour
base de la théorie des fonctions elliptiques la fonction~$\sn u$,
on est obligé, pour la simplicité et la symétrie des formules,
de lui adjoindre deux autres fonctions elliptiques, $\cn u$~et~$\dn u$,
que nous allons définir: c'est ainsi qu'en trigonométrie
on est conduit par la même raison à associer au sinus
une autre ligne trigonométrique, le cosinus. Cette obligation
de faire marcher de front l'étude des trois fonctions $\sn$,~$\cn$,~$\dn$
constitue un désavantage des anciennes fonctions elliptiques,
quand on les compare à~$\wp u$.

Nous définirons $\cn u$,~$\dn u$ par les relations
\begin{align*}
\cn u &= \sqrt{1 - \sn^2 u}, \\
\dn u &= \sqrt{1 - k^2\sn^2 u},
\end{align*}
complétées par les conditions
\begin{align*}
\cn0 &= +1, \\
\dn0 &= +1.
\end{align*}

Nous allons montrer que $\sn u$~et~$\dn u$ \emph{sont des fonctions
uniformes de~$u$}. En effet, puisque $\sn u = \dfrac{1}{\sqrt{\wp u - e_1}}$, $\wp u$~étant
assujettie à la condition $e_3 - e_1 = 1$, nous aurons
\begin{gather*}
\cn u = \sqrt{1 - \frac{1}{\wp u-e_1}}
  = \frac{\sqrt{\wp u - e_1 - 1}}{\sqrt{\wp u - e_1}}
  = \frac{\sqrt{\wp u - e_3}}{\sqrt{\wp u - e_1}}, \\
%% -----File: 096.png---Folio 92-------
\dn u = \sqrt{1 - \frac{k^2}{\wp u - e_1}}
  = \frac{\sqrt{\wp u - e_1 - k^2}}{\sqrt{\wp u - e_1}}
  = \frac{\sqrt{\wp u - e_2}}{\sqrt{\wp u - e_1}},
\end{gather*}
et par suite
\begin{align*}
\cn u &= \frac{\sigma_{01}u}{\sigma_{03}u}, \\
\dn u &= \frac{\sigma_{01}u}{\sigma_{02}u}.
\end{align*}

Comme $\sigma_{01}, \sigma_{02}, \sigma_{03}$ sont des fonctions uniformes de~$u$, la
proposition se trouve établie.

Les deux dernières formules, jointes à $\sn u = \sigma_{01}u$,
montrent que $\sn u$~est une fonction impaire et que $\cn u$,~$\dn u$
sont des fonctions paires, puisque $\sigma_{01}, \sigma_{02}, \sigma_{03}$ sont impaires
(\Ord{3}{e}~partie, ch.~I, 52). %[xref]

N'oublions pas que les fonctions $\sigma_{01}, \sigma_{02}, \sigma_{03}$ qui figurent
ici ne sont pas les plus générales, à cause de la condition
$e_3 - e_1 = 1$.

\Paragraph{64.}{Périodes de~$\dn u$ et de~$\cn u$.} --- Reportons-nous au tableau
des périodes et demi-périodes des trois fonctions
$\sigma_{01}, \sigma_{02}, \sigma_{03}$~\Eqref{(55)}.

\primo La fonction~$\cn u$ a pour périodes $2\Omega_2, 4\Omega_1, 4\Omega_3$. En effet
\[
\cn(u + 2\Omega_2)
  = \frac{ \sigma_{01}(u + 2\Omega_2)}{\sigma_{03}(u + 2\Omega_2)}
  = \frac{-\sigma_{01}u}{-\sigma_{03}u}
  = \frac{ \sigma_{01}u}{\sigma_{03}u} = \cn u.
\]
D'autre part
\[
\cn(u + 2\Omega_1)
  = \frac{\sigma_{01}(u + 2\Omega_1)}{\sigma_{03}(u + 2\Omega_1)}
  = \frac{\sigma_{01}u}{-\sigma_{03}u} = -\cn u.
\]

Ainsi $2\Omega_1$~est une demi-période de~$\cn u$; on montrerait
qu'il en est de même de~$2\Omega_3$. Donc $\cn u$~a pour périodes
$4\Omega_1, 4\Omega_3$.

\secundo La fonction~$\dn u$ a pour périodes $2\Omega_3, 4\Omega_2$ et~$4\Omega_1$.
Démonstration analogue; $2\Omega_2$~et~$2\Omega_1$ sont des demi-périodes.

\Paragraph{65.}{Pôles et zéros de~$\cn u$ et de~$\dn u$.} --- Les pôles de $\cn u$~et~$\dn u$
sont les mêmes que ceux de~$\sn u$.
%% -----File: 097.png---Folio 93-------

En effet, si l'on se reporte au tableau du \no56, on constate %[xref]
que les pôles de $\sigma_{03}u$~et~$\sigma_{02}u$ sont différents des pôles
de~$\sigma_{01}u$. Donc les deux fonctions $\cn u = \dfrac{\sigma_{01}u}{\sigma_{03}u}$, $\dn u = \dfrac{\sigma_{01}u}{\sigma_{02}u}$
admettront tous les pôles de~$\sigma_{01}u$ c'est-à-dire de~$\sn u$,
savoir
\[
u = \Omega_1 + 2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2.
\]

Ces pôles sont simples.

Elles n'en admettront pas d'autres. Car elles ne pourraient
plus avoir comme pôles, l'une que les zéros de~$\sigma_{03}u$,
l'autre que ceux de~$\sigma_{02}u$. Ces zéros, communs aux trois fonctions
$\sigma_{01}, \sigma_{02}, \sigma_{03}$, sont les points $2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2$. Or $2\Omega_1,
2\Omega_2$ étant des périodes ou des demi-périodes de $\cn u, \dn u$,
on a
\begin{align*}
\cn(2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2) &= ±\cn0 = ±1, \\
\dn(2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2) &= ±\dn0 = ±1.
\end{align*}

Quant aux zéros de~$\cn u$ et de~$\dn u$, ils ne peuvent être les
zéros de~$\sigma_{01}u$, puisque ceux-ci donnent à $\cn u, \dn u$ les valeurs~$± 1$.

Ce seront donc: pour~$\cn u$ les pôles de~$\sigma_{03}u$ (qui en effet
sont distincts de ceux de~$\sigma_{01}u$), et pour~$\dn u$ les pôles de~$\sigma_{02}u$.

Par suite, les zéros de~$\cn u$ sont les points
\[
u = \Omega_3 + 2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2.
\]

Les zéros de~$\dn u$ sont
\[
u = \Omega_2 + 2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2.
\]

Tous ces zéros sont simples.

De ce qui précède, on conclut aisément que $\cn u$~et~$\dn u$
n'ont chacune que deux pôles distincts, ce sont donc des
fonctions elliptiques du second ordre. Remarquons bien
que $\sn u, \cn u, \dn u$ n'ont pas le même parallélogramme
des périodes.

\Paragraph{66.}{Tableau des périodes, demi-périodes, pôles et zéros de
$\sn u, \cn u$, $\dn u$.} --- Rappelons que nous appelons \emph{demi-période}
%% -----File: 098.png---Folio 94-------
d'une fonction elliptique toute quantité qui, ajoutée à
l'argument, ne fait que changer le signe de la fonction.
\begin{center}
\makebox[0pt][c]{%
\footnotesize
$\begin{array}{ccccr}
  \text{Fonction} &
  \settowidth{\TmpLen}{périodes}%
  \parbox[c]{\TmpLen}{\centering Demi-\\périodes\medskip}
  & \text{Périodes} & \text{Pôles} & \multicolumn{1}{c}{\text{Zéros}} \\
  \sn u & 2\Omega_2, 2\Omega_3 &
  2\Omega_1, 4\Omega_2, 4\Omega_3 &
  \Omega_1 + 2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2 &
  2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2 \\
%
  \cn u & 2\Omega_3, 2\Omega_1 &
  2\Omega_2, 4\Omega_3, 4\Omega_1 & \Ditto &
  \Omega_3 + 2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2 \\
%
  \dn u & 2\Omega_1, 2\Omega_2 &
  2\Omega_3, 4\Omega_1, 4\Omega_2 & \Ditto &
  \Omega_2 + 2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2
\end{array}$}
\end{center}

\ctb
%% -----File: 099.png---Folio 95-------


\Chapter{IV}{Dérivées de $\sn u, \cn u, \dn u$.\ --- Développements
en série.\ --- Dégénérescences}

\Paragraph{67.}{Dérivées de $\sn u, \cn u, \dn u$.} --- Reportons-nous à l'équation
qui lie $\sn u$~et sa dérivée~$\sn'u$ \Eqref{(58)} et à celles qui définissent
$\cn u$~et~$\dn u$ \Eqref{(63)}. Nous en conclurons immédiatement
\begin{gather*}
(\sn'u)^2 =(1-\sn^2u)(1-k^2\sn^2 u), \\
\sn'u=+\cn u \dn u.
\end{gather*}

Nous devons affecter le second membre du signe~$+$ et
non du signe~$-$; car, pour $u = 0$, le produit $\cn u\, \dn u$
se réduit à~$+1$. D'autre part, $\sn u$~étant par définition
égal à~$\dfrac{1}{\sqrt{\wp u - e_1}}$, nous aurons
\[
\sn'u
  = -\frac{1}{2}\, \frac{\wp' u}{(\sqrt{\wp u - e_1})^3}
  = -\frac{1}{2}\, \frac{-\dfrac{2}{u^3} + \dots}
                        {\left(\dfrac{1}{u} + \dots\right)^3},
\]
car le radical~${\sqrt{\wp u - e_1}}$ a la valeur principale~$+\dfrac{1}{u}$ pour
$u$~infiniment petit (\Ord{3}{e}~partie, ch.~I, 51). %[xref]

La valeur de~$\sn'u$ pour $u = 0$ est donc~$+1$.

Pour avoir la dérivée de~$\cn u$, il suffit maintenant de
différentier
\[
\cn u = \sqrt{1-\sn^2u},
\]
ce qui donne
\[
\cn'u
  = \frac{-\sn u\, \sn'u}{\sqrt{1 - \sn^2u}}
  = \frac{-\sn u\, \cn u \dn u}{\cn u}
\]
%% -----File: 100.png---Folio 96-------
ou
\[
\cn' u = - \sn u\, \dn u.
\]

Enfin la dérivée de~$\dn u$ s'obtient en différentiant
\[
\dn u = \sqrt{1 - k^2\sn^2 u};
\]
donc
\[
\dn' u
  = \frac{-k^2\sn u\, \sn' u}{\sqrt{1 - k^2\sn^2 u}}
  = \frac{-k^2\sn u\, \cn u\, \dn u}{\dn u}
\]
ou
\[
\dn' u = -k^2 \sn u\, \cn u.
\]

Le système des trois équations différentielles
\[
\sn' u =  \cn u\, \dn u, \quad
\cn' u = -\sn u\, \dn u, \quad
\dn' u = -k^2 \sn u\, \cn u,
\]
avec les données initiales
\[
\sn 0 = 0, \qquad
\cn 0 = 1, \qquad
\dn 0 = 1,
\]
pourrait servir à définir \textit{a~priori}
les trois fonctions $\sn u, \cn u, \dn u$.

On voit sans peine qu'il est équivalent au système
\begin{gather*}
(\sn'u)^2 = (1 - \sn^2u)(1 - k^2\sn^2 u), \\
\cn u = \sqrt{1 - \sn^2 u},\qquad
\dn u = \sqrt{1 - k^2\sn^2 u}.
\end{gather*}

\Paragraph{68.}{Développements de $\sn u, \cn u, \dn u$ en série de Maclaurin.} ---
Les trois formules précédentes qui donnent $\sn' u, \cn' u, \dn' u$
en fonction de $\sn u, \cn u, \dn u$ peuvent être différentiées
indéfiniment, et donnent de proche en proche les
valeurs des dérivées d'ordre quelconque en fonction de $\sn u, \cn u, \dn u$.
Si l'on fait alors $u = 0$, et par suite $\sn u = 0$,
$\cn u = 1$, $\dn u = 1$, on aura les coefficients des développements
des trois fonctions suivant les puissances de~$u$.
On trouve ainsi
\begin{align*}%[** TN: Aligned]
\sn u &= u - \frac{1 + k^2}{6} u^3 + \dots, \\
\cn u &= 1 - \frac{1}{2}\, u^2 + \dots, \\
\dn u &= 1 - \frac{k^2}{2}\, u^2 + \dots\DPtypo{}{.}
\end{align*}
%% -----File: 101.png---Folio 97-------

L'aspect de ces développements confirme le fait que $\sn u$~est
une fonction impaire, et que $\cn u$~et~$\dn u$ sont des
fonctions paires \Eqref{(63)}.

\Paragraph{69.}{Dégénérescences de $\sn u, \cn u, \dn u$.} --- L'équation
différentielle
\[
\left(\frac{dx}{du}\right)^2 = (1 - x^2)(1 - k^2x^2),
\]
à laquelle satisfait~$\sn u$, fait immédiatement connaître les
dégénérescences de~$\sn u$, et par suite \DPtypo{celle}{celles} de $\cn u, \dn u$, dans
les deux cas limites $k = 0$ et~$k = ±1$.

\primo Si $k = 0$, cette équation donne $x = \sin u$ sans
constante d'intégration, car $x$~doit s'annuler en même
temps que~$u$. Ainsi $\sn u$~dégénère en~$\sin u$; par suite~$\cn u$
en~$\cos u$, et $\dn u$~se réduit à~$1$.

\secundo Si $k = ±1$, l'intégration donne
\[
u = \int_0^x \frac{dx}{1 - x^2} = \frac{1}{2}\log\frac{1 + x}{1 - x},
\]
d'où
\[
x = \frac{e^u - e^{-u}}{e^u + e^{-u}} = \Tanh u.
\]

Donc $\sn u$ dégénère en $\Tanh u$, et par conséquent $\cn u$~et~$\dn u$
en
\[
\sqrt{1 - \left(\frac{e^u - e^{-u}}{e^u + e^{-u}}\right)^2}
  = \frac{2}{e^u + e^{-u}} = \frac{1}{\Cosh u}.
\]

\ctb
%% -----File: 102.png---Folio 98-------


\Chapter{V}{Addition des arguments.\ --- Équation d'Euler.
Multiplication de l'argument des fonctions $\sn u, \cn u, \dn u$}

\Paragraph{70.}{Expression de $\sn (u + v) + \sn (u - v)$ en fonction
rationnelle de~$\sn u$.} --- Pour rester fidèle à l'esprit de
notre méthode, nous devrions déduire la formule qui donne
$\sn (u+v)$~en fonction de $\sn u, \sn v$, $\cn u, \cn v$, $\dn u, \dn v$,
de celle qui fournit l'expression de $\wp(u + v)$ au moyen de
$\wp u, \wp v$, $\wp' u, \wp' v$ (\Ord{2}{e}~partie, ch.~V, 41). Ce calcul étant pénible, %[xref]
nous préférons employer les considérations assez
simples que voici.

Cherchons s'il est possible d'exprimer rationnellement
au moyen de~$\sn u$ la fonction
\[
f(u) = \sn(u + v) + \sn(u - v).
\]

Elle admet comme~$\sn u$ les périodes $2\Omega_1, 4\Omega_2$. Les pôles,
simples comme ceux de~$\sn u$, sont donnés par la formule
\[
u = \mp v + \Omega_1 + 2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2.
\]

Les pôles distincts sont au nombre de quatre, par exemple
\[
-v + \Omega_1, \quad -v + \Omega_1 + 2\Omega_2\DPtypo{;}{,} \quad
+v + \Omega_1, \quad +v + \Omega_1 + 2\Omega_2.
\]

La fonction elliptique~$f(u)$ est donc du \Ord{4}{e}~ordre.

Il est facile de former une fonction rationnelle de~$\sn u$
aux mêmes périodes et aux mêmes pôles que~$f(u)$. La plus
%% -----File: 103.png---Folio 99-------
simple possible est
\[
\varphi(u)
  = \frac{1}{\sn u - \sn(-v + \Omega_1)}
  · \frac{1}{\sn u - \sn( v + \Omega_1)}.
\]

En effet, la fonction $\sn u - \sn(-v + \Omega_1)$ étant, comme~$\sn u$,
du second ordre, admet deux zéros distincts; l'un est
évidemment $u = -v + \Omega_1$, l'autre est
\[
u = -v + \Omega_1 + 2\Omega_2,
\]
car $2\Omega_2$~étant une demi-période, on a
\[
\sn(-v + \Omega_1 + 2\Omega_2)
  = -\sn(+v - \Omega_1)
  = +\sn(-v + \Omega_1).
\]

De même $\sn u - \sn(v + \Omega_1)$ admet les zéros $v + \Omega_1, v + \Omega_1 + 2\Omega_2$.

De là résulte que~$\varphi(u)$ admet les mêmes pôles que~$\DPtypo{fu}{f(u)}$.

Ces pôles étant simples, le quotient~$\dfrac{f(u)}{\varphi(u)}$ ne peut admettre
d'autres pôles que les zéros de~$\varphi(u)$ et d'autres zéros
que les zéros de~$f(u)$.

Étudions maintenant ce quotient. Nous allons montrer
qu'il a mêmes zéros et mêmes pôles que~$\sn u$.

\primo \textit{Pôles de~$\dfrac{f(u)}{\varphi(u)}$.} --- L'expression de~$\varphi(u)$ peut s'écrire
\[
\varphi(u) = \frac{1}{\sn^2 u - \sn^2(v + \Omega_1)},
\]
car
\begin{align*}
-\sn(-v + \Omega_1)
  &= - \sn(-v + \Omega_1 - 2\Omega_1) \\
  &= - \sn(-v - \Omega_1)
   = + \sn( v + \Omega_1).
\end{align*}

Les zéros de~$\varphi(u)$ sont les pôles de~$\sn^2 u$. Ces pôles sont
les mêmes que ceux de~$\sn u$, savoir
\[
\Omega_1 + 2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2;
\]
seulement ils sont doubles.

D'autre part, $f(u)$~admet les zéros
\[
\Omega_1 + 2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2,
\]
dont deux seulement, par exemple $\Omega_1$~et~$\Omega_1 + 2\Omega_2$, sont
%% -----File: 104.png---Folio 100-------
distincts, car
\begin{align*}
&\begin{aligned}
f(\Omega_1) = \sn(\Omega_1 + v) + \sn(\Omega_1 - v)
  &= \sn(\Omega_1 + v) - \sn\bigl[2\Omega_1 - (\Omega_1 - v)\bigr] \\
  &= \sn(\Omega_1 + v) - \sn(\Omega_1 + v) = 0,
\end{aligned} \\
&\begin{aligned}
f(\Omega_1 + 2\Omega_2)
  &= \sn(\Omega_1 + 2\Omega_2 + v) + \sn(\Omega_1 + 2\Omega_2 - v) \\
  &= -\sn(\Omega_1 + v) - \sn(\Omega_1 - v) = 0.
\end{aligned}
\end{align*}

Ainsi $f(u)$~admet pour zéros les pôles de~$\varphi(u)$. Ces zéros
étant simples, tandis que ces pôles sont doubles, $\dfrac{f(u)}{\varphi(u)}$~admet
pour pôles simples les points $\Omega_1 + 2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2$,
qui sont précisément les pôles de~$\sn u$.

\secundo \textit{Zéros de $\dfrac{f(u)}{\varphi(u)}$.} --- Ces zéros, nous l'avons dit, ne peuvent
être que des zéros de~$f(u)$. Ceux-ci sont au nombre de
quatre distincts, puisque $f(u)$~est une fonction elliptique
du quatrième ordre. Nous en connaissons déjà deux, $\Omega_1$~et~$\Omega_1 + 2\Omega_2$
qui, nous venons de le voir, n'annulent pas~$\dfrac{f(u)}{\varphi(u)}$.
Vérifions directement que les deux autres sont les zéros
distincts de~$\sn u$, savoir $0$~et~$2\Omega_2$. En effet
\begin{gather*}
f(0) = \sn v + \sn (-v) = 0, \\
f(2\Omega_2)
  = \sn (2\Omega_2 + v) + \sn (2\Omega_2 - v)
  = -\sn v - \sn(-v) = 0.
\end{gather*}

La fonction elliptique~$\dfrac{f(u)}{\varphi(u)}$, ayant mêmes périodes,
mêmes zéros et mêmes pôles que~$\sn u$ avec le même
degré~$1$ de multiplicité, est proportionnelle à~$\sn u$:
\[
\frac{f(u)}{\varphi(u)} = C \sn u.
\]
On a donc, en remplaçant $f(u), \varphi(u)$ par leurs valeurs,
\[
\sn(u + v) + \sn(u - v) = \frac{C \sn u}{\sn^2 u - \sn^2(v + \Omega_1)}.
\]

Nous déterminerons tout à l'heure la constante~$C$, mais
il importe d'abord d'exprimer $\sn(v + \Omega_1)$ en fonction de~$\sn v$.
%% -----File: 105.png---Folio 101-------

Les pôles de $\sn(v+\Omega_1)$ sont donnés par la formule
\begin{align*}
v + \Omega_1 &= \Omega_1 + 2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2,  \\
\intertext{d'où}
v &= 2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2;
\end{align*}
ses zéros par la formule
\[
v + \Omega_1 = 2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2,
\]
d'où
\[
v = -\Omega_1 + 2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2
  =  \Omega_1 + 2m'_1\Omega_1 + 2m'_2\Omega_2.
\]

Ainsi $\sn(v + \Omega_1)$ a pour pôles les zéros et pour zéros
les pôles de~$\sn v$; donc
\[
\sn(v + \Omega_1) = \frac{A}{\sn v}.
\]

Pour déterminer la constante~$A$, faisons $\sn v = 1$, d'où
$\cn v = 0$, relation vérifiée par $v = \Omega_3$ \Eqref{(66)}; il viendra
\[
A = \sn(\Omega_3 + \Omega_1)
  = \sn(-\Omega_2)
  = -\sn(\Omega_2),
\]
mais l'on a~\Eqref{(66)} $\dn \Omega_2 = 0$, c'est-à-dire $1 - k^2 \sn^2 \Omega_2 = 0$,
par conséquent
\[
A^2 = \sn^2 \Omega_2 = \frac{1}{k^2}
\]
et
\[
\sn^2 (v + \Omega_1) = \frac{1}{k^2\sn^2 v}.
\]
Substituant dans la formule qui donne $\sn(u + v) + \sn(u - v)$,
on a
\[
\sn(u + v) + \sn(u - v) = \frac{C \sn u}{\sn^2 u - \dfrac{1}{k^2\sn^2 v}}
  = \frac{C' \sn u}{1 - k^2\sn^2 u\, \sn^2 v}.
\]

Pour déterminer~$C'$ (qui ne dépend que de~$v$), prenons
les dérivées des deux membres par rapport à~$u$, et faisons
$u = 0$; en tenant compte de ce que $\cn v, \dn v$ sont des
fonctions impaires, nous obtiendrons facilement
\[
C' = 2 \sn v\, \dn v.
\]

Finalement
\[
\sn(u + v) + \sn(u - v)
  = \frac{2 \sn u\, \cn v\, \dn v}{1 - k^2\sn^2 u\, \sn^2 v}.
\]
%% -----File: 106.png---Folio 102-------

\Paragraph{71.}{Addition des arguments pour les fonctions $\sn, \cn, \dn$.} ---
Si nous ajoutons à l'équation précédente celle qu'on en
déduit en y changeant~$u$ en~$v$ et $v$~en~$u$, on obtient la
\emph{formule d'addition des arguments} pour la fonction~$\sn$
\[
\sn(u+v)
  = \frac{\sn u\, \cn v\, \dn v + \sn v\, \cn u\, \dn u}
         { 1 - k^2\sn^2u\, \sn^2 v}.
\]

On en conclut aisément celle qui donne~$\cn(u + v)$. On
a en effet
\begin{multline*}%[** Align?]
\cn^2(u + v) = 1 - \sn^2(u+v) \\
  = \frac{(1 - k^2 \sn^2 u\, \sn^2 v)^2
          - (\sn u\, \cn v\, \dn v + \sn v\, \cn u\, \dn u)^2}
         {(1 - k^2\sn^2 u\, \sn^2 v)^2}.
\end{multline*}

Or
\[
1 - k^2\sn^2 u\, \sn^2 v
  = \cn^2 u + \sn^2 u\, \dn^2 v
  = \cn^2 v + \sn^2 v\, \dn^2 u.
\]

Si l'on remplace au numérateur $(1 - k^2 \sn^2 u\, \sn^2 v)^2$ par
\[
(\cn^2 u + \sn^2 u\, \dn^2 v)(\cn^2 v + \sn^2 v\, \dn^2 u),
\]
ce numérateur prendra la forme
$(\cn u\, \cn v - \sn u\, \dn u\, \sn v\, \dn v)^2$.
Extrayant la racine carrée, on aura la formule cherchée
\[
\cn(u + v)
  = \frac{\cn u\, \cn v - \sn u\, \dn u\, \sn v\, \dn v}
         {1 - k^2\sn^2 u\, \sn^2 v}.
\]

Il faut prendre le signe~$+$ devant les deux membres pour
qu'ils deviennent identiques si l'on y fait $v = 0$.

On vérifiera de même l'expression de~$\dn(u + v)$
\[
\dn(u + v)
  = \frac{\dn u\, \dn v - k^2\sn u\, \cn u\, \sn v\, \cn v}
         {1 - k^2\sn^2 u\, \sn^2 v}.
\]

\Paragraph{72.}{Équation d'Euler.} --- La formule d'addition pour la
fonction~$\sn$ donne le moyen d'intégrer immédiatement l'équation
différentielle d'Euler
\[
  \frac{dx}{\sqrt{(1 - x^2)(1 - k^2x^2)}}
+ \frac{dy}{\sqrt{(1 - y^2)(1 - k^2y^2)}} = 0.
\]
%% -----File: 107.png---Folio 103-------

Posons
\[
\frac{dx}{\sqrt{(1 - x^2)(1 - k^2x^2)}} = du;  \qquad
\frac{dy}{\sqrt{(1 - y^2)(1 - k^2y^2)}} = dv.
\]

Nous satisfaisons à ces deux dernières équations différentielles
en prenant
\[
x = \sn u, \qquad y = \sn v.
\]

Par la substitution des variables $u, v$ aux variables $x, y$,
l'équation d'Euler devient $du + dv = 0$, d'où
\[
u + v = \text{const.}, \qquad \sn(u + v) = C.
\]

Remplaçons $\sn(u+v)$ par sa valeur ci-dessus~\Eqref{(71)} et
remarquons que
\begin{align*}
\cn u &= \sqrt{1 - x^2}, & \dn u &= \sqrt{1 - k^2x^2}, \\
\cn v &= \sqrt{1 - y^2}, & \dn v &= \sqrt{1 - k^2y^2};
\end{align*}
il vient
\[
\frac{x\sqrt{(1 - y^2)(1 - k^2y^2)}
    + y\sqrt{(1 - x^2)(1 - k^2x^2)}}{1 - k^2x^2y^2} = C.
\]

Donc \emph{l'intégrale générale de l'équation d'Euler est algébrique}.
Ce résultat est bien remarquable si l'on songe que
l'intégrale de l'équation plus simple
\[
\frac{dx}{\sqrt{(1 - x^2)(1 - k^2x^2)}} = du
\]
est transcendante; cette intégrale est
\[
x = \sn(u + C).
\]

\Paragraph{73.}{Multiplication de l'argument de $\sn u, \cn u, \dn u$.} --- Si,
dans les formules~\Eqref{(71)} qui donnent $\sn(u + v), \cn(u + v), \dn(u + v)$,
on fait $v = u$, on trouve
\[
\sn 2u = \frac{2\sn u\, \cn u\, \dn u}{1 - k^2\sn^4 u}, \qquad \ldots.
\]
%% -----File: 108.png---Folio 104-------
Ainsi $\sn 2u, \cn 2u, \dn 2u$ s'expriment rationnellement en
fonction de $\sn u, \cn u, \dn u$.

Il en est de même de $\sn mu, \cn mu, \dn mu$; et l'on obtiendra
de proche en proche les expressions de ces fonctions
en faisant $v$~égal successivement à $2u, 3u, \dots$ dans les formules
d'addition.

\ctb
%% -----File: 109.png---Folio 105-------


\Part{Quatrième Partie}{Les fonctions $\theta$}

%% -----File: 110.png---Folio 106-------
% [Blank Page]

%% -----File: 111.png---Folio 107-------


\Chapter{I}{La fonction $\theta$.\ --- Expressions de $\wp u, \zeta u, \sigma u$
au moyen de cette fonction}

En partant des périodes comme données, nous avons
formé les expressions de $\wp u, \zeta u, \sigma u$ (\Ord{2}{e}~partie, ch.~I, 15; %[xrefs]
ch.~III, 26,~28). Ces expressions qui sont des séries à double
entrée ne sont évidemment pas commodes pour calculer
ces fonctions. Mais l'introduction des quatre fonctions
$\theta, \theta_1, \theta_2, \theta_3$ de Jacobi va nous fournir le moyen le plus pratique
pour exécuter ce calcul.

\Paragraph{74.}{Construction de la fonction~$\theta u$.} --- Il est facile, en partant
de~$\sigma u$, de construire une fonction entière simplement
périodique~$\theta u$, de demi-période~$2\omega_1$, c'est-à-dire telle que
$\theta(u + 2\omega_1) = -\theta u$.

Posons en effet
\[
\theta u = \varphi(u)\, \sigma u,
\]
d'où (\Ord{2}{e}~partie, ch.~III, 32) %[xref]
\[
\theta(u + 2\omega_1) = -\theta u
  = -\varphi(u + 2\omega_1)\, e^{2\eta_1(u + \omega_1)}\, \sigma u.
\]
La comparaison entre cette équation et la précédente
montre que l'on doit avoir
\[
\varphi(u + 2\omega_1) = e^{-2\eta_1(u + \omega_1)}\, \varphi(u).
\]

La manière la plus simple de choisir~$\varphi(u)$ de façon à
%% -----File: 112.png---Folio 108-------
satisfaire à cette condition est de prendre
\[
\varphi(u) = \frac{1}{A}\, e^{-\frac{\eta_1 u^2}{2\omega_1}},
\]
$A$~étant une constante. Par suite
\[
A\, \theta u = e^{-\frac{\eta_1 u^2}{2\omega_1}}\, \sigma u.
\]

La fonction~$A\, \theta u$ étant entière, périodique, de période~$4\omega_1$
(puisqu'elle admet la demi-période~$2\omega_1$), est développable
en série de Fourier:
\[
A \theta u
  = \sum_{-\infty}^{+\infty} A_m\, e^{m\, \frac{2\pi iu}{4 \omega_1}}
  = \sum_{-\infty}^{+\infty} A_m\, e^{m\, \frac{ \pi iu}{2 \omega_1}}.
\]

Déterminons les coefficients~$A_m$.

D'abord nous savons que $\theta u$~change de signe quand on
accroît~$u$ de~$2\omega_1$. Chacun des termes du développement est
alors multiplié par
\[
e^{m\, \frac{\pi i 2\omega_1}{2 \omega_1}} = e^{m\pi i}
= \begin{cases}
  +1 & \text{ si $m$~est pair,} \\
  -1 & \text{ si $m$~est impair.}
\end{cases}
\]

Il suffit donc que les coefficients des termes où $m$~est
pair soient nuls, et cela est nécessaire comme on le démontre
dans la théorie de la série de Fourier. Le développement
se réduit par suite à
\[
A\, \theta u
  = \sum_{-\infty}^{+\infty} A_{2n+1}\, e^{(2n+1)\, \frac{\pi iu}{2 \omega_1}}.
\]

En second lieu examinons l'effet sur~$\theta u$ du changement
de~$u$ en~$u + 2\omega_2$. Ce changement multipliant~$\sigma u$ par
$-e^{+2\eta_2(u + \omega_2)}$ (\Ord{2}{e}~partie, ch.~III, 28), on aura %[xref]
\begin{align*}
A\, \theta (u + 2\omega_2)
  &= -e^{-\eta_1\, \frac{(u + 2\omega_2)^2}{2\omega_1}}
     \centerdot e^{2\eta_2(u + \omega_2)}\, \sigma u \\
  &= -e^{2(\eta_2\omega_1 - \eta_1\omega_2)\, \frac{u + \omega_2}{\omega_1}}\,
      e^{-\eta_1\, \frac{u^2}{2\omega_1}}\, \sigma u.
\end{align*}
%% -----File: 113.png---Folio 109-------

C'est ici que nous utilisons l'importante relation (\Ord{2}{e}~partie,
ch.~III, 29) %[xref]
\[
2(\eta_1\omega_2 - \eta_2\omega_1) = \pi i.
\]
N'oublions pas qu'elle suppose que la partie imaginaire du
rapport $\dfrac{\omega_2}{\omega_1}$ est positive (sinon le second membre serait
égal à~$-\pi i$).

Cette relation nous donne
\[
\theta(u + 2\omega_2) = -e^{-\pi i\, \frac{u + \omega_2}{\omega_1}}\, \theta u.
\]

La propriété de la fonction~$\theta$ de se reproduire multipliée
par l'exponentielle $-e^{-\pi i\, \frac{u + \omega_2}{\omega_1}}$ détermine tous les coefficients
de son développement. On a, en effet, d'une part,
\[
A\, \theta(u + 2\omega_2)
  = \sum_{-\infty}^{+\infty}
    A_{2n-1}\, e^{\pi i\, \frac{(u + 2\omega_2)}{2\omega_1}\, (2n-1)},
\]
d'autre part,
\begin{align*}
-e^{-\pi i\, \frac{u + \omega_2}{\omega_1}}\, A\, \theta u
  &= -\sum_{-\infty}^{+\infty} A_{2n+1}\,
        e^{\frac{\pi i u}{2\omega_1}\, (2n+1) - \pi i\, \frac{u + \omega_2}{\omega_1}} \\
  &=  \sum_{-\infty}^{+\infty} -A_{2n+1}\,
        e^{\pi i\, \frac{u + 2\omega_2}{2\omega_1}\, (2n-1)}\,
        e^{-2n\pi i\, \frac{\omega_2}{\omega_1}}.
\end{align*}

Nous avons là deux séries de Fourier qui doivent être
identiques: on sait qu'alors ceux de leurs termes où l'argument
$\dfrac{\pi iu}{2\omega_1}$ est affecté du même multiple entier doivent être
égaux. On en conclut
\[
A_{2n-1} = -A_{2n+1}\, e^{-2n\pi i\, \frac{\omega_2}{\omega_1}}.
\]

Si, pour abréger, on pose
\[
q = e^{\pi i\, \frac{\omega_2}{\omega_1}},
\]
%% -----File: 114.png---Folio 110-------
on aura
\begin{align*}%[** TN: Modernizing notation (n-1)]
A_{2n+1}
  &= -A_{2n-1}\, q^{2n} = +A_{2n-3}\, q^{2n + 2(n-1)} = \dots \\
  &= (-1)^n A_1\, q^{2[n + (n-1) + \dots + 1]} \\
  &= (-1)^n A_1\, q^{\frac{2n(n+1)}{2}}
   = (-1)^n A_1\, q^{-\frac{1}{4}}\centerdot
            q^{\left(n + \frac{1}{2}\right)^2}.
\end{align*}

Prenons $A_1$ égal à $-iq^{\frac{1}{4}}$; il en résultera
\[
A_{2n+1} = \frac{(-1)^n}{i}\, q^{\left(n + \frac{1}{2}\right)^2}.
\]

La série~$\theta u$ est dès lors complètement déterminée, et son
expression définitive est
\[
\theta u
  = \frac{1}{i} \sum_{-\infty}^{+\infty}
    (-1)^n\, q^{\left(n + \frac{1}{2}\right)^2}\,
    e^{(2n+1)\, \frac{\pi iu}{2\omega_1}}.
\]

\Paragraph{75.}{Expressions de $\sigma u, \zeta u, \wp u$ en fonction de~$\theta u$.}

\primo Pour avoir $\sigma u$~en fonction de~$\theta u$, il suffit de déterminer~$A$
dans la formule~\Eqref{(74)}
\[
e^{-\frac{\eta_1 u^2}{2\omega_1}}\, \sigma u = A\, \theta u.
\]
Pour déterminer~$A$, développons en série de Maclaurin les
trois fonctions $e^{-\frac{\eta_1 u^2}{2\omega_1}}$,~$\sigma u$ (\Ord{2}{e}~partie, ch.~III, 31) et~$\theta u$, %[xref]
nous aurons
\begin{multline*}
\left(1 - \frac{\eta_1 u^2}{2\omega_1}
  + \frac{1}{1\centerdot 2}\, \frac{\eta_1^2 u^4}{4\omega_1^2} - \dots\right)
  \centerdot u(1 + d_1 u^4 + \dots) \\
  = A \left(\theta 0 + u \theta' 0
    + \frac{u^2}{1\centerdot 2}\theta'' 0
    + \frac{u^3}{1\centerdot 2\centerdot 3}\theta''' 0 + \dots \right).
\end{multline*}

L'identification donne
\[
\theta 0 = 0,   \quad
A\, \theta' 0 = 1, \quad
\theta'' 0 = 0, \quad
\frac{A\,\theta''' 0}{6} = -\frac{\eta_1}{2\omega_1}, \quad \ldots
\]
d'où l'on tire
\[
A = \frac{1}{\theta' 0}, \qquad
\frac{\eta_1}{2\omega_1} = -\frac{1}{6}\, \frac{\theta''' 0}{\theta' 0};
\]
%% -----File: 115.png---Folio 111-------
et nous avons l'expression cherchée de~$\sigma u$
\[
\sigma u
  = e^{\frac{\eta_1 u^2}{2\omega_1}}\, \frac{\theta u}{\theta' 0}
  = e^{-\frac{1}{6}\, \frac{\theta''' 0}{\theta' 0}\, u^2}\,
    \frac{\theta u}{\theta' 0}.
\]

\secundo En prenant la dérivée logarithmique de cette expression,
on trouve
\[
\zeta u
  = -\frac{1}{3}\, \frac{\theta''' 0}{\theta' 0}\, u
  + \frac{\theta' u}{\theta u}.
\]

\DPtypo{\quarto}{\tertio} Différentions cette dernière formule et changeons les
signes des deux membres; nous aurons
\[
\wp u = \frac{1}{3}\, \frac{\theta''' 0}{\theta' 0}
  - \frac{\theta u\, \theta'' u - \theta'^2 u}{\theta^2 u}.
\]

Ces trois expressions de $\sigma u, \zeta u, \wp u$ résolvent le problème
que nous nous étions proposé, de calculer ces trois fonctions
en les représentant par des séries simples. Toutefois
la dernière formule n'est pas très favorable au calcul de~$\wp u$.
Nous en obtiendrons de plus appropriées au même objet
en introduisant, après Jacobi, trois nouvelles séries $\theta_1 u, \theta_2 u, \theta_3 u$
très analogues à~$\theta u$. Ces séries sont également
utiles pour représenter $\sn u, \cn u, \dn u$.

\ctb
%% -----File: 116.png---Folio 112-------


\Chapter{II}{Les fonctions $\theta_1 u, \theta_2 u, \theta_3 u$.
Expressions de $\sn u, \cn u, \dn u$ par les fonctions $\theta$}

\Paragraph{76.}{Les fonctions $\theta_1 u, \theta_2 u, \theta_3 u$.} --- L'étude de~$\theta u$ va nous
conduire à ces nouvelles fonctions. Cherchons ce que $\theta u$~devient
quand on augmente l'argument~$u$ successivement
de $\omega_1, \omega_2, \omega_3$.

\primo Augmentons~$u$ de~$\omega_1$. Nous aurons
\[
\theta(u + \omega_1)
  = \frac{1}{i} \sum_{-\infty}^{+\infty}
      (-1)^n\, q^{\left(n + \frac{1}{2}\right)^2}\,
      e^{(2n+1)\, \frac{\pi i(u + \omega_1)}{2\omega_1}}.
\]

Or
\[
  e^{(2n+1)\, \frac{\pi i(u + \omega_1)}{2\omega_1}}
= e^{(2n+1)\, \frac{\pi i}{2}}\,
  e^{(2n+1)\, \frac{\pi iu}{2\omega_1}}
= (-1)^n\, ie^{(2n+1)\, \frac{\pi iu}{2\omega_1}}.
\]

Si donc nous posons
\[
\theta_1(u)
  = \sum_{-\infty}^{+\infty}
    q^{\left(n + \frac{1}{2}\right)^2}\, e^{(2n+1)\, \frac{\pi iu}{2\omega_1}},
\]
nous aurons
\[
\theta(u + \omega_1) = \theta_1u.
\]

\secundo Augmentons~$u$ de~$\omega_2$, il vient
\[
\theta(u + \omega_2)
  = \frac{1}{i} \sum_{-\infty}^{+\infty}
    (-1)^n\, q^{\left(n + \frac{1}{2}\right)^2}\,
    e^{(2n+1)\, \frac{\pi i(u + \omega_2)}{2\omega_1}}
\]
%% -----File: 117.png---Folio 113-------
ou bien, si nous changeons $n$~en~$n-1$,
\[
\theta(u + \omega_2)
  = \frac{1}{i} \sum_{-\infty}^{+\infty}
    (-1)^{n-1}\, q^{\left(n - \frac{1}{2}\right)^2}\,
    e^{(2n-1)\, \frac{\pi iu}{2\omega_1}}\,
    e^{(2n-1)\pi i\, \frac{\omega_2}{2\omega_1}}\DPtypo{}{.}
\]

Mais, en se rappelant~\Eqref{(74)} que $e^{\pi i\, \frac{\omega_2}{\omega_1}} = q$, on a
\[
q^{\left(n - \frac{1}{2}\right)^2}\, e^{(2n-1)\pi i\, \frac{\omega_2}{2\omega_1}}
  = q^{\left(n - \frac{1}{2}\right)^2}\, q^{n - \frac{1}{2}}
  = q^{n^2}\, q^{-\frac{1}{4}};
\]
par suite
\[
\theta(u + \omega_2)
  = \frac{-1}{i}\, q^{-\frac{1}{4}}\, e^{-\frac{\pi iu}{2\omega_1}}
    \sum_{-\infty}^{+\infty} (-1)^n\, q^{n^2}\, e^{2n\, \frac{\pi iu}{2\omega_1}}.
\]

Si donc on pose
\[
\theta u_2 = \sum_{-\infty}^{+\infty}
  (-1)^n\, q^{n^2}\, e^{2n\, \frac{\pi iu}{2\omega_1}},
\]
on aura
\[
\theta(u + \omega_2)
  = iq^{-\frac{1}{4}}\, e^{-\frac{\pi iu}{2\omega_1}}\, \theta_2 u.
\]

\tertio Augmentons~$u$ de~$\omega_3$; $\theta u$~deviendra
\begin{align*}
\theta(u + \omega_3)
  &= \theta(u - \omega_1 - \omega_2) \\
  &= \frac{1}{i} \sum_{-\infty}^{+\infty}
     (-1)^n\, q^{\left(n + \frac{1}{2}\right)^2}\,
     e^{(2n+1)\, \frac{\pi i(u - \omega_1 - \omega_2)}{2\omega_1}}.
\end{align*}
Or
\begin{align*}
e^{(2n+1)\, \frac{\pi i(u - \omega_1 - \omega_2)}{2\omega_1}}
  &= e^{(2n+1)\, \frac{\pi iu}{2\omega_1}}\,
    e^{-(2n+1)\, \frac{\pi i}{2}}\,
    e^{-\left(n + \frac{1}{2}\right) \pi i\, \frac{\omega_2}{\omega_1}} \\
  &= -(-1)^n\, iq^{-\left(n + \frac{1}{2}\right)}\,
    e^{(2n+1)\, \frac{\pi iu}{2\omega_1}}.
\end{align*}
Par conséquent
\begin{align*}
\theta(u + \omega_3)
  &= -\sum_{-\infty}^{+\infty}
    q^{\left(n + \frac{1}{2}\right)^2}\,
    q^{-\left(n + \frac{1}{2}\right)}\,
    e^{(2n+1)\, \frac{\pi iu}{2\omega_1}} \\
  &= -q^{-\frac{1}{4}}\, e^{\frac{\pi iu}{2\omega_1}}
  \sum_{-\infty}^{+\infty} q^{n^2}\, e^{2n\, \frac{\pi iu}{2\omega_1}}.
\end{align*}
%% -----File: 118.png---Folio 114-------

Si donc on pose
\[
\theta_3 u = \sum_{-\infty}^{+\infty} q^{n^2}\, e^{2n\, \frac{\pi iu}{2\omega_1}},
\]
on aura
\[
\theta(u + \omega_3)
  = -q^{-\frac{1}{4}}\, e^{\frac{\pi iu}{2\omega_1}}\, \theta_3 u.
\]

Rapprochons les quatre séries qui représentent $\theta u, \theta_1 u, \theta_2 u, \theta_3 u$,
ainsi que les trois relations qui lient la première de ces
quatre fonctions aux trois autres:
\begin{gather*}
\begin{aligned}
\theta u &= \frac{1}{i} \sum_{-\infty}^{+\infty}
  (-1)^n\, q^{\left(n + \frac{1}{2}\right)^2}\, e^{(2n+1)\, \frac{\pi iu}{2\omega_1}}, \\
\theta_1 u &= \phantom{\frac{1}{i}} \sum_{-\infty}^{+\infty}
  q^{\left(n + \frac{1}{2}\right)^2}\, e^{(2n+1)\, \frac{\pi iu}{2\omega_1}}, \\
\theta_2 u &= \phantom{\frac{1}{i}} \sum_{-\infty}^{+\infty}
  (-1)^n\, q^{n^2}\, e^{2n\, \frac{\pi iu}{2\omega_1}}, \\
\theta_3 u &= \phantom{\frac{1}{i}} \sum_{-\infty}^{+\infty}
  q^{n^2}\, e^{2n\, \frac{\pi iu}{2\omega_1}}.
\end{aligned} \\
\theta(u + \omega_1) = \theta_1 u, \\
\theta(u + \omega_2)
  = iq^{-\frac{1}{4}}\, e^{-\frac{\pi iu}{2\omega_1}}\, \theta_2 u, \\
\theta(u + \omega_3)
  = -q^{-\frac{1}{4}}\, e^{\frac{\pi iu}{2\omega_1}}\, \theta_3 u.
\end{gather*}

Rappelons-nous la signification de~$q$
\[
q = e^{\pi i\, \frac{\omega_2}{\omega_1}}.
\]

\Paragraph{77.}{Expression de $\sigma_{01} u, \sigma_{02} u, \sigma_{03} u$ par les fonctions~$\theta$.} ---
Reportons-nous à la définition (\Ord{3}{e}~partie, ch.~I, 51) des fonctions %[xref]
%% -----File: 119.png---Folio 115-------
elliptiques $\sigma_{01} u, \sigma_{02} u, \sigma_{03} u$ qui servent de traits d'union
entre~$\wp u$ d'une part et $\sn u, \cn u, \dn u$ de l'autre.

Nous avons d'abord
\[
\sigma_{01} u
  = e^{\eta_1 u}\, \frac{\sigma u\, \sigma\omega_1}{\sigma(u + \omega_1)}.
\]

Il n'est pas difficile d'avoir l'expression de~$\sigma_{01} u$ au moyen
des fonctions~$\theta$, puisque nous connaissons celle de~$\sigma u$~\Eqref{(75)},
savoir:
\[
\sigma u = e^{\frac{\eta_1 u^2}{2\omega_1}}\, \frac{\theta u}{\theta' 0}.
\]
Nous en concluons
\begin{gather*}
\sigma\omega_1
  = e^{\frac{\eta_1 \omega_1}{2}}\, \frac{\theta\omega_1}{\theta' 0}
  = e^{\frac{\eta_1 \omega_1}{2}}\, \frac{\theta_1 0      }{\theta' 0}, \\
\sigma(u + \omega_1)
  = e^{\frac{\eta_1(u + \omega_1)^2}{2\omega_1}}\,
    \frac{\theta(u + \omega_1)}{\theta' 0}
  = e^{\frac{\eta_1(u + \omega_1)^2}{2\omega_1}}\,
    \frac{\theta_1u}{\theta' 0}.
\end{gather*}
Donc
\[
\sigma_{01} u
  = \frac{\theta_1 0}{\theta' 0}\, \frac{\theta u}{\theta_1 u}.
\]

Un calcul peu différent conduirait aux deux autres expressions
analogues
\begin{align*}
\sigma_{02} u
  &= \frac{\theta_2 0}{\theta' 0}\, \frac{\theta u}{\theta_2 u}, \\
\sigma_{03} u
  &= \frac{\theta_3 0}{\theta' 0}\, \frac{\theta u}{\theta_3 u}.
\end{align*}

Pour obtenir la dernière par exemple, il suffit de se reporter~\Eqref{(55)}
à la formule
\[
\sigma_{03} u
  = e^{\eta_3 u}\, \frac{\sigma u\, \sigma \omega_3}{\sigma(u + \omega_3)},
\]
et d'y substituer la valeur ci-dessus de~$\sigma u$ en fonction de~$\theta u$,
ainsi que les valeurs suivantes qu'on en déduit:
\begin{gather*}
\sigma \omega_3
  =  e^{\frac{\eta_1\omega_3^2}{2\omega_1}}\, \frac{\theta\omega_3}{\theta' 0}
  = -e^{\frac{\eta_1\omega_3^2}{2\omega_1}}\,
     q^{-\frac{1}{4}}\, \frac{\theta_3 0}{\theta' 0}, \\
\sigma (u + \omega_3)
  =  e^{\frac{\eta_1(u + \omega_3)^2}{2\omega_1}}\,
    \frac{\theta(u + \omega_3)}{\theta' 0}
  = -e^{\frac{\eta_1(u + \omega_3)^2}{2\omega_1}}\,
     q^{-\frac{1}{4}}\, e^{\frac{\pi iu}{2\omega_1}}\,
     \frac{\theta_3 u}{\theta' 0}.
\end{gather*}
%% -----File: 120.png---Folio 116-------

Il vient ainsi
\[
\sigma_{03} u
  = e^{\eta_3 u}\,
  e^{\frac{\eta_1 u^2}{2\omega_1}}\,
  e^{\frac{\eta_1 \omega_3^2}{2\omega_1}}\,
  e^{-\frac{\pi iu}{2\omega_1}}\,
  e^{\frac{-\eta_1(u + \omega_3)^2}{2\omega_1}}\,
  \frac{\theta_3 0}{\theta' 0}\,
  \frac{\theta u}{\theta_3 u};
\]
et il est facile de constater que le facteur exponentiel se
réduit à l'unité à cause de la relation
\[
2(\eta_3\omega_1 - \eta_1\omega_3) = \pi i.
\]

\Paragraph{78.}{Expressions de $\sn u, \cn u, \dn u$ par les fonctions~$\theta$.} ---
Rappelons-nous que $\sn u, \cn u, \dn u$ dérivent d'une fonction~$\wp u$
aux périodes $2\Omega_1, 2\Omega_2$ pour laquelle on a $e_3 - e_1 = 1$
(\Ord{3}{e}~partie, ch.~II, 57), et que l'on a (\Ord{3}{e}~partie, ch.~II, 57, et ch.~III, 63) %[xrefs]
\[
\sn u = \sigma_{01} u, \qquad
\cn u = \frac{\sigma_{01} u}{\sigma_{03} u}, \qquad
\dn u = \frac{\sigma_{01} u}{\sigma_{02} u}.
\]
Appelons $\Theta, \Theta_1, \Theta_2, \Theta_3$ les fonctions $\theta, \theta_1, \theta_2, \theta_3$ dans lesquelles
$\omega_1$~et~$\omega_2$ sont remplacées par $\Omega_1, \Omega_2$, nous aurons
ces expressions de $\sn u, \cn u, \dn u$ par les fonctions~$\Theta$
\begin{align*}
\sn u &= \frac{\Theta_1 0}{\Theta' 0}\,  \frac{\Theta u}{\Theta_1 u}, \\
\cn u &= \frac{\Theta_1 0}{\Theta_3 0}\, \frac{\Theta_3 u}{\Theta_1 u}, \\
\dn u &= \frac{\Theta_1 0}{\Theta_2 0}\, \frac{\Theta_2 u}{\Theta_1 u}.
\end{align*}

Il ne faut pas oublier que dans ces formules les périodes
de $\sn u, \cn u, \dn u$ sont respectivement: $2\Omega_1$~et~$4\Omega_2$;
$2\Omega_2$~et~$4\Omega_1$; $-2(\Omega_1+\Omega_2)$~et~$4\Omega_1$
(\Ord{3}{e}~partie, ch.~III, 66). %[xref]

\ctb
%% -----File: 121.png---Folio 117-------


\Chapter{III}{Calcul de $\wp u, \sn u, \cn u, \dn u$ en fonction des périodes}

\Paragraph{79.}{Calcul de~$\wp u$ en fonction des périodes.} --- L'expression
de~$\sigma_{01} u$ par les fonctions~$\theta$ nous fournit le moyen pratique
de calculer~$\wp u$ pour chaque valeur de l'argument~$u$, quand
on donne les périodes $2\omega_1, 2\omega_2$. On a en effet (\Ord{3}{e}~partie, ch.~I, 51) %[xref]
\[
\sigma_{01} u = \frac{1}{\sqrt{\wp u - e_1}},
\]
d'où~\Eqref{(77)}
\[
\wp u - e_1
  = \left(\frac{\theta' 0}{\theta_1 0}\, \frac{\theta_1 u}{\theta u}\right)^2.
\]
Comme les fonctions~$\theta$ ne dépendent que des périodes, on
pourra calculer~$\wp u$ quand on saura évaluer~$e_1$ en fonction
de $\omega_1, \omega_2$. C'est un calcul que nous apprendrons à effectuer
tout à l'heure~\Eqref{(81)}.

\Paragraph{80.}{Problème inverse.} --- On donne~$\wp u$ et l'on propose de
calculer les valeurs correspondantes de~$u$.

Soit~$u_0$ l'une d'elles; toutes les autres ont pour expression
\[
u = ± u_0 + 2m_1 \omega_1 + 2m_2\omega_2.
\]

Or on a les formules analogues à celles du \no précédent,
\begin{align*}
\sqrt{\wp u - e_2}
  &= \frac{\theta' 0}{\theta_2 0}\, \frac{\theta_2 u}{\theta u}, \\
\sqrt{\wp u - e_3}
  &= \frac{\theta' 0}{\theta_3 0}\, \frac{\theta_3 u}{\theta u}.
\end{align*}
%% -----File: 122.png---Folio 118-------

Divisons-les membre à membre et posons
\[
± b = \frac{\sqrt{\wp u -e_2}}{\sqrt{\wp u -e_3}}\,
  \frac{\theta_2 0}{\theta_3 0};
\]
$b$~sera une quantité connue, si l'on a préalablement calculé
$e_2, e_3$ en fonction de~$\omega_1, \omega_2$, calcul que nous allons faire
tout à l'heure~\Eqref{(81)}.

On aura alors pour déterminer~$u$ l'équation transcendante
\[
\frac{\theta_2 u}{\theta_3 u} = ± b\qquad \text{ou} \qquad
\frac{\theta_3 u - \theta_2 u}{\theta_3 u + \theta_2 u}
  = \frac{1 \mp b}{1 ± b}.
\]

Pour la résoudre, il convient de changer de variable et
de poser
\[
z = e^{\frac{\pi iu}{2\omega_1}}
\]
d'où, en se rappelant qu'on a~\Eqref{(74)} $q = e^{\pi i\, \frac{\omega_2}{\omega_1}}$,
\[
z^2 = e^{±\frac{\pi iu_0}{\omega_1}}\,
  e^{(2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2)\, \frac{\pi i}{\omega_1}}
  = q^{2m_2}\, e^{±\frac{\pi iu_0}{\omega_1}}.
\]
Ainsi à chaque valeur de~$\wp u$ correspondent une infinité de
valeurs de~$z^2$ formant deux progressions géométriques de
raison~$q^2$; ces valeurs sont deux à deux réciproques l'une
de l'autre.

Si dans les fonctions $\theta_2 u, \theta_3 u$, on remplace $e^\frac{\pi iu}{2\omega_1}$ par~$z$,
qu'on groupe les puissances de~$z$ égales et de signe contraire,
et qu'on divise $\theta_3 - \theta_2$ par $\theta_3 + \theta_2$, on obtient
\[
\frac{q  \left(z^2 + \dfrac{1}{z^2}\right)
    + q^9\left(z^6 + \dfrac{1}{z^6}\right) + \dots}
 {1 + q^4\left(z^4 + \dfrac{1}{z^4}\right) + \dots}
  = \frac{1 \mp b}{1 ± b}.
\]
Cette équation a pour racines les valeurs de~$z$ en nombre
infini formant les deux progressions géométriques dont on
vient de parler.

Une première approximation, légitime parce que le module
%% -----File: 123.png---Folio 119-------
de~$q$ est inférieur à~$1$ (voir \Eqref{80~\textit{bis}}), donne
\[
q\left(z^2 + \frac{1}{z^2}\right) = \frac{1 \mp b}{1 ± b}.
\]
On a ainsi deux des racines, qu'on calculera d'ailleurs aussi
exactement qu'on voudra par approximations successives.

Connaissant l'une des valeurs de~$z^2$, on a la valeur correspondante~$u_0$
de~$u$ par l'équation
\[
u_0 = \frac{\omega_1}{\pi i} \log z^2,
\]
où le signe~$\log$ désigne une seule des déterminations du
logarithme. Les autres valeurs de~$u$ sont données par la
formule
\[
u = ±\frac{\omega_1}{\pi i} \log z^2 + 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2.
\]

\Paragraph{80}{bis. \textsc{Remarque}.} --- Il importe visiblement, pour la convergence
rapide des approximations qui fournissent la valeur
de~$z$, que $q$~ait le plus petit module possible. Or $\wp u$~ne
change pas quand on substitue aux périodes données des
périodes équivalentes, c'est-à-dire conservant les sommets
du réseau. Voyons comment il faut choisir ces périodes
pour que le module de~$q$ soit minimum.

Si $\tau$~désigne le rapport des périodes, nous avons (\Ord{1}{re}~partie,
ch.~I, 4) %[xref]
\[
\tau = \frac{2\omega_2}{2\omega_1}
  = \frac{\alpha_2 + \beta_2 i}{\alpha_1 + \beta_1 i}
  = \frac{\alpha_1\alpha_2 + \beta_1\beta_2}{\alpha_1^2 + \beta_1^2}
  + \frac{\alpha_1\beta_2 - \alpha_2\beta_1}{\alpha_1^2 + \beta_1^2}i
  = r + si.
\]
D'ailleurs
\[
q = e^{\pi i \tau}, \qquad \Mod q = e^{-\pi s}.
\]

Les calculs que nous avons effectués sur les fonctions~$\theta$
impliquent qu'on ait choisi $\omega_1$~et~$\omega_2$ de façon que~$s$, coefficient
de la partie imaginaire du rapport des périodes, soit
positif; donc $\Mod q$~est plus petit que~$1$. D'ailleurs
$\alpha_1\beta2 - \alpha_2\beta_1$ désignant l'aire~$P$ du parallélogramme des
périodes (\Ord{1}{re}~partie, ch.~I, 4), on peut écrire %[xref]
\[
s = \frac{P}{(\Mod \omega_1)^2}.
\]
%% -----File: 124.png---Folio 120-------

Or tous les parallélogrammes formés par des périodes
équivalentes étant équivalents (\Ord{1}{re}~partie, ch.~I, 5), $P$~est %[xref]
une constante du réseau. Par suite, pour que $\Mod q$~soit
le plus petit possible, $s$~devant être le plus grand possible,
on devra prendre pour~$2\omega_1$ la période de \emph{module
minimum}.

\Paragraph{81.}{Calcul de $e_1, e_2, e_3$ en fonction des périodes.} --- Il nous
reste à déterminer en fonction des périodes les trois quantités
$e_1, e_2, e_3$, indispensables, comme nous l'avons vu (\Eqref{79}~et~\Eqref{80}),
pour le calcul de~$\wp u$.

Dans la formule du~\no79 qui fournit~$\wp u$, nous n'avons
qu'à faire successivement $u = \omega_2$, $u = \omega_3$; nous aurons
\begin{align*}
e_2 - e_1
  &= \left[
     \frac{\theta' 0}{\theta_1 0}\, \frac{\theta_1 \omega_2}{\theta \omega_2}
     \right]^2,\\
e_3 - e_1
  &= \left[
     \frac{\theta' 0}{\theta_1 0}\, \frac{\theta_1 \omega_3}{\theta \omega_3}
     \right]^2.
\end{align*}

Nous allons transformer ces formules de façon que les
symboles~$\theta$ ne portent que sur l'argument~$0$.

Pour cela reportons-nous aux formules rassemblées à la
fin du~\no76. Dans la formule qui donne $\theta(u + \omega_2)$ faisons
$u=0$, nous aurons
\[
\theta \omega_2 = iq^{-\frac{1}{4}}\, \theta_2 0.
\]

Dans celle qui donne~$\theta_1 u$ faisons $u = \omega_2$, il viendra
\[
\theta_1 \omega_2
  = \sum q^{\left(n + \frac{1}{2}\right)^2}\,
    e^{\left(n + \frac{1}{2}\right) \pi i\, \frac{\omega_2}{\omega_1}}
  = q^{-\frac{1}{4}} \sum q^{(n+1)^2} = q^{-\frac{1}{4}}\, \theta_3 0.
\]

Dans la formule qui donne $\theta(u + \omega_3)$~\Eqref{(76)}, faisons
$u = 0$, nous trouvons
\[
\theta \omega_3 = -q^{-\frac{1}{4}}\, \theta_3 0.
\]

Enfin dans celle qui donne $\theta(u + \omega_1)$, faisons $u = \omega_3$,
nous obtenons
%% -----File: 125.png---Folio 121-------
\begin{align*}
\theta_1 \omega_3 = \theta(\omega_3 + \omega_1)
  &= \theta(-\omega_2) \\
  &= \frac{1}{i} \sum (-1)^n\, q^{\left(n + \frac{1}{2}\right)^2}\,
     e^{-\left(n + \frac{1}{2}\right) \pi i\, \frac{\omega_2}{\omega_1}} \\
  &= \frac{1}{i} \sum (-1)^n\, q^{n^2}\, q^{-\frac{1}{4}}
   = -iq^{-\frac{1}{4}}\, \theta_2 0.
\end{align*}

Les séries
$\theta 0, \theta_1 0, \theta_2 0, \theta_3 0$ ne dépendent que de $q = e^{\frac{\pi i\omega_2}{\omega_1}}$,
c'est-à-dire que du rapport~$\tau$ des périodes.

Mais $\theta' 0$~dépend à la fois de~$\tau$ et de~$\omega_1$. Pour mettre cette
dernière quantité en évidence, appelons~$\vartheta u$ ce que devient
la série~$\theta u$ lorsqu'on y fait $2\omega_1 = 1$; il est clair que
l'on a
\[
\theta' 0 = \frac{1}{2\omega_1}\, \vartheta' 0,
\]
$\vartheta' 0$~ne dépendant que de~$q$.

Les expressions de $e_2 - e_1, e_3 - e_1$ deviennent alors
\begin{align*}
e_2 - e_1
  &= -\left[\frac{1}{2\omega_1}\, \frac{\vartheta' 0}{\theta_1 0}\,
  \frac{\theta_3 0}{\theta_2 0} \right]^2, \\
e_3 - e_1
  &= -\left[\frac{1}{2\omega_1}\, \frac{\vartheta' 0}{\theta_1 0}\,
  \frac{\theta_2 0}{\theta_3 0} \right]^2.
\end{align*}
Jointes à la relation $e_1 + e_2 + e_3 = 0$, elles permettent
de calculer $e_1, e_2, e_3$ en fonction des périodes.

\Paragraph{82.}{Calcul de $\sn u, \cn u, \dn u$ en fonction du rapport des
périodes.} --- Nous avons vu (\Ord{3}{e}~partie, ch.~II, 59) que $\sn u$~et
par suite, $\cn u, \dn u$ ne dépendent que du rapport de leurs
périodes. Nous allons le démontrer d'une autre manière et
du même coup donner le moyen pratique de calculer ces
trois fonctions quand on connaît ce rapport.

Rappelons-nous toujours que ces fonctions dérivent
d'une fonction~$\wp u$ aux périodes $2\Omega_1, 2\Omega_2$, et telle que
$e_3 - e_1 = 1$. Le carré du module~$k^2$ est égal à $e_2 - e_1$
et par suite à $\dfrac{e_2-e_1}{e_3-e_1}$. Donc
%% -----File: 126.png---Folio 122-------
\[
k^2
  = \left[\frac{\Theta_3 0}{\Theta_2 0}\right]^4
  = \left[
      \frac{1 + 2q + 2q^4 + 2q^9 + \dots}
           {1 - 2q + 2q^4 - 2q^9 + \dots}
    \right]^4.
\]
On voit que $k^2$~ne dépend que du rapport $\tau = \dfrac{\Omega_2}{\Omega_1}$ (puisque
$q = e^{\pi i\tau}$). Or nous savons que la connaissance de~$k^2$
suffit pour déterminer $\sn u, \cn u, \dn u$.

Maintenant, comme $e_3 - e_1$ est égal à~$1$, on aura, en
extrayant la racine de l'expression ci-dessus de $e_2 - e_1$,
\[
± i = \frac{1}{2\Omega_1}\,
      \frac{\vartheta' 0}{\Theta_1 0}\, \frac{\Theta_3 0}{\Theta_2 0},
\]
relation qui donnera $\Omega_1$~en fonction de~$q$, c'est-à-dire de~$\tau$.
On peut prendre indifféremment l'une ou l'autre des déterminations.

Connaissant~$\Omega_1$, on pourra, pour chaque valeur de~$u$, calculer
$\sn u, \cn u, \dn u$ par les formules du~\no78.

\ctb
%% -----File: 127.png---Folio 123-------


\Additions

Au \no51 (\Ord{3}{e}~partie, ch.~II) nous avons laissé au lecteur le %[xrefs]
soin de vérifier la formule
\[
\sigma(u - 2\omega_1) = -e^{-2\eta_1(u - \omega_1)}\, \sigma u.
\]

On l'établit immédiatement en changeant~$u$ en~$u - 2\omega_1$
dans la relation démontrée (\Ord{2}{e}~partie, ch.~III, 32)
\[
\sigma(u + 2\omega_1) = -e^{2\eta_1(u + \omega_1)}\, \sigma u.
\]

Au chap.~III de la \Ord{2}{e}~partie, nous avons indiqué ce que
devient~$\sigma u$ dans le cas seulement où l'on ajoute à l'argument~$u$
l'une des périodes $2\omega_1, 2\omega_2$ de~$\wp u$ (en supposant
que les moitiés $\omega_1, \omega_2$ ne sont pas des périodes de cette
dernière fonction).

Il est utile de savoir ce que devient~$\sigma u$ quand on augmente~$u$
d'une période quelconque
\[
2\omega = 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2.
\]

Augmentant d'abord de~$4\omega_1$, on a
\begin{align*}
\sigma(u + 4\omega_1)
  &= \sigma(\overline{u + 2\omega_1} + 2\omega_1)
   = -e^{2\eta_1(\overline{u + 2\omega_1} + \omega_1)}\, \sigma(u + 2\omega_1)\\
  &= +e^{2\eta_1(u + 3\omega_1)}\, e^{2\eta_1(u + \omega_1)}\, \sigma u
   = e^{2\eta_1[2u + \omega_1(1 + 3)]}\, \sigma u.
\end{align*}
En calculant ainsi de proche en proche, on arrive à
\begin{align*}
\sigma(u + 2m_1\omega_1)
  &= (-1)^{m_1}\,
     e^{2\eta_1[m_1u + \omega_1(1 + 3 + \dots + 2m_1 - 1)]}\, \sigma u \\
  &= (-1)^{m_1}\, e^{2m_1\eta_1(u + m_1\omega_1)}\, \sigma u.
\end{align*}
Cette formule subsiste quand $m_1$~est négatif, comme cela
résulte évidemment de l'expression ci-dessus de~$\sigma(u - 2\omega_1)$.

Cela posé, nous avons
\begin{align*}
\sigma(u + 2\omega)
  &= \sigma(\overline{u + 2m_1\omega_1} + 2m_2\omega_2) \\
  &= (-1)^{m_2}\, e^{2m_2\eta_2(\overline{u + 2m_1\omega_1} + m_2\omega_2)}\,
     \sigma(u + 2m_1\omega_1) \\
  &= (-1)^{m_1 + m_2}\,
     e^{2m_2\eta_2(u + 2m_1\omega_1 + m_2\omega_2)
       + 2m_1\eta_1(u +  m_1\omega_1)}\, \sigma u.
\end{align*}
%% -----File: 128.png---Folio 124-------
L'exposant de~$e$ contient le terme $4m_1m_2\eta_2\omega_1$ qui, si l'on
tient compte de la formule du~\no29
\[
2(\eta_1\omega_2 - \eta_2\omega_1) = \pi i,
\]
peut s'écrire
\[
  2m_2\eta_2\centerdot m_1\omega_1
+ 2m_1\eta_1\centerdot m_2\omega_2 - m_1m_2\pi i.
\]
L'expression de $\sigma(u + 2\omega)$ peut alors être mise sous la
forme
\[
\sigma(u + 2\omega)
  = (-1)^{m_1 + m_2}\, e^{-m_1m_2\pi i}\,
    e^{(2m_1\eta_1 + 2m_2\eta_2)(u + m_1\omega_1 + m_2\omega_2)}\, \sigma u
\]
ou
\[
\sigma(u + 2\omega)
  = (-1)^{m_1 + m_2 + m_1m_2}\, e^{(2m_1\eta_1 + 2m_2\eta_2)(u + \omega)}\, \sigma u.
\]

Telle est la formule que nous voulions établir.

Si l'on prend la dérivée logarithmique de ses deux membres,
on trouve
\[
\zeta(u + 2\omega) = \zeta u + 2m_1\eta_1 + 2m_2\eta_2.
\]

Cette nouvelle formule nous apprend ce que devient~$\zeta u$
quand on ajoute à l'argument~$u$ une période quelconque.
Il serait facile d'y arriver directement, en partant des
expressions de $\zeta(u + 2\omega_1), \zeta(u + 2\omega_2)$ données au~\no27
(\Ord{2}{e}~partie, ch.~III). %[xref]

\ctb
%% -----File: 129.png---Folio 125-------

\TableofContents

\iffalse
TABLE DES MATIÈRES

AVANT-PROPOS

PREMIÈRE PARTIE

Généralités concernant les fonctions elliptiques.


CHAPITRE I. ---
Des périodes.

CHAPITRE II. ---
Transformation des fonctions elliptiques.

CHAPITRE III. ---
Théorèmes généraux sur les fonctions elliptiques.


DEUXIÈME PARTIE

La fonction $\wp u$.


CHAPITRE I. ---
Construction et propriétés de la fonction $\wp u$.

CHAPITRE II. ---
La fonction $\wp u$  définie par une équation différentielle.

CHAPITRE III. ---
Les fonctions $\zeta u$ et $\sigma u$.

CHAPITRE IV. ---
Expression des fonctions elliptiques par
les fonctions $\sigma$, $\zeta$, $\rho$.

CHAPITRE V. ---
Addition des arguments pour la fonction $\wp u$. ---
Multiplication de l'argument.

CHAPITRE VI. ---
Multiplication de l'argument de $\wp u$ (suite). ---
Division de l'argument.

CHAPITRE VII. ---
Division des périodes de $\wp u$.
%% -----File: 130.png---Folio 126-------

TROISIÈME PARTIE

Les fonctions
$\sn u$,
$\cn u$,
$\dn u$.

CHAPITRE I. ---
Les fonctions
$\sigma_{01} u$,
$\sigma_{02} u$,
$\sigma_{03} u$.

CHAPITRE II. ---
La fonction $\sn u$.

CHAPITRE III. ---
Les fonctions
$\cn u$,
$\dn u$.

CHAPITRE IV. ---
Dérivées de
$\sn u$,
$\cn u$,
$\dn u$. ---
Développements en série. --- Dégénérescences.

CHAPITRE V. ---
Addition des arguments. --- Équation
d'Euler.--Multiplication de l'argument
des fonctions
$\sn u$,
$\cn u$,
$\dn u$.


QUATRIÈME PARTIE

Les fonctions $\theta$.

CHAPITRE I. ---
La fonction $\theta$. --- Expressions de
$\wp u$,
$\zeta u$,
$\sigma u$,
au moyen de cette fonction.

CHAPITRE II. ---
Les fonctions
$\theta_1 u$,
$\theta_2 u$,
$\theta_3 u$. ---
Expressions de
$\sn u$,
$\cn u$,
$\dn u$
par les fonctions $\theta$.

CHAPITRE III. ---
Calcul de
$\wp u$,
$\sn u$,
$\cn u$,
$\dn u$
en fonction des périodes.

ADDITIONS.
\fi

\ctb

\vfill
\begin{center}
\scriptsize BAR-LE-DUC, IMPRIMERIE COMTE-JACQUET.
\end{center}

\cleardoublepage

%%%% LICENCE %%%%
\pagenumbering{Alph}
\pagestyle{fancy}
\phantomsection
\pdfbookmark[0]{Licence}{Licence}
\fancyhf{}
\fancyhead[C]{\CtrHeading{Project Gutenberg Licence}}
\SetPageNumbers

\begin{PGtext}
End of the Project Gutenberg EBook of Abrégé de la Théorie des Fonctions
Elliptiques, by Charles Henry

*** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK FONCTIONS ELLIPTIQUES ***

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and the Foundation web page at http://www.pglaf.org.


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501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the
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Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered
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     Chief Executive and Director
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Archive Foundation, how to help produce our new eBooks, and how to
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\end{PGtext}

% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
%                                                                         %
% End of the Project Gutenberg EBook of Abrégé de la Théorie des Fonctions%
% Elliptiques, by Charles Henry                                           %
%                                                                         %
% *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK FONCTIONS ELLIPTIQUES ***       %
%                                                                         %
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% This and all associated files of various formats will be found in:      %
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% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %

\end{document}
###
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**32643-t.tex
(./32643-t.tex
LaTeX2e <2005/12/01>
Babel <v3.8h> and hyphenation patterns for english, usenglishmax, dumylang, noh
yphenation, arabic, farsi, croatian, ukrainian, russian, bulgarian, czech, slov
ak, danish, dutch, finnish, basque, french, german, ngerman, ibycus, greek, mon
ogreek, ancientgreek, hungarian, italian, latin, mongolian, norsk, icelandic, i
nterlingua, turkish, coptic, romanian, welsh, serbian, slovenian, estonian, esp
eranto, uppersorbian, indonesian, polish, portuguese, spanish, catalan, galicia
n, swedish, ukenglish, pinyin, loaded.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/book.cls
Document Class: book 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/leqno.clo
File: leqno.clo 1998/08/17 v1.1c Standard LaTeX option (left equation numbers)
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/bk12.clo
File: bk12.clo 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option)
)
\c@part=\count79
\c@chapter=\count80
\c@section=\count81
\c@subsection=\count82
\c@subsubsection=\count83
\c@paragraph=\count84
\c@subparagraph=\count85
\c@figure=\count86
\c@table=\count87
\abovecaptionskip=\skip41
\belowcaptionskip=\skip42
\bibindent=\dimen102
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/inputenc.sty
Package: inputenc 2006/05/05 v1.1b Input encoding file
\inpenc@prehook=\toks14
\inpenc@posthook=\toks15
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/latin1.def
File: latin1.def 2006/05/05 v1.1b Input encoding file
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/fontenc.sty
Package: fontenc 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX package
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/t1enc.def
File: t1enc.def 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX file
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding T1 on input line 43.
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.sty
Package: babel 2005/11/23 v3.8h The Babel package
(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/frenchb.ldf
Language: french 2005/02/06 v1.6g French support from the babel system
(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.def
File: babel.def 2005/11/23 v3.8h Babel common definitions
\babel@savecnt=\count88
\U@D=\dimen103
)
Package babel Info: Making : an active character on input line 219.
Package babel Info: Making ; an active character on input line 220.
Package babel Info: Making ! an active character on input line 221.
Package babel Info: Making ? an active character on input line 222.
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding T1 on input line 299.
\parindentFFN=\dimen104
\std@mcc=\count89
\dec@mcc=\count90
*************************************
* Local config file frenchb.cfg used
*
(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/frenchb.cfg))) (/usr/share/texmf-te
xlive/tex/latex/tools/calc.sty
Package: calc 2005/08/06 v4.2 Infix arithmetic (KKT,FJ)
\calc@Acount=\count91
\calc@Bcount=\count92
\calc@Adimen=\dimen105
\calc@Bdimen=\dimen106
\calc@Askip=\skip43
\calc@Bskip=\skip44
LaTeX Info: Redefining \setlength on input line 75.
LaTeX Info: Redefining \addtolength on input line 76.
\calc@Ccount=\count93
\calc@Cskip=\skip45
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/textcomp.sty
Package: textcomp 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX package
Package textcomp Info: Sub-encoding information:
(textcomp)               5 = only ISO-Adobe without \textcurrency
(textcomp)               4 = 5 + \texteuro
(textcomp)               3 = 4 + \textohm
(textcomp)               2 = 3 + \textestimated + \textcurrency
(textcomp)               1 = TS1 - \textcircled - \t
(textcomp)               0 = TS1 (full)
(textcomp)             Font families with sub-encoding setting implement
(textcomp)             only a restricted character set as indicated.
(textcomp)             Family '?' is the default used for unknown fonts.
(textcomp)             See the documentation for details.
Package textcomp Info: Setting ? sub-encoding to TS1/1 on input line 71.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/ts1enc.def
File: ts1enc.def 2001/06/05 v3.0e (jk/car/fm) Standard LaTeX file
)
LaTeX Info: Redefining \oldstylenums on input line 266.
Package textcomp Info: Setting cmr sub-encoding to TS1/0 on input line 281.
Package textcomp Info: Setting cmss sub-encoding to TS1/0 on input line 282.
Package textcomp Info: Setting cmtt sub-encoding to TS1/0 on input line 283.
Package textcomp Info: Setting cmvtt sub-encoding to TS1/0 on input line 284.
Package textcomp Info: Setting cmbr sub-encoding to TS1/0 on input line 285.
Package textcomp Info: Setting cmtl sub-encoding to TS1/0 on input line 286.
Package textcomp Info: Setting ccr sub-encoding to TS1/0 on input line 287.
Package textcomp Info: Setting ptm sub-encoding to TS1/4 on input line 288.
Package textcomp Info: Setting pcr sub-encoding to TS1/4 on input line 289.
Package textcomp Info: Setting phv sub-encoding to TS1/4 on input line 290.
Package textcomp Info: Setting ppl sub-encoding to TS1/3 on input line 291.
Package textcomp Info: Setting pag sub-encoding to TS1/4 on input line 292.
Package textcomp Info: Setting pbk sub-encoding to TS1/4 on input line 293.
Package textcomp Info: Setting pnc sub-encoding to TS1/4 on input line 294.
Package textcomp Info: Setting pzc sub-encoding to TS1/4 on input line 295.
Package textcomp Info: Setting bch sub-encoding to TS1/4 on input line 296.
Package textcomp Info: Setting put sub-encoding to TS1/5 on input line 297.
Package textcomp Info: Setting uag sub-encoding to TS1/5 on input line 298.
Package textcomp Info: Setting ugq sub-encoding to TS1/5 on input line 299.
Package textcomp Info: Setting ul8 sub-encoding to TS1/4 on input line 300.
Package textcomp Info: Setting ul9 sub-encoding to TS1/4 on input line 301.
Package textcomp Info: Setting augie sub-encoding to TS1/5 on input line 302.
Package textcomp Info: Setting dayrom sub-encoding to TS1/3 on input line 303.
Package textcomp Info: Setting dayroms sub-encoding to TS1/3 on input line 304.

Package textcomp Info: Setting pxr sub-encoding to TS1/0 on input line 305.
Package textcomp Info: Setting pxss sub-encoding to TS1/0 on input line 306.
Package textcomp Info: Setting pxtt sub-encoding to TS1/0 on input line 307.
Package textcomp Info: Setting txr sub-encoding to TS1/0 on input line 308.
Package textcomp Info: Setting txss sub-encoding to TS1/0 on input line 309.
Package textcomp Info: Setting txtt sub-encoding to TS1/0 on input line 310.
Package textcomp Info: Setting futs sub-encoding to TS1/4 on input line 311.
Package textcomp Info: Setting futx sub-encoding to TS1/4 on input line 312.
Package textcomp Info: Setting futj sub-encoding to TS1/4 on input line 313.
Package textcomp Info: Setting hlh sub-encoding to TS1/3 on input line 314.
Package textcomp Info: Setting hls sub-encoding to TS1/3 on input line 315.
Package textcomp Info: Setting hlst sub-encoding to TS1/3 on input line 316.
Package textcomp Info: Setting hlct sub-encoding to TS1/5 on input line 317.
Package textcomp Info: Setting hlx sub-encoding to TS1/5 on input line 318.
Package textcomp Info: Setting hlce sub-encoding to TS1/5 on input line 319.
Package textcomp Info: Setting hlcn sub-encoding to TS1/5 on input line 320.
Package textcomp Info: Setting hlcw sub-encoding to TS1/5 on input line 321.
Package textcomp Info: Setting hlcf sub-encoding to TS1/5 on input line 322.
Package textcomp Info: Setting pplx sub-encoding to TS1/3 on input line 323.
Package textcomp Info: Setting pplj sub-encoding to TS1/3 on input line 324.
Package textcomp Info: Setting ptmx sub-encoding to TS1/4 on input line 325.
Package textcomp Info: Setting ptmj sub-encoding to TS1/4 on input line 326.
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/ifthen.sty
Package: ifthen 2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC)
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
Package: amsmath 2000/07/18 v2.13 AMS math features
\@mathmargin=\skip46
For additional information on amsmath, use the `?' option.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amstext.sty
Package: amstext 2000/06/29 v2.01
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsgen.sty
File: amsgen.sty 1999/11/30 v2.0
\@emptytoks=\toks16
\ex@=\dimen107
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty
Package: amsbsy 1999/11/29 v1.2d
\pmbraise@=\dimen108
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsopn.sty
Package: amsopn 1999/12/14 v2.01 operator names
)
\inf@bad=\count94
LaTeX Info: Redefining \frac on input line 211.
\uproot@=\count95
\leftroot@=\count96
LaTeX Info: Redefining \overline on input line 307.
\classnum@=\count97
\DOTSCASE@=\count98
LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 379.
LaTeX Info: Redefining \dots on input line 382.
LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 467.
\Mathstrutbox@=\box26
\strutbox@=\box27
\big@size=\dimen109
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OML on input line 567.
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OMS on input line 568.
\macc@depth=\count99
\c@MaxMatrixCols=\count100
\dotsspace@=\muskip10
\c@parentequation=\count101
\dspbrk@lvl=\count102
\tag@help=\toks17
\row@=\count103
\column@=\count104
\maxfields@=\count105
\andhelp@=\toks18
\eqnshift@=\dimen110
\alignsep@=\dimen111
\tagshift@=\dimen112
\tagwidth@=\dimen113
\totwidth@=\dimen114
\lineht@=\dimen115
\@envbody=\toks19
\multlinegap=\skip47
\multlinetaggap=\skip48
\mathdisplay@stack=\toks20
LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2666.
LaTeX Info: Redefining \] on input line 2667.
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty
Package: amssymb 2002/01/22 v2.2d
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty
Package: amsfonts 2001/10/25 v2.2f
\symAMSa=\mathgroup4
\symAMSb=\mathgroup5
LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathfrak' in version `bold'
(Font)                  U/euf/m/n --> U/euf/b/n on input line 132.
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/jknapltx/mathrsfs.sty
Package: mathrsfs 1996/01/01 Math RSFS package v1.0 (jk)
\symrsfs=\mathgroup6
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/alltt.sty
Package: alltt 1997/06/16 v2.0g defines alltt environment
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/array.sty
Package: array 2005/08/23 v2.4b Tabular extension package (FMi)
\col@sep=\dimen116
\extrarowheight=\dimen117
\NC@list=\toks21
\extratabsurround=\skip49
\backup@length=\skip50
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/indentfirst.sty
Package: indentfirst 1995/11/23 v1.03 Indent first paragraph (DPC)
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/textcase/textcase.sty
Package: textcase 2004/10/07 v0.07 Text only upper/lower case changing (DPC)
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/footmisc/footmisc.sty
Package: footmisc 2005/03/17 v5.3d a miscellany of footnote facilities
\FN@temptoken=\toks22
\footnotemargin=\dimen118
\c@pp@next@reset=\count106
\c@@fnserial=\count107
Package footmisc Info: Declaring symbol style bringhurst on input line 817.
Package footmisc Info: Declaring symbol style chicago on input line 818.
Package footmisc Info: Declaring symbol style wiley on input line 819.
Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport-robust on input line 823.

Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport* on input line 831.
Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport*-robust on input line 840
.
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphicx.sty
Package: graphicx 1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/keyval.sty
Package: keyval 1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC)
\KV@toks@=\toks23
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphics.sty
Package: graphics 2006/02/20 v1.0o Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/trig.sty
Package: trig 1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC)
) (/etc/texmf/tex/latex/config/graphics.cfg
File: graphics.cfg 2007/01/18 v1.5 graphics configuration of teTeX/TeXLive
)
Package graphics Info: Driver file: pdftex.def on input line 90.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pdftex-def/pdftex.def
File: pdftex.def 2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX
\Gread@gobject=\count108
))
\Gin@req@height=\dimen119
\Gin@req@width=\dimen120
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/wrapfig/wrapfig.sty
\wrapoverhang=\dimen121
\WF@size=\dimen122
\c@WF@wrappedlines=\count109
\WF@box=\box28
\WF@everypar=\toks24
Package: wrapfig 2003/01/31  v 3.6
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/fancyhdr/fancyhdr.sty
\fancy@headwidth=\skip51
\f@ncyO@elh=\skip52
\f@ncyO@erh=\skip53
\f@ncyO@olh=\skip54
\f@ncyO@orh=\skip55
\f@ncyO@elf=\skip56
\f@ncyO@erf=\skip57
\f@ncyO@olf=\skip58
\f@ncyO@orf=\skip59
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/geometry/geometry.sty
Package: geometry 2002/07/08 v3.2 Page Geometry
\Gm@cnth=\count110
\Gm@cntv=\count111
\c@Gm@tempcnt=\count112
\Gm@bindingoffset=\dimen123
\Gm@wd@mp=\dimen124
\Gm@odd@mp=\dimen125
\Gm@even@mp=\dimen126
\Gm@dimlist=\toks25
(/usr/share/texmf-texlive/tex/xelatex/xetexconfig/geometry.cfg)) (/usr/share/te
xmf-texlive/tex/latex/hyperref/hyperref.sty
Package: hyperref 2007/02/07 v6.75r Hypertext links for LaTeX
\@linkdim=\dimen127
\Hy@linkcounter=\count113
\Hy@pagecounter=\count114
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/pd1enc.def
File: pd1enc.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO)
) (/etc/texmf/tex/latex/config/hyperref.cfg
File: hyperref.cfg 2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/kvoptions.sty
Package: kvoptions 2006/08/22 v2.4 Connects package keyval with LaTeX options (
HO)
)
Package hyperref Info: Option `hyperfootnotes' set `false' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `bookmarks' set `true' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `linktocpage' set `false' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `pdfdisplaydoctitle' set `true' on input line 223
8.
Package hyperref Info: Option `pdfpagelabels' set `true' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `bookmarksopen' set `true' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `colorlinks' set `true' on input line 2238.
Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 2288.
Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 2293.
Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 2296.
Package hyperref Info: Plain pages OFF on input line 2303.
Package hyperref Info: Backreferencing OFF on input line 2308.
Implicit mode ON; LaTeX internals redefined
Package hyperref Info: Bookmarks ON on input line 2444.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ltxmisc/url.sty
\Urlmuskip=\muskip11
Package: url 2005/06/27  ver 3.2  Verb mode for urls, etc.
)
LaTeX Info: Redefining \url on input line 2599.
\Fld@menulength=\count115
\Field@Width=\dimen128
\Fld@charsize=\dimen129
\Choice@toks=\toks26
\Field@toks=\toks27
Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 3102.
Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 3107.
Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 3110.
Package hyperref Info: backreferencing OFF on input line 3117.
Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 3120.
\Hy@abspage=\count116
\c@Item=\count117
)
*hyperref using driver hpdftex*
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/hpdftex.def
File: hpdftex.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX
\Fld@listcount=\count118
)
\ToCLen=\skip60
\c@PartNo=\count119
\TmpLen=\skip61
(./32643-t.aux)
\openout1 = `32643-t.aux'.

LaTeX Font Info:    Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 547.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 547.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for T1/lmr/m/n on input line 547.
LaTeX Font Info:    Try loading font information for T1+lmr on input line 547.
(/usr/share/texmf/tex/latex/lm/t1lmr.fd
File: t1lmr.fd 2007/01/14 v1.3 Font defs for Latin Modern
)
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 547.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 547.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 547.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 547.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 547.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 547.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 547.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 547.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 547.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for TS1/cmr/m/n on input line 547.
LaTeX Font Info:    Try loading font information for TS1+cmr on input line 547.

(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/ts1cmr.fd
File: ts1cmr.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
)
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 547.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for PD1/pdf/m/n on input line 547.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 547.
LaTeX Info: Redefining \dots on input line 547.
(/usr/share/texmf/tex/context/base/supp-pdf.tex
[Loading MPS to PDF converter (version 2006.09.02).]
\scratchcounter=\count120
\scratchdimen=\dimen130
\scratchbox=\box29
\nofMPsegments=\count121
\nofMParguments=\count122
\everyMPshowfont=\toks28
\MPscratchCnt=\count123
\MPscratchDim=\dimen131
\MPnumerator=\count124
\everyMPtoPDFconversion=\toks29
)
-------------------- Geometry parameters
paper: class default
landscape: --
twocolumn: --
twoside: true
asymmetric: --
h-parts: 9.03375pt, 361.34999pt, 9.03375pt
v-parts: 13.98709pt, 543.19225pt, 20.98065pt
hmarginratio: 1:1
vmarginratio: 2:3
lines: --
heightrounded: --
bindingoffset: 0.0pt
truedimen: --
includehead: true
includefoot: true
includemp: --
driver: pdftex
-------------------- Page layout dimensions and switches
\paperwidth  379.4175pt
\paperheight 578.15999pt
\textwidth  361.34999pt
\textheight 481.31845pt
\oddsidemargin  -63.23624pt
\evensidemargin -63.23624pt
\topmargin  -58.2829pt
\headheight 12.0pt
\headsep    19.8738pt
\footskip   30.0pt
\marginparwidth 98.0pt
\marginparsep   7.0pt
\columnsep  10.0pt
\skip\footins  10.8pt plus 4.0pt minus 2.0pt
\hoffset 0.0pt
\voffset 0.0pt
\mag 1000
\@twosidetrue \@mparswitchtrue 
(1in=72.27pt, 1cm=28.45pt)
-----------------------
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/color.sty
Package: color 2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC)
(/etc/texmf/tex/latex/config/color.cfg
File: color.cfg 2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive
)
Package color Info: Driver file: pdftex.def on input line 130.
)
Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 547.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/nameref.sty
Package: nameref 2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/refcount.sty
Package: refcount 2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO)
)
\c@section@level=\count125
)
LaTeX Info: Redefining \ref on input line 547.
LaTeX Info: Redefining \pageref on input line 547.
(./32643-t.out) (./32643-t.out)
\@outlinefile=\write3
\openout3 = `32643-t.out'.

LaTeX Font Info:    Try loading font information for T1+cmtt on input line 561.

(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/t1cmtt.fd
File: t1cmtt.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
)
LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+msa on input line 584.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsa.fd
File: umsa.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
)
LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+msb on input line 584.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsb.fd
File: umsb.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
)
LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+rsfs on input line 584.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/jknapltx/ursfs.fd
File: ursfs.fd 1998/03/24 rsfs font definition file (jk)
) [1

{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] [2

] [1

] [2

] [3


] [1



] [2


] <./images/015a.pdf, id=524, 180.675pt x 181.67876pt>
File: ./images/015a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/015a.pdf> [3 <./images/015a.pdf>] <./images/016a.pdf, id=547, 135
.50626pt x 104.39pt>
File: ./images/016a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/016a.pdf> [4 <./images/016a.pdf>] <./images/017a.pdf, id=572, 121
.45375pt x 108.405pt>
File: ./images/017a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/017a.pdf> <./images/017b.pdf, id=573, 119.44624pt x 110.4125pt>
File: ./images/017b.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/017b.pdf>
Underfull \hbox (badness 1178) in paragraph at lines 970--974
[]\T1/cmr/m/n/12 Ce pa-ral-lé-lo-gramme est la ré-gion cher-chée. Construi-sons

 []

[5 <./images/017a.pdf> <./images/017b.pdf>] <./images/018a.pdf, id=597, 324.211
24pt x 107.40125pt>
File: ./images/018a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/018a.pdf> [6 <./images/018a.pdf>] [7] [8] [9

] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17

] <./images/030a.pdf, id=687, 179.67125pt x 99.37125pt>
File: ./images/030a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/030a.pdf> [18 <./images/030a.pdf>] [19] [20] [21

] [22


] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] <./images/045a.pdf, id=768, 105.39375pt x 
85.31876pt>
File: ./images/045a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/045a.pdf> [30

] <./images/045b.pdf, id=777, 126.4725pt x 186.6975pt>
File: ./images/045b.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/045b.pdf> [31 <./images/045a.pdf> <./images/045b.pdf>] [32] [33] 
<./images/048a.pdf, id=811, 136.51pt x 123.46124pt>
File: ./images/048a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/048a.pdf> [34 <./images/048a.pdf>] [35] [36] [37] <./images/052a.
pdf, id=842, 117.43875pt x 109.40875pt>
File: ./images/052a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/052a.pdf> [38 <./images/052a.pdf>] [39] [40] [41

] [42] <./images/057a.pdf, id=879, 162.6075pt x 116.435pt>
File: ./images/057a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/057a.pdf> [43 <./images/057a.pdf>] [44] [45] [46] [47] [48

] [49] [50] [51] [52] [53] [54

] [55] [56] [57

] [58] [59] [60] [61] [62]
Overfull \hbox (4.55472pt too wide) in paragraph at lines 3467--3472
\T1/cmr/m/n/12 en fonc-tion de $\OML/cmm/m/it/12 } []$\T1/cmr/m/n/12 , puis $\O
ML/cmm/m/it/12 } []$ \T1/cmr/m/n/12 en fonc-tion de $\OML/cmm/m/it/12 }\OT1/cmr
/m/n/12 (\OML/cmm/m/it/12 u; ![]; ![]\OT1/cmr/m/n/12 )$\T1/cmr/m/n/12 . 
 []

[63

] [64] [65] [66] [67

] [68


] [69] [70] [71] <./images/087a.pdf, id=1062, 176.66pt x 107.40125pt>
File: ./images/087a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/087a.pdf> [72 <./images/087a.pdf>] [73] [74

] [75] [76] <./images/092a.pdf, id=1105, 177.66376pt x 42.1575pt>
File: ./images/092a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/092a.pdf> [77 <./images/092a.pdf>] [78] [79] [80

] [81] [82] [83] [84

] [85] [86] [87

] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94

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] [113] (./32643-t.toc [114


])
\tf@toc=\write4
\openout4 = `32643-t.toc'.

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] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] (./32643-t.aux)

 *File List*
    book.cls    2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class
   leqno.clo    1998/08/17 v1.1c Standard LaTeX option (left equation numbers)
    bk12.clo    2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option)
inputenc.sty    2006/05/05 v1.1b Input encoding file
  latin1.def    2006/05/05 v1.1b Input encoding file
 fontenc.sty
   t1enc.def    2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX file
   babel.sty    2005/11/23 v3.8h The Babel package
 frenchb.ldf
 frenchb.cfg
    calc.sty    2005/08/06 v4.2 Infix arithmetic (KKT,FJ)
textcomp.sty    2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX package
  ts1enc.def    2001/06/05 v3.0e (jk/car/fm) Standard LaTeX file
  ifthen.sty    2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC)
 amsmath.sty    2000/07/18 v2.13 AMS math features
 amstext.sty    2000/06/29 v2.01
  amsgen.sty    1999/11/30 v2.0
  amsbsy.sty    1999/11/29 v1.2d
  amsopn.sty    1999/12/14 v2.01 operator names
 amssymb.sty    2002/01/22 v2.2d
amsfonts.sty    2001/10/25 v2.2f
mathrsfs.sty    1996/01/01 Math RSFS package v1.0 (jk)
   alltt.sty    1997/06/16 v2.0g defines alltt environment
   array.sty    2005/08/23 v2.4b Tabular extension package (FMi)
indentfirst.sty    1995/11/23 v1.03 Indent first paragraph (DPC)
textcase.sty    2004/10/07 v0.07 Text only upper/lower case changing (DPC)
footmisc.sty    2005/03/17 v5.3d a miscellany of footnote facilities
graphicx.sty    1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
  keyval.sty    1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC)
graphics.sty    2006/02/20 v1.0o Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
    trig.sty    1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC)
graphics.cfg    2007/01/18 v1.5 graphics configuration of teTeX/TeXLive
  pdftex.def    2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX
 wrapfig.sty    2003/01/31  v 3.6
fancyhdr.sty    
geometry.sty    2002/07/08 v3.2 Page Geometry
geometry.cfg
hyperref.sty    2007/02/07 v6.75r Hypertext links for LaTeX
  pd1enc.def    2007/02/07 v6.75r Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO)
hyperref.cfg    2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive
kvoptions.sty    2006/08/22 v2.4 Connects package keyval with LaTeX options (HO
)
     url.sty    2005/06/27  ver 3.2  Verb mode for urls, etc.
 hpdftex.def    2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX
   t1lmr.fd    2007/01/14 v1.3 Font defs for Latin Modern
  ts1cmr.fd    1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
supp-pdf.tex
   color.sty    2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC)
   color.cfg    2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive
 nameref.sty    2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section
refcount.sty    2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO)
 32643-t.out
 32643-t.out
  t1cmtt.fd    1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
    umsa.fd    2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
    umsb.fd    2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
   ursfs.fd    1998/03/24 rsfs font definition file (jk)
./images/015a.pdf
./images/016a.pdf
./images/017a.pdf
./images/017b.pdf
./images/018a.pdf
./images/030a.pdf
./images/045a.pdf
./images/045b.pdf
./images/048a.pdf
./images/052a.pdf
./images/057a.pdf
./images/087a.pdf
./images/092a.pdf
 ***********

 ) 
Here is how much of TeX's memory you used:
 6576 strings out of 94074
 86479 string characters out of 1165154
 144008 words of memory out of 1500000
 9278 multiletter control sequences out of 10000+50000
 40500 words of font info for 107 fonts, out of 1200000 for 2000
 645 hyphenation exceptions out of 8191
 36i,18n,43p,269b,531s stack positions out of 5000i,500n,6000p,200000b,5000s
{/usr/share/texmf/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-t1.enc}</usr/share/texmf-
texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmex10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1
/bluesky/cm/cmmi10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi12.
pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi8.pfb></usr/share/texm
f-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi9.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type
1/bluesky/cm/cmr10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr12.p
fb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr17.pfb></usr/share/texmf
-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr6.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/
bluesky/cm/cmr7.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr8.pfb><
/usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr9.pfb></usr/share/texmf-texl
ive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/blu
esky/cm/cmsy8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy9.pfb></
usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/ams/msam10.pfb></usr/share/texmf-te
xlive/fonts/type1/bluesky/ams/msam7.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/h
oekwater/rsfs/rsfs10.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbi1440
.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbx1000.pfb></usr/share/tex
mf/fonts/type1/public/cm-super/sfbx1095.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/publi
c/cm-super/sfbx1200.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbx1728.
pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbx2488.pfb></usr/share/texm
f/fonts/type1/public/cm-super/sfcc1000.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public
/cm-super/sfcc1200.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm0800.p
fb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm0900.pfb></usr/share/texmf
/fonts/type1/public/cm-super/sfrm1000.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/
cm-super/sfrm1095.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm1200.pf
b></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm1728.pfb></usr/share/texmf/
fonts/type1/public/cm-super/sfrm2074.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/c
m-super/sfti0900.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfti1000.pfb
></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfti1200.pfb></usr/share/texmf/f
onts/type1/public/cm-super/sftt0900.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm
-super/sfxc1000.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfxc1440.pfb>
Output written on 32643-t.pdf (129 pages, 964009 bytes).
PDF statistics:
 1602 PDF objects out of 1728 (max. 8388607)
 415 named destinations out of 1000 (max. 131072)
 994 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000)

